時間序列分析講義 第01章 差分方程

1、時間序列分析方法講義 第1章 差分方程PAGE PAGE 9第一章 差分方程差分方程是連續(xù)時間情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是時間序列方法的基礎(chǔ)，也是分析時間序列動態(tài)屬性的基本方法。經(jīng)濟時間序列或者金融時間序列方法主要處理具有隨機項的差分方程的求解問題，因此，確定性差分方程理論是我們首先需要了解的重要內(nèi)容。1.1一階差分方程假設(shè)利用變量表示隨著時間變量變化的某種事件的屬性或者結(jié)構(gòu)，則便是在時間可以觀測到的數(shù)據(jù)。假設(shè)受到前期取值和其他外生變量的影響，并滿足下述方程：(1.1)在上述方方程當中中，由于于僅線性性地依賴賴前一個個時間間間隔自身身的取值值，因此此稱具有有這種結(jié)結(jié)構(gòu)的方方程為一一

2、階線性性差分方方程。如如果變量量是確定定性變量量，則此此方程是是確定性性差分方方程；如如果變量量是隨機機變量，則此方方程是隨隨機差分分方程。在下面的分分析中，我們假假設(shè)是確確定性變變量。例1.11 貨幣幣需求函函數(shù) 假設(shè)實實際貨幣幣余額、實際收收入、銀銀行儲蓄蓄利率和和商業(yè)票票據(jù)利率率的對數(shù)數(shù)變量分分別表示示為、和，則可可以估計計出美國國貨幣需需求函數(shù)數(shù)為：上述方程程便是關(guān)關(guān)于的一一階線性性差分方方程?？煽梢酝ㄟ^過此方程程的求解解和結(jié)構(gòu)構(gòu)分析，判斷其其他外生生變量變變化對貨貨幣需求求的動態(tài)態(tài)影響。1.1.1差分方方程求解解：遞歸歸替代法法差分方程程求解就就是將方方程變量量表示為為外生變變量及其

3、其初值的的函數(shù)形形式，可可以通過過以前的的數(shù)據(jù)計計算出方方程變量量的當前前值。由于方程程結(jié)構(gòu)對對于每一一個時間間點都是是成立的的，因此此可以將將(1.1)表表示為多多個方程程：依次進行行疊代可可以得到到：(1.22)上述表達達式(11.2)便是差差分方程程(1.1)的的解，可可以通過過代入方方程進行行驗證。上述通通過疊代代將表示示為前期期變量和和初始值值的形式式，從中中可以看看出對這這些變量量取值的的依賴性性和動態(tài)態(tài)變化過過程。1.1.2. 差分分方程的的動態(tài)分分析：動動態(tài)乘子子(dyynammic mulltipplieer)在差分方方程的解解當中，可以分分析外生生變量，例如的的變化對對階段

4、以以后的的的影響。假設(shè)初初始值和和不受到到影響，則有：(1.3)類似地，可以在在解的表表達式中中進行計計算，得得到：(1.4)上述乘子子僅僅依依賴參數(shù)數(shù)和時間間間隔，并不依依賴觀測測值的具具體時間間階段，這一點點在任何何差分方方程中都都是適用用的。例1.22貨幣需需求的收收入乘子子在在我們獲獲得的貨貨幣需求求函數(shù)當當中，可可以計算算當期收收入一個個單位的的變化，對兩個個階段以以后貨幣幣需求的的影響，即：利用差分分方程解解的具體體系數(shù)，可以得得到：，從而可以以得到二二階乘子子為：注意到上上述變量量均是對對數(shù)形式式，因此此實際上上貨幣需需求相對對于兩個個階段以以前收入入的彈性性系數(shù)，這意味味著收入

5、入增長11%，將將會導(dǎo)致致兩個階階段以后后貨幣需需求增加加0.0098%，其彈彈性是比比較微弱弱的。定義1.1在一階階線性差差分方程程中，下下述乘子子系列稱稱為相對對于外生生擾動的的反應(yīng)函函數(shù)：，(11.5)顯然上述述反應(yīng)函函數(shù)是一一個幾何何級數(shù)，其收斂斂性依賴賴于參數(shù)數(shù)的取值值。(1)當時，反反應(yīng)函數(shù)數(shù)是單調(diào)調(diào)收斂的的；(2)當時，反反應(yīng)函數(shù)數(shù)是震蕩蕩收斂的的；(3)當時，反反應(yīng)函數(shù)數(shù)是單調(diào)調(diào)擴張的的；(4)當時，反反應(yīng)函數(shù)數(shù)是震蕩蕩擴張的的；可以歸納納描述反反應(yīng)函數(shù)數(shù)對于參參數(shù)的依依賴性：當時，反應(yīng)函函數(shù)是收收斂的；當時，反應(yīng)函函數(shù)是發(fā)發(fā)散的。一個特殊殊情形是是的情形形，這時時擾動將將形成

6、持持續(xù)的單單一影響響，即的的一個單單位變化化將導(dǎo)致致其后任任何時間間的一個個單位變變化：，為了分析析乘子的的持久作作用，假假設(shè)時間間序列的的現(xiàn)值貼貼現(xiàn)系數(shù)數(shù)為，則則未來所所有時間間的流貼貼現(xiàn)到現(xiàn)現(xiàn)在的總總值為： (11.6)如果發(fā)生生一個單單位的變變化，而而不變，那么所所產(chǎn)生的的對于上上述貼現(xiàn)現(xiàn)量的影影響為邊邊際導(dǎo)數(shù)數(shù)：，上述分析析的是外外生變量量的暫時時擾動，如果發(fā)發(fā)生一個個單位的的變化，而且其其后的也也都發(fā)生生一個單單位的變變化，這這意味著著變化是是持久的的。這時時持久擾擾動對于于時刻的的的影響響乘數(shù)是是： (1.7)當時，對對上式取取極限，并將其其識為擾擾動所產(chǎn)產(chǎn)生的持持久影響響： (1

7、.8)例1.33 貨幣幣需求的的長期收收入彈性性在在例1.1中我我們已經(jīng)經(jīng)獲得了了貨幣的的短期需需求函數(shù)數(shù)，從中中可以求求出貨幣幣需求的的長期收收入彈性性為：這說明收收入增加加1%最最終將導(dǎo)導(dǎo)致貨幣幣需求增增加0.68%，這是是收入對對于貨幣幣需求反反饋的持持久影響響效果。如果換一一個角度度考察擾擾動的影影響，那那么我們們需要分分析一個個單位的的外生擾擾動對于于以后路路徑的累累積影響響，這時時可以將將這種累累積影響響表示為為： (11.9)由此可見見，如果果能夠估估計出差差分方程程中的系系數(shù)，并并且了解解差分方方程解的的結(jié)構(gòu)，則可以以對經(jīng)濟濟變量進進行穩(wěn)定定性的動動態(tài)分析析。另外外，我們們也發(fā)

8、現(xiàn)現(xiàn)，內(nèi)生生變量對對外生變變量反應(yīng)應(yīng)函數(shù)的的性質(zhì)比比較敏感感地依賴賴差分方方程中的的系數(shù)。1.22階差分分方程如果在方方程當中中允許依依賴它的的階前期期值和輸輸入變量量，則可可以得到到下述階階線性差差分方程程(將常數(shù)數(shù)項歸納納到外生生變量當當中)：(1.110)為了方便便起見，將上述述差分方方程表示示成為矩矩陣形式式：(1.111)其中：，其實在方方程(11.111)所表表示的方方程系統(tǒng)統(tǒng)當中，只有第第一個方方程是差差分方程程(1.10)，而其其余方程程均是定定義方程程：，將階差分分方程表表示成為為矩陣形形式的好好處在于于，它可以以進行比比較方便便的疊代代處理，同時可可以更方方便地進進行穩(wěn)定定

9、性分析析。另外外，差分分方程的的系數(shù)都都體現(xiàn)在在矩陣FF的第一一行上。進行向前前疊代，可以得得到差分分方程的的矩陣解解為：(1.112)利用表示示矩陣中中第行、第列元元素，則則方程系系統(tǒng)(11.122)中的的第一個個方程可可以表示示為：(1.13)需要注意意，在階階差分方方程的解解中需要要知道個個初值：，以及及從時刻刻開始時時的所有有外生變變量的當當前和歷歷史數(shù)據(jù)據(jù)：。由于差分分方程的的解具有有時間上上的平移移性，因因此可以以將上述述方程(1.112)表表示為： (11.144)類似地，表示成成為單方方程形式式： (1.15)利用上述述表達式式，可以以得到階階差分方方程的動動態(tài)反應(yīng)應(yīng)乘子為為：

10、，由此可見見，動態(tài)態(tài)反應(yīng)乘乘子主要要由矩陣陣的首個個元素確確定。例1.44 在階差分分方程中中，可以以得到一一次乘子子為：二次乘子子為：雖然可以以進一步步通過疊疊代的方方法求出出更高階階的反應(yīng)應(yīng)乘子，但是利利用矩陣陣特征根根表示則則更為方方便，主主要能夠夠更為方方便地求求出矩陣陣的首個個位置的的元素。根據(jù)定義義，矩陣陣的特征征根是滿滿足下述述的值：(1.16)一般情況況下，可可以根據(jù)據(jù)行列式式的性質(zhì)質(zhì)，將行行列式方方程轉(zhuǎn)換換為代數(shù)數(shù)方程。例1.55 在二二階差分分方程當當中，特特征方程程為：具體可以以求解出出兩個特特征根為為：， (1.17)上述特征征根的表表達式在在討論二二階線性性差分方方程

11、解的的穩(wěn)定性性時，我我們還要要反復(fù)用用到。距陣的特特征根與與階差分分方程表表達式之之間的聯(lián)聯(lián)系可以以由下述述命題給給出：命題1.1距距陣的特特征根滿滿足下述述方程，此方程程也稱為為階線性性差分方方程的特特征方程程：證明：根根據(jù)特征征根的定定義，可可知特征征根滿足足：對上述行行列式進進行初等等變化，將第列列乘以加加到第列列，然后后將第列列乘以加加到第列列，依次次類推，可以將將上述行行列式方方程變化化為對角角方程，并求出出行列式式值為：這便是所所求的階階線性差差分方程程的特征征方程。 ENND如果知道道階線性性差分方方程的特特征方程程及其特特征根，不僅可可以分析析差分方方程的動動態(tài)反應(yīng)應(yīng)乘子，而且

12、可可以求解解出差分分方程解解析解的的動態(tài)形形式。1.2.1具具有相異異特征根根的階線線性差分分方程的的通解根據(jù)線性性代數(shù)的的有關(guān)定定理，如如果一個個方陣具具有相異異特征根根，則存存在非奇奇異矩陣陣將其化化為對角角矩陣，且對角角線元素素便是特特征根：，(11.188)這時矩陣陣的乘級級或者冪冪方矩陣陣可以簡簡單地表表示為：，(1.19)假設(shè)變量量和分別表表示矩陣陣和的第行、第列元元素，則則可以將將上述方方程利用用矩陣形形式表示示為：從中可以以獲得：(1.19)其中：，如此此定義的的序列具具有下述述約束條條件(自行證證明)： (1.20)具有上述述表達式式以后，在差分分方程的的解： (1.15)中

13、可以得得到動態(tài)態(tài)乘子為為：， (11.211)究竟系數(shù)數(shù)序列取取值如何何，下述述命題給給出了它它的具體體表達式式。命題1.2如如果矩陣陣的特征征根是相相異的，則系數(shù)數(shù)可以表表示為：(1.222)證明：由由于假設(shè)設(shè)矩陣具具有相異異的特征征根，因因此對角角化的非非奇異矩矩陣可以以由特征征向量構(gòu)構(gòu)造。令令向量為為：，其中是矩矩陣的第第個特征征根。經(jīng)過運算算可以得得到：由此可知知是矩陣陣的對應(yīng)應(yīng)特征根根的特征征向量，利用每每個做列列就可以以得到矩矩陣。將將矩陣的的第一列列表示出出來：可以求解解上述線線性方程程的解為為：，注意到：，帶入入上述表表達式即即可得到到結(jié)論。 ENDD例1.66 求解解二階差差

14、分方程程：解：該方方程的特特征方程程為：特征根為為：，此方程的的動態(tài)乘乘子為：，在上述乘乘子的作作用過程程中，絕絕對值教教大的特特征根決決定了乘乘子的收收斂或者者發(fā)散過過程。一一般情形形下，如如果是絕絕對值最最大的特特征根，則有：(11.233)則動態(tài)乘乘子的收收斂或者者發(fā)散是是以指數(shù)數(shù)速度進進行。當一些特特征根出出現(xiàn)復(fù)數(shù)數(shù)的時候候，差分分方程解解的性質(zhì)質(zhì)出現(xiàn)了了新的變變化，擾擾動反應(yīng)應(yīng)函數(shù)將將出現(xiàn)一一定的周周期性質(zhì)質(zhì)。為此此，我們們討論二二階差分分方程的的情形。當時，特特征方程程具有共共扼復(fù)根根，可以以表示為為：，利用復(fù)數(shù)數(shù)的三角角函數(shù)或或者指數(shù)數(shù)表示法法，可以以將其寫寫作：，這時動態(tài)態(tài)乘子

15、可可以表示示為：對于實系系統(tǒng)的擾擾動分析析，上述述反應(yīng)乘乘子應(yīng)該該是實數(shù)數(shù)。由于于和也是共共扼復(fù)數(shù)數(shù)，因此此有：，則有： (11.244)如果，即即復(fù)數(shù)處處于單位位圓上，則上述述動態(tài)乘乘子出現(xiàn)現(xiàn)周期性性變化，并且影影響不會會消失；如果，即復(fù)數(shù)數(shù)處于單單位圓內(nèi)內(nèi)，則上上述動態(tài)態(tài)乘子按按照周期期方式進進行率減減，其作作用慢慢慢消失；如果，即復(fù)數(shù)數(shù)處于單單位圓外外，則上上述動態(tài)態(tài)乘子按按照周期期方式進進行擴散散，其作作用將逐逐漸增強強。例1.77求解二二階差分分方程：解：該方方程的特特征方程程為：特征根為為：，上述共扼扼復(fù)數(shù)的的模為：因為，由由此可知知其動態(tài)態(tài)乘子呈呈現(xiàn)收斂斂趨勢?？梢跃呔唧w計算算出

16、其震震蕩的周周期模式式。，由此可知知動態(tài)乘乘子的周周期為：由此可知知動態(tài)乘乘子的時時間軌跡跡上，大大于4.9個時時間階段段便出現(xiàn)現(xiàn)一次高高峰。1.2.2 具有有相異特特征根的的二階線線性差分分方程的的通解針對具體體的二階階線性差差分方程程，可以以討論解解的性質(zhì)質(zhì)與參數(shù)數(shù)之間的的關(guān)系。a. 當當時，參參數(shù)取值值處于拋拋物線的的下方。這時特特征方程程具有復(fù)復(fù)特征根根，且復(fù)復(fù)數(shù)的模模為：因此，當當時，此此時解系系統(tǒng)是震震蕩收斂斂的；當當是震蕩蕩維持的的；當時時是震蕩蕩發(fā)散的的。b.當當特征根根為實數(shù)數(shù)時，我我們分析析最大特特征根和和最小特特征的性性質(zhì)。此此時，且且當且僅當當時解及及其動態(tài)態(tài)反應(yīng)乘乘子

17、是穩(wěn)穩(wěn)定的。下面我我們判斷斷非穩(wěn)定定情形。如果：即：求解可知知，使得得不等式式成立的的參數(shù)解解為：，或者，同理，使使得不等等式成立立的參數(shù)數(shù)解為：，或者，因此當特特征方程程具有相相異實根根的時候候，穩(wěn)定定性要求求參數(shù)落落入拋物物線上的的三角形形區(qū)域內(nèi)內(nèi)。c.類類似地可可以說明明，當特特征方程程具有相相等實根根的時候候，即處處于三角角形內(nèi)的的拋物線線上時，方程仍仍然具有有穩(wěn)定解解，同時時動態(tài)反反應(yīng)乘子子也是收收斂的。1.2.3具具有重復(fù)復(fù)特征根根的階線線性差分分方程的的通解在更為一一般的情情形下，矩陣可可能具有有重復(fù)的的特征根根，即具具有重根根。此時時可以利利用Joordaan標準準型表示示差分

18、方方程的解解及其動動態(tài)反應(yīng)應(yīng)乘子。下面以以二階差差分方程程為例說說明。假設(shè)二階階差分方方程具有有重根，則可以以將矩陣陣表示為為：計算矩陣陣乘積得得到：于是動態(tài)態(tài)反應(yīng)乘乘子可以以表示為為：1.33 長期期和現(xiàn)值值的計算算如果矩陣陣的所有有特征根根均落在在單位圓圓內(nèi)(即所有有特征根根的模小小于1)，當時時間間隔隔逐漸增增大時，矩陣乘乘積將趨趨于零矩矩陣。如如果外生生變量和和的數(shù)據(jù)據(jù)均是有有界的，則可以以利用的的所有歷歷史數(shù)據(jù)據(jù)表示差差分方程程的一個個解：其中，即即矩陣中中的(11, 11)位置置元素?？梢栽谠诰仃嚤肀硎鞠?，計算的的一個暫暫時性變變化形成成的對現(xiàn)現(xiàn)值的影影響。注注意到利利用向量量求導(dǎo)得得到：這樣一來來，現(xiàn)值值影響乘乘子可以以表示為為：上述矩陣陣級數(shù)收收斂的條條件是所所有特征征根的模模均小于于。此時時，的一一個暫時時性變化化形成的的對現(xiàn)值值的影響響是矩陣陣的(1, 1)元素，可以利利用下述述命題求求出。命題：如如果所有有特征根根的模均均小于，則有：(1)的一個個暫時性性變化形形成的對對現(xiàn)值的的影響乘乘子是：(2)的一個個暫時性性變化形形成的對對的持續(xù)續(xù)影響乘乘子是：(3)發(fā)生在在上的持持續(xù)變化化導(dǎo)致的的累積影