2022.03.16-強化練習(xí)-數(shù)學(xué)運算2-王辭衿-（講義+筆記）

1、 PAGE 26強化練習(xí)-數(shù)學(xué)運算 2（講義）最近小李從批發(fā)商處買進了一批同規(guī)格布娃娃，每個成本 6 元，隨后他去政府集中指定的區(qū)域擺地攤售賣，無攤位費。第一天賣出 50 個，第二天他將售價上調(diào) 50%后賣出 40 個，第三天降回原來價格將存貨全部賣光。銷售這批布娃娃一共獲得 1400 元銷售收入，其中包含 680 元利潤，小李第一天的定價為（ ） 元。A.12.5B.12C.8D.10某工廠進行改革，今年產(chǎn)品出廠價與去年相比增加 5%，產(chǎn)品成本價與去年相比降低 10%，產(chǎn)品利潤率是去年的兩倍，那么該工廠今年的利潤率為（）。A.60%B.20%C.40%D.80%某地居民用水價格分二級階梯，戶

2、年用水量在 0180（含）噸的水價為 5元/噸；180 噸以上的水價為 7 元/噸。戶內(nèi)人口在 5 人以上的，每多 1 人，階梯水量標(biāo)準(zhǔn)增加 30 噸。老張家 5 人，老李家 6 人，去年用水量都是 210 噸。問老李家的人均水費比老張家少多少元？（）A.12B.35C.47D.60某商店銷售一批燈具，每套成本價格為 650 元，銷售價格為 900 元，每日可以銷售 12 套。一套燈具的價格每降價 25 元，日銷售量可以增加 3 套。當(dāng)商家實現(xiàn)每日利潤最大化時，每日利潤較原來增加多少元？（）A.625B.675C.825D.900某交警大隊的 16 名民警中，男性為 10 人，現(xiàn)要選 4 人進

3、行夜間巡邏工作，要求男性民警不得少于 2 名，問有多少種選人方法？（） A.1605B.1520C.1071D.930某場學(xué)術(shù)論壇有 6 家企業(yè)作報告，其中 A 企業(yè)和 B 企業(yè)要求在相鄰的時間內(nèi)作報告，C 企業(yè)作報告的時間必須在 D 企業(yè)之后、在 E 企業(yè)之前，F(xiàn) 企業(yè)要求不能第一個，也不能最后一個作報告。如滿足所有企業(yè)的要求，則報告的先后次序共有多少種不同的安排方式？（ ）A.12B.24C.72D.144某單位的會議室有 5 排共 40 個座位，每排座位數(shù)相同。小張和小李隨機入座，則他們坐在同一排的概率是（ ）。A.不高于 15%B.高于 15%但低于 20%C.正好為 20%D.高于

4、20%天氣預(yù)報預(yù)測未來 2 天的天氣情況如下：第一天晴天 50%、下雨 20%、下雪 30%；第二天晴天 80%、下雨 10%、下雪 10%。則未來兩天天氣狀況不同的概率為（ ）。A.45%B.50%C.55%D.60%如下圖所示，正方形 ABCD 中，AB=1，AC 與 BD 都是以 1 為半徑的圓弧， 則無陰影的兩部分面積之差為（ ）。A./2-1B.1-/4C./8-1D.1-/6有兩個水桶均有 50 厘米深，底面積之比為 5：4，甲水桶水深 9 厘米，乙水桶水深 5 厘米。再往兩個水桶各注入同樣多的水，直到水深相等，這時兩個水桶的水深是（）。A.20 厘米B.25 厘米C.30 厘米D

5、.35 厘米如圖所示，小王買了一塊直三棱柱形狀的蛋糕 ABC-ABC，其中 ABC=90，BAC=30。為與兩位室友分享，他切出一小塊和原蛋糕形狀相同的蛋糕 ADE-ADE，其體積與原蛋糕的體積之比為 1：3。若ADE=90，則線段 AE 與 EB 的長度之比為（ ）。A.2：1B.3：2C. 3：13D.2：某演唱會主辦方為觀眾準(zhǔn)備了白、紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫 7 種顏色的熒光棒各若干只，每名觀眾可在入口處任意選取 2 只，若每種顏色的熒光棒都足夠多，那么至少（）名觀眾中，一定有兩人選取的熒光棒顏色完全相同。A.14B.22C.28D.2913.10 個箱子總重 100 公斤，且重量排在前三

6、位的箱子總重不超過重量排在后三位的箱子總重的 1.5 倍，問最重的箱子重量最多是多少公斤？（）A.200/11B.500/23C.20D.25在 1 到 400 的全部自然數(shù)中，既不是 7 的倍數(shù)又不是 9 的倍數(shù)的數(shù)有多少個？（）A.293B.299C.301D.305春節(jié)期間，某單位共有 47 名員工參加了慰問 A、B、C 三地困難群眾的活動。已知有 15 名員工參加了慰問 A 地困難群眾的活動，有 23 名員工參加了慰問B 地困難群眾的活動，有 38 名員工參加了慰問 C 地困難群眾的活動。其中有 5 名員工均參加了 3 次慰問活動，則該單位有（ ）名員工只參加了 1 次慰問活動。A.1

7、9B.21C.23D.25某旅行社對 100 名導(dǎo)游進行外語培訓(xùn)，有英語、德語、法語三種外語培訓(xùn)班可供選擇。其中 58 人報了英語班，38 人報了德語班，52 人報了法語班，既報英語班又報德語班的有 18 人，既報德語班又報法語班的有 16 人，三種培訓(xùn)班都報了的有 12 人，則只報法語班的有多少人？（ ）A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人某開發(fā)區(qū)管委會共有 150 名工作人員，其中有 132 人喜歡足球，125 人喜歡跑步，112 人喜歡騎自行車，141 人喜歡籃球，那么至少有多少人同時喜歡四種運動？（ ）A.9B.32C.60D.90某大學(xué)進行軍訓(xùn)會操表演時，按正方形方陣排列

8、，現(xiàn)去除該方陣最外圍的學(xué)生，共減少 100 人，則現(xiàn)在該方陣共有（ ）人。A.676B.625C.576D.529強化練習(xí)-數(shù)學(xué)運算 2（筆記）【注意】今晚講強化練習(xí)-數(shù)學(xué)運算 2，涉及三大類型的題目：經(jīng)濟利潤問題、排列組合問題、其他題型?！局R點】經(jīng)濟利潤問題考查題型： 1.基礎(chǔ)經(jīng)濟：（1）公式：利潤=售價-進價（成本）。利潤率=利潤/進價。售價=進價*（1+利潤率），進價=售價/（1+利潤率）。折扣=折后價/折前價。總價=單價*數(shù)量；總利潤=單個利潤*數(shù)量。（2）方法：給具體帶單位數(shù)值方程法。無具體帶單位數(shù)值賦值法。2.分段計費。3.函數(shù)最值。最近小李從批發(fā)商處買進了一批同規(guī)格布娃娃，每個

9、成本 6 元，隨后他去政府集中指定的區(qū)域擺地攤售賣，無攤位費。第一天賣出 50 個，第二天他將售價上調(diào) 50%后賣出 40 個，第三天降回原來價格將存貨全部賣光。銷售這批布娃娃一共獲得 1400 元銷售收入，其中包含 680 元利潤，小李第一天的定價為（ ） 元。A.12.5B.12C.8D.10【解析】1.經(jīng)濟利潤問題，題干中有明顯的具體數(shù)值，設(shè)未知數(shù)列方程。涉及三天，列表分析。設(shè)第一天的單價為 x，第一天的數(shù)量為 50；第二天的單價為x（1+505）=1.5x、數(shù)量為 40；總成本=總售價-總利潤=1400-680=720，總成本=單個成本*銷量，即 720=6*銷量，銷量=120，120

10、-50-40=30，第三天的單價為 x、數(shù)量為 30，第一天的總售價為 50 x，第二天的總售價為 1.5x*40=60 x，第三天的總售價為 30 x。50 x+60 x+30 x=1400，140 x=1400，x=10，對應(yīng) D 項?！具x D】某工廠進行改革，今年產(chǎn)品出廠價與去年相比增加 5%，產(chǎn)品成本價與去年相比降低 10%，產(chǎn)品利潤率是去年的兩倍，那么該工廠今年的利潤率為（ ）。A.60%B.20%C.40%D.80%【解析】2.給比例求比例（沒有給具體帶單位的數(shù)值），考慮賦值。一般賦值成本，“產(chǎn)品成本價與去年相比降低 10%”，賦值去年的成本為 100，則今年的成本為 100*（1

11、-10%）=90，出廠價相當(dāng)于售價，題目中沒有給，考慮設(shè)未知數(shù)，設(shè)去年的出廠價為 100 x，則今年的出廠價為 100 x*（1+5%）=105x，利潤率=（售價-成本）/成本，今年的利潤率為（105x-90）/90，去年的利潤率為（100 x-100）/100=x-1 ?！?產(chǎn)品利潤率是去年的兩倍”，（ 105x-90 ）/90=2*（ x-1 ）， 105x-90=180 x-180，75x=90，x=1.2，要求今年的利潤率，直接代入不好算，去年的利潤率比較好算，先算去年的利潤率，去年的利潤率為 1.2-1=0.2=20%，今年的利潤率=20%*2=40%，對應(yīng) C 項?！具x C】【知識

12、點】經(jīng)濟利潤問題：1.分段計費：核心是理清計費規(guī)則。題型：水電費、出租車費、稅費、快遞費等。方法：分段計算、加和求解。2.函數(shù)最值：題型：單價/單利與數(shù)量此消彼長，求總價/利潤最大。方法：設(shè)提價/降價次數(shù)為 x。列出方程表示總價/總利；令總價/總利潤為 0，解得 x1、x2；當(dāng) x=（x1+x2）/2 時，取得最值。某地居民用水價格分二級階梯，戶年用水量在 0180（含）噸的水價為 5元/噸；180 噸以上的水價為 7 元/噸。戶內(nèi)人口在 5 人以上的，每多 1 人，階梯水量標(biāo)準(zhǔn)增加 30 噸。老張家 5 人，老李家 6 人，去年用水量都是 210 噸。問老李家的人均水費比老張家少多少元？（）

13、A.12B.35C.47D.60【解析】3.涉及水費，分情況收費，分段計費問題。180 噸就是分界線，“戶內(nèi)人口在 5 人以上的，每多 1 人，階梯水量標(biāo)準(zhǔn)增加 30 噸”，即如果戶內(nèi)人數(shù)為 6 人，分界線為 210 噸，如果戶內(nèi)人數(shù)為 7 人，分界線為 240 噸。要算老張家與老李家人均水費的差值，用水量相同，人數(shù)不相同，逐一來看。老張家：5 口人，分界線為 180 噸，180*5+（210-180）*7=900+210=1110；老李家：6 口人， 分界線為 210 噸，210*5=1050，有的同學(xué)直接用 1110-1050=60，選擇 D 項，是錯誤的，注意題干問的是人均水費，老張家人

14、均水費為 1110/5=222，老李家人均水費為 1050/6=175，所求=222-175=47，對應(yīng) C 項?！具x C】某商店銷售一批燈具，每套成本價格為 650 元，銷售價格為 900 元，每日可以銷售 12 套。一套燈具的價格每降價 25 元，日銷售量可以增加 3 套。當(dāng)商家實現(xiàn)每日利潤最大化時，每日利潤較原來增加多少元？（）A.625B.675C.825D.900【解析】4.“每套成本價格為 650 元，銷售價格為 900 元”，單利=900-650=250元，單利與銷量此消彼長，函數(shù)最值問題。設(shè)降價了 x 次，總利潤=單個利潤* 數(shù)量=（250-25x）*（12+3x），令總利潤為

15、 0，250-25x=0 或 12+3x=0，解得 x1=10、x2=-4，當(dāng) x=（10-4）/2=3 時，每日利潤最大化，問每日利潤較原來增加多少元， 原來的利潤為 250*12=2500+250*2=3000，現(xiàn)在的利潤為（250-25*3）*（12+3*3）=175*21=175*20+175=3500+175=3675，所求=3675-3000=675，對應(yīng) B 項?！具x B】【知識點】排列組合與概率： 1.排列與組合：分類與分步：分類（+）：要么要么。奶茶有 5 種，咖啡有 4 種，要么喝奶茶要么喝咖啡，總共有 5+4=9 種。分步（*）：既又。午飯有 3 種，晚飯有 4 種，既要

16、吃午飯又要吃晚飯，總共有 3*4=12 種。排列與組合：排列（A）：n 個不同元素中選 m 個排成一排，A（n,m），與順序有關(guān)。從 5 個不同元素中選 3 個排成一排，為 A（5,3）。組合（C）：n 個不同元素中選 m 個組成一組，C（n,m），與順序無關(guān)。從 5 個不同元素中選 3 個組成一組，C（5,3）。（3）計算：A（n,m）=從 n 開始往下乘 m 個數(shù)。如 A（5,3）=5*4*3。C（n,m）=從 n 開始往下乘 m 個數(shù)/從 m 開始往下乘 m 個數(shù)。如 C（5,3）=（5*4*3）/（3*2*1）。（4）常用方法：捆綁法：特征在一起/相鄰/相連。方法先捆綁(看作整體)，再

17、排列組合。不要忽略捆綁內(nèi)部是否有順序。c.如甲、乙、丙三人非要坐在一起，用捆綁法。插空法：特征不在一起/不相鄰/不相連。方法先排其它(沒要求的)，再插空。甲、乙、丙、丁排隊，甲、乙不相鄰，先排丙、丁，為 A（2,2），丙和丁形成 3 個空，從 3 個空中選 2 個空放甲、乙，為 A（3,2），即 A（2,2）*A（3,2）。2.概率。某交警大隊的 16 名民警中，男性為 10 人，現(xiàn)要選 4 人進行夜間巡邏工作， 要求男性民警不得少于 2 名，問有多少種選人方法？（）A.1605B.1520C.1071D.930【解析】5.方法一：“某交警大隊的 16 名民警中，男性為 10 人”，說明女性為

18、 6 人，“要求男性民警不得少于 2 名”即2 名。（1）男性 2 人、女性 2人：從 10 名男性中選 2 人，只是選人，沒有順序，用 C，為 C（10,2），從 6 名女性中選 2 人，為 C（6,2），既又，用乘法，為 C（10,2）*C（6,2）；（2）男性 3 人、女性 1 人：從 10 名男性中選 3 人，為 C（10,3），從 6 名女性中選 1 人，為 C（6,1），既又，用乘法，為 C（10,3）*C（6,1）；（3） 男性 4 人、女性 0 人：從 10 名男性中選 4 人，為 C（10,4）。要么要么， 分類相加，C（10,2）*C（6,2）+ C（10,3）*C（6,1

19、）+C（10,4）=（10*9）/2*（6*5）/2+（10*9*8）/（3*2）*6+（10*9*8*7）/（4*3*2）=45*15+120*6+210， 計算量比較大，看尾數(shù)，尾數(shù) 5+尾數(shù) 0+尾數(shù) 0=尾數(shù) 5，只有 A 項滿足。方法二：出現(xiàn)不少于，考慮反面，“要求男性民警不得少于 2 名”的反面為男性民警少于 2 名。（1）男性 1 人、女性 3 人：從 10 名男性中選 1 人，為C（10,1），從 6 名女性中選 3 人，為 C（6,3），既又，分步相乘，為C（10,1）*C（6,3）；（2）男性 0 人、女性 4 人：從 6 名女性中選 4 人，為 C（6,4）=C（6,2）

20、?？偳闆r數(shù)：從 16 名中選 4 名，為 C（16,4）。正面情況數(shù)= 總情況數(shù)-反面情況數(shù)=C（16,4）-C（10,1）*C（6,3）-C（6,2）=（16*15*14*13）/（4*3*2*1）-10*（6*5*4）/（3*2*1）-（6*5）/（2*1）=14*13*10-10*20-15， 用尾數(shù)法，尾數(shù) 0-尾數(shù) 0-尾數(shù) 5=尾數(shù) 5，對應(yīng) A 項?！具x A】【注意】出現(xiàn)：至少/至多/不少于，考慮反面，正面情況數(shù)=總情況數(shù)- 反面情況數(shù)。某場學(xué)術(shù)論壇有 6 家企業(yè)作報告，其中 A 企業(yè)和 B 企業(yè)要求在相鄰的時間內(nèi)作報告，C 企業(yè)作報告的時間必須在 D 企業(yè)之后、在 E 企業(yè)之前

21、，F(xiàn) 企業(yè)要求不能第一個，也不能最后一個作報告。如滿足所有企業(yè)的要求，則報告的先后次序共有多少種不同的安排方式？（ ）A.12B.24C.72D.144【解析】6.本質(zhì)上是 6 家企業(yè)排一排，但有要求，依次來看?！癆 企業(yè)和 B 企業(yè)要求在相鄰的時間內(nèi)作報告”，將 A、B 捆成一個整體，內(nèi)部有順序，為 A（2,2）；“C 企業(yè)作報告的時間必須在 D 企業(yè)之后、在 E 企業(yè)之前”，D、C、E 的次序是固定的，形成 4 個空，從 4 個空中選一個空放 A 和 B，為 C（4,1）；“F 企業(yè)要求不能第一個，也不能最后一個作報告”，D、C、E、A 和 B 形成 5 個空， 但首尾的空不能選，從 3

22、個空中選 1 個放 F，為 C（3,1）。所求=A（2,2）*C（4,1）*（3,1）=2*4*3=24，對應(yīng) B 項?！具x B】【注意】一個人沒有順序，用 A、用 C 沒有區(qū)別。兩個人有順序要求，用 A?！局R點】概率問題：給情況數(shù)求概率：P=滿足要求情況數(shù)/總的情況數(shù)。給概率求概率：（1）分類：P=P1+P2+（2）分步：P=P1*P2*某單位的會議室有 5 排共 40 個座位，每排座位數(shù)相同。小張和小李隨機入座，則他們坐在同一排的概率是（ ）。A.不高于 15%B.高于 15%但低于 20%C.正好為 20%D.高于 20%【解析】7.“某單位的會議室有 5 排共 40 個座位，每排座位

23、數(shù)相同”，即每排的座位數(shù)為 8 個，求概率，題干給的是情況數(shù)，P=滿足要求情況數(shù)/總的情況數(shù)。方法一：總情況數(shù)：從 40 個座位中選 2 個，小張坐第一排、小李坐最后一排與小李坐第一排、小張坐最后一排是不一樣的，即調(diào)換順序?qū)Y(jié)果有影響，用A，為 A（40,2）；滿足要求的情況數(shù)：總共 5 排，從 5 排中選 1 排，有 5 種情況，假設(shè)選第一排，從 8 個座位里選 2 個，為 A（8,2）。P=5*A（8,2）/A（40,2）=（5*8*7）/（40*39）=7/3917%，對應(yīng) B 項。或者大致估算，7/35=1/5=20%7/397/42=1/616.6%，對應(yīng) B 項。方法二：跟屁蟲問題

24、。第一個人隨便坐，概率為 40/40=1，第一個人選了 1個座位，還剩 39 個座位，假設(shè)第一個人坐在第三排，則第二個人也只能坐第三排，在第三排剩下的 7 個位置中選 1 個，概率為 7/39，所求=1*（7/39）=7/39， 對應(yīng) B 項?！具x B】【知識點】跟屁蟲問題：什么時候用：兩個人/物；要求在同一排/同一列/同一輛車的概率。怎么用：先放一個(隨意放)，再放另一個。例：兩個人出門有 10 趟車可以坐，求兩個人坐同一趟車的概率。第一個人 10 趟車都可以坐，概率為 10/10，第二個人只能坐第一個人坐的那一趟，概率為 1/10，所求=1*（1/10）=1/10。8.天氣預(yù)報預(yù)測未來 2

25、 天的天氣情況如下：第一天晴天 50%、下雨 20%、下雪 30%；第二天晴天 80%、下雨 10%、下雪 10%。則未來兩天天氣狀況不同的概率為（ ）。A.45%B.50%C.55%D.60%【解析】8.給概率求概率，分類或分步。方法一：第一天為晴天，第二天要么是下雨要么是下雪，要么要么， 用加法，既要第一天是晴天又要第二天不是晴天，用乘法，即 50%*（10%+10%）=50%*20%=10%；第一天為下雨，第二天要么是晴天要么是下雪，20%*（80%+10%）=20%*90%=18%；第一天為下雪，第二天要么是晴天要么是雨天，30%*（80%+10%）=30%*90%=27%。要么要么，

26、分類相加，10%+18%+27%=55%，對應(yīng) C 項。方法二：正面概率=1-反面概率=1-都是晴天的概率-都是下雨的概率-都是下雪的概率=1-50%*80%-20%*10%-30%*10%=1-40%-2%-3%=1-45%=55%，對應(yīng) C 項。方法三：猜題。A 項+C 項=100%，兩天天氣狀況不同的概率較大，猜 C 項?！具x C】【注意】其它題型： 1.幾何問題。最值問題。容斥問題。實心方陣問題?！局R點】幾何問題： 1.基礎(chǔ)幾何：幾何公式：周長：正方形：4a；長方形：2*（a+b）；圓形：2R；弧長：2R*n/360。面積：正方形：a；長方形：ab；三角形：ah/2；圓形：R；扇形：

27、 R*（n/360），梯形：（a+b）/2*h；菱形：對角線乘積/2。表面積：正方體：6a；長方體：2*（ab+bc+ac）；圓柱體（棱柱）：2 R+2Rh；球體：4R。體積：正方體：a；長方體：abc；柱體：Sh；錐體：（1/3）*Sh；球體：（4/3）*R。規(guī)則圖形：套公式。不規(guī)則圖形：通過割補平移轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。2.技巧幾何：勾股定理相關(guān)。常見勾股數(shù)：（3、4、5），（6、8、10），（5、12、13），（1、1、 2）等腰直角三角形，（1、 3、2）30直角三角形。a+b=c。相似三角形：邊長比（含高）=相似比，面積比=相似比。兩個三角形相似，相似比=2/3，h1/h2=2/3，C1/

28、C2=2/3，S1/S2=（2/3）=4/9。如下圖，ADEABC，假設(shè) AD=1，AB=2，相似比=1/2，SADE/SABC=1/4， S 梯形DEBC=SABC-SADE=4 份-1 份=3 份。3.注意：給了圖的平面幾何，一定要做；如果是立體幾何，建議放棄。如下圖所示，正方形 ABCD 中，AB=1，AC 與 BD 都是以 1 為半徑的圓弧， 則無陰影的兩部分面積之差為（）。A./2-1B.1-/4C./8-1D.1-/6【解析】9.要求-，+=1/4*r=1/4*1=/4，+=1-/4=1-/4，-=/4-（1-/4）=/2-1，對應(yīng) A 項?！具x A】【注意】S 圓形=r，S 正方

29、形=邊長*邊長。有兩個水桶均有 50 厘米深，底面積之比為 5：4，甲水桶水深 9 厘米，乙水桶水深 5 厘米。再往兩個水桶各注入同樣多的水，直到水深相等，這時兩個水桶的水深是（）。A.20 厘米B.25 厘米C.30 厘米D.35 厘米【解析】10.水桶為圓柱體，假設(shè)水桶的水深為 a，“往兩個水桶各注入同樣多的水”，核心是體積相等，即兩個紫色部分體積相等，V1=V2，5x*（a-9）=4x*（a-5），5a-45=4a-20，a=25，問這時兩個水桶的水深，即 25，對應(yīng) B 項?！具xB】如圖所示，小王買了一塊直三棱柱形狀的蛋糕 ABC-ABC，其中 ABC=90，BAC=30。為與兩位室友

30、分享，他切出一小塊和原蛋糕形狀相同的蛋糕 ADE-ADE，其體積與原蛋糕的體積之比為 1：3。若ADE=90，則線段 AE 與 EB 的長度之比為（ ）。A.2：1B.3：2C. 3：13D.2：【解析】11.切出一小塊和原蛋糕形狀相同的蛋糕 ADE-ADE，想到相似，從“其體積與原蛋糕的體積之比為 1：3”入手，VADE-ADE：VABC-ABC=1：3， SADE*AA：SABC*AA=1：3，高相同，體積比=面積比，即 SADE：SABC=1：3，在相似三角形中，面積比等于相似比的平方，則相似比為 1/ 3。問線段 AE 與 EB的長度之比，AE/AC=1/ 3，假設(shè) AE 為 x，則

31、AC 為 3x，EB=AB-AE，核心是計算AB，AB 在ABC 中，有一個角是 30的直角三角形，AB=AC*cos30= 3x*（ 3/2）=3x/2，EB=3x/2-x=x/2，所求=AE/EB=x：x/2=2：1，對應(yīng) A 項?；蛘吒鶕?jù)勾股定理計算，AB+BC=AC，AB+3/4*x=3x，AB=9/4*x，AB=3/2*x，EB=3x/2-x=x/2， 所求=AE/EB=x：x/2=2：1，對應(yīng) A 項?！具x A】【注意】有一個角是 30的直角三角形，三邊關(guān)系 1： 3：2。在相似三角形中，面積比等于相似比的平方。3.sin30= 1/2，sin45= 2/2，sin60= 3/2；

32、cos30= 3/2，cos45= 2/2，cos60= 1/2。4.本題也可以賦值，賦值 AE=1、AC= 3，本質(zhì)與設(shè)未知數(shù)是一樣的?！局R點】最值問題構(gòu)造數(shù)列：題型特征：幾個數(shù)和一定，求最大或最小。解題思路：排序定位求誰設(shè)誰反向構(gòu)造加和求解。注意：是否為整數(shù)。是否相同。如果沒有說各不相同，則可以相同。4.例：假設(shè)每個小朋友分得的蘋果數(shù)各不相同。（1）5 個小朋友分 25 個蘋果，問分得最多的小朋友最多分得幾個？答：排序定位：按分得的蘋果數(shù)從高到底排序；求誰設(shè)誰：要求分得最多的小朋友，即設(shè)第一名為 x；反向構(gòu)造：和一定，要讓第一名盡可能多，則讓其他盡可能少，第五名最少為 1 個，第四名最少

33、為 2 個，第三名最少為 3 個，第二名最少為 2 個；加和求解：x+4+3+2+1=25，x=15。（2）5 個小朋友分 25 個蘋果，問分得最多的小朋友最少分得幾個？答：排序定位：按分得的蘋果數(shù)從高到底排序；求誰設(shè)誰：要求分得最多的小朋友，即設(shè)第一名為 x；反向構(gòu)造：要讓第一名盡可能少，則讓其他盡可能多， 第二名最多為 x-1 個，第三名最多為 x-2 個，第四名最多為 x-3 個，第五名最多為 x-4 個；加和求解：x+x-1+x-2+x-3+x-4=25。（3）5 個小朋友分 25 個蘋果，問分得第三多的小朋友最多分得幾個？答：排序定位：按分得的蘋果數(shù)從高到底排序；求誰設(shè)誰：要求分得第

34、三多的小朋友，即設(shè)第三名為 x；反向構(gòu)造：要讓第三名盡可能多，則讓其他盡可能少，第五名最少為 1 個，第四名最少為 2 個，第二名最少為 x+1 個，第一名最少為 x+2 個；加和求解：x+2+x+1+x+2+1=25，3x=19，x=6.X，蘋果數(shù)為整數(shù)，最多是 6.X，取整為 6。5.計算的結(jié)果不為整數(shù)，反向取整。13.10 個箱子總重 100 公斤，且重量排在前三位的箱子總重不超過重量排在后三位的箱子總重的 1.5 倍，問最重的箱子重量最多是多少公斤？（）A.200/11B.500/23C.20D.25【解析】13.和一定，求最大，構(gòu)造數(shù)列問題。排序定位：按從大到小的重 量排序；求誰設(shè)誰

35、：設(shè)第一重的為 x；反向構(gòu)造：要讓第一重的盡可能多，則讓其它的盡可能少，重量不一定是整數(shù)，最少為多少不知道，則設(shè)第十重的最少為a，題目沒有說各不相同，則第九重的最少也為 a，同理，第二重第八重的最少都為 a；加和求解：“重量排在前三位的箱子總重不超過重量排在后三位的箱子總重的 1.5 倍”，不超過即，x+a+a（a+a+a）*1.5，x+2a3a*1.5，x 2.5a，x 要盡可能大，x 最大為 2.5a，2.5a+9a=100，11.5a=100，a=100/11.5=200/23，選項沒有答案，注意求的是 x，x=2.5a=2.5*（200/23）=500/23，對應(yīng) B 項。【選B】【注

36、意】排序定位求誰設(shè)誰反向構(gòu)造加和求解。排序定位的時候不用管重量一不一樣，這是一種做題思路?！局R點】最值問題最不利原則： 1.題型特征：至少保證解題思路：最不利情況+1。假設(shè)口袋里有 3 個紅球、2 個白球、2 個黑球。問至少取多少個可以取到紅球？答：只是說取到，至少取 1 個可以取到紅球。至少取多少個保證取到紅球？答：隨便取 1 個球，不能保證一定是紅球，當(dāng)把 2 個白球、2 個黑球拿完，再拿 1 個，一定保證能取到紅球，2+2+1=5。一副撲克牌，至少取幾張能保證有 2 張牌花色相同？答：最糟糕的情況是四個花色和大王、小王都拿 1 張，再拿 1 張，一定能保證有 2 張花色相同，2+4+1

37、=7。一副撲克牌，至少取幾張能保證有 4 張牌花色相同？答：大王、小王永遠(yuǎn)都不能滿足有花色相同，先取出，四個花色每種取 3張，再取 1 張，能保證有 4 張牌花色相同，2+3*4+1=15。一副撲克牌，至少取幾張能保證有 6 張牌花色相同？答：大王、小王永遠(yuǎn)都不能滿足有花色相同，先取出，四個花色每種取 5張，再取 1 張，能保證有 6 張牌花色相同，2+5*4+1=23。比如大學(xué)考試，最糟糕的情況不是考 0 分，而是考 59 分。12.某演唱會主辦方為觀眾準(zhǔn)備了白、紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫 7 種顏色的熒光棒各若干只，每名觀眾可在入口處任意選取 2 只，若每種顏色的熒光棒都足夠多，那么至少（ ）

38、名觀眾中，一定有兩人選取的熒光棒顏色完全相同。A.14B.22C.28D.29【解析】12.“每名觀眾可在入口處任意選取 2 只”，即可以是白白、白紅、紅紅、紫紫，如果一個一個枚舉，方案太多，比較麻煩，可以借助排列組合， 不可以用 C（7,2），因為 C（7,2）的前提是不同的元素，可以分為同色和不同色。同色：有 7 種，不同色：從 7 種顏色中選 2 種，為 C（7,2）=21 種，分類相加，共有 7+21=28 種選擇方式。出現(xiàn)至少保證，最不利原則，找最糟糕的情況，最糟糕的情況是把所有的情況都選了一遍，再來一個人，一定有兩人選取的熒光棒顏色完全相同，所求=28+1=29，對應(yīng) D 項?！具x

39、 D】【注意】出題人一般會設(shè)置差 1 的選項，C 項+1=D 項，如果忘記+1，就會錯選 C 項，則猜 D 項?！局R點】容斥問題：核心是公式。研究集合之間的交叉問題。1.兩集合：公式：A+B-AB=總數(shù)-都不滿足。推導(dǎo)：假設(shè)我們班有 39 人，一定有人喜歡語文，有人喜歡數(shù)學(xué)，有人既喜歡語文又喜歡數(shù)學(xué)，有人既不喜歡語文又不喜歡數(shù)學(xué)。A 表示喜歡語文，B 表示喜歡數(shù)學(xué)，AB 表示既喜歡語文又喜歡數(shù)學(xué)，空白部分表示既不喜歡語文又不喜歡數(shù)學(xué)，方框代表全班。A+B 多算了中間紫色部分（AB），需要-AB， 即 A+B-AB=總數(shù)-都不滿足。三集合標(biāo)準(zhǔn)型：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=總數(shù)-都不

40、滿足。三集合非標(biāo)準(zhǔn)型：A+B+C-（只）滿足兩項-2*滿足三項=總數(shù)-都不滿足。常識公式：滿足一項+滿足兩項+滿足三項=總數(shù)-都不滿足。14.在 1 到 400 的全部自然數(shù)中，既不是 7 的倍數(shù)又不是 9 的倍數(shù)的數(shù)有多少個？（）A.293B.299C.301D.305【解析】14.枚舉比較復(fù)雜，反向思考，7 的倍數(shù)：400/7=571，即 7 的倍數(shù)有 57 個；9 的倍數(shù)：400/9=444，即 9 的倍數(shù)有 44 個，有的數(shù)字既是 7的倍數(shù)又是 9 的倍數(shù)，比如 63，既是 7 的倍數(shù)又是 9 的倍數(shù)：400/63=622，A 表示 7 的倍數(shù)，B 表示 9 的倍數(shù)，AB 表示既是 7

41、 的倍數(shù)又是 9 的倍數(shù)，A+B-AB=總數(shù)-都不滿足，設(shè)既不是 7 的倍數(shù)又不是 9 的倍數(shù)（都不滿足）為 x， 57+44-6=400-x，看尾數(shù)，尾數(shù) 1-尾數(shù) 6=尾數(shù) 5=400-x，x 的尾數(shù)為 5，對應(yīng) D 項?！具x D】【知識點】三集合：A 代表喜歡語文，B 代表喜歡數(shù)學(xué)，C 代表喜歡英語， 紅色部分代表既喜歡語文又喜歡數(shù)學(xué)，即 AB，藍(lán)色部分代表既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡英語，即 BC，紫色部分代表既喜歡語文又喜歡英語，即 AC。三集合標(biāo)準(zhǔn)型：公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=總數(shù)-都不滿足。推導(dǎo)：A+B+C，出現(xiàn)重疊，需要-AB-AC-BC，最中間部分加了三次又減了三次，相

42、當(dāng)于沒了，需要+ABC，即 A+B+C-AB-AC-BC+AB C=總數(shù)-都不滿足。三集合非標(biāo)準(zhǔn)型：公式：A+B+C-（只）滿足兩項-2*滿足三項=總數(shù)-都不滿足。推導(dǎo)：A+B+C，紅色部分代表只滿足兩項，重復(fù)了兩次，需要減一次， 即-（只）滿足兩項，中間部分重復(fù)了三次，需要減兩次，即-2*滿足三項。常識公式：公式：滿足一項+滿足兩項+滿足三項=總數(shù)-都不滿足。推導(dǎo)：紅色部分表示只滿足一項，藍(lán)色部分表示只滿足兩項，紫色部分表示滿足三項，每一種只加了 1 次，滿足一項+滿足兩項+滿足三項=總數(shù)-都不滿足。如果題干給的數(shù)據(jù)都是公式里的數(shù)據(jù)，直接用公式，如果題干或問題給的數(shù)據(jù)與公式對不上，則畫圖。春

43、節(jié)期間，某單位共有 47 名員工參加了慰問 A、B、C 三地困難群眾的活動。已知有 15 名員工參加了慰問 A 地困難群眾的活動，有 23 名員工參加了慰問B 地困難群眾的活動，有 38 名員工參加了慰問 C 地困難群眾的活動。其中有 5 名員工均參加了 3 次慰問活動，則該單位有（）名員工只參加了 1 次慰問活動。A.19B.21C.23D.25【解析】15.A=15，B=23，C=38，ABC=5，問只滿足一項的，用常識型公式：滿足一項+滿足兩項+滿足三項=總數(shù)-都不滿足，設(shè)只滿足一項的為 x，滿足兩項的為 y，都參加活動，則都不=0，x+y+5=47，要想求 x，核心是計算 y，非標(biāo)準(zhǔn)型公式出現(xiàn)了只滿足兩項，A+B+C-（只）滿足兩項-2*滿足三項=總數(shù)-都不滿足，15+23+38-y-2*5=47，5+23+38-y=47，y=19，代回第一個式子，x+19+5=47， x+24