復(fù)變內(nèi)容lecture級(jí)數(shù)表示

1、第四講：周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示Spring, 2015By Y N Zhang1用“三角函數(shù)和” 來(lái)描述周期現(xiàn)象的概念可以追溯到古巴比倫時(shí)代。后經(jīng)Euler，Bernolli這些偉大的名字，直至Joseph Fourier！Spring, 2015By Y N Zhang2Spring, 2015By Y N Zhang31822年，傅里葉最終出版了專著熱的解析理論（Theorie analytique de la Chaleur, Didot, Paris, 1822）。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級(jí)數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級(jí)數(shù)后來(lái)就以傅里葉的名字命

2、名。Spring, 2015By Y N Zhang4傅里葉應(yīng)用三角級(jí)數(shù)求解熱傳導(dǎo)方程，同時(shí)為了處理無(wú)窮區(qū)域的熱傳導(dǎo)問(wèn)題又導(dǎo)出了現(xiàn)在所稱的“傅里葉積分”，這一切都極大地推動(dòng)了偏微分方程邊值問(wèn)題的研究。然而傅里葉的工作意義遠(yuǎn)不止此，它迫使人們對(duì)函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對(duì)不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題更刺激了集合論的誕生。因此，熱的解析理論影響了整個(gè)19世紀(jì)分析嚴(yán)格化的進(jìn)程。Spring, 2015By Y N Zhang51. LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)基本信號(hào)集 一個(gè)好的基本信號(hào)集，自身簡(jiǎn)單明晰，又能構(gòu)造出廣泛實(shí)用的信號(hào)。對(duì)LTI系統(tǒng)而言，任意信號(hào)的輸出響應(yīng)都能由基本信號(hào)集的

3、輸出響應(yīng)線性組合而成。Spring, 2015By Y N Zhang6復(fù)指數(shù)信號(hào)對(duì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)而言，復(fù)指數(shù)信號(hào)集 是一個(gè)很重要的基本信號(hào)集。Spring, 2015By Y N Zhang7連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)Spring, 2015By Y N Zhang8連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的輸出Spring, 2015By Y N Zhang9對(duì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，定義Spring, 2015By Y N Zhang10對(duì)任意給定參數(shù)s，連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系為：這里 為一個(gè)常數(shù)。Spring, 2015By Y N Zhang11Spring, 2015By Y N

4、Zhang12連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)特征函數(shù)與特征值給定系統(tǒng)，如果一個(gè)信號(hào)的輸出為輸入信號(hào)乘以某個(gè)常數(shù)。則稱該信號(hào)為系統(tǒng)的特征函數(shù)（eigenfunction），而與該特征函數(shù)對(duì)應(yīng)的常數(shù)為系統(tǒng)的特征值（eigenvalue）。Spring, 2015By Y N Zhang13LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)與特征值由前所述，復(fù)指數(shù)函數(shù)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)（eigenfunction），而給定參數(shù)s，常數(shù) 為相應(yīng)的特征值（eigenvalue）。Spring, 2015By Y N Zhang14Spring, 2015By Y N Zhang15連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)如果任意信號(hào)能表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的 線性組合，那么LTI

5、系統(tǒng)的輸出就很容易表示。2. 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) 給定連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) ，其基礎(chǔ)周期為T，則 其基礎(chǔ)頻率 。Spring, 2015By Y N Zhang16諧波集 給定基礎(chǔ)頻率 ，定義復(fù)指數(shù)信號(hào)集為諧波集 k=0為常數(shù)，k=+1/-1為一次諧波分量， k=+N/-N為N次諧波分量。Spring, 2015By Y N Zhang17傅立葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）展開(kāi) 利用諧波集中信號(hào)的線性組合，有如下形式的表達(dá)式 如果一個(gè)周期信號(hào)能表示成上面的形式，則稱為傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。Spring, 2015By Y N Zhang18連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)（

6、Fourier Series）展開(kāi) 給定基礎(chǔ)頻率為 的周期信號(hào) ，假設(shè)信號(hào)能展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)形式： Spring, 2015By Y N Zhang19現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了！ 如何確定連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù) ？ Spring, 2015By Y N Zhang20 Spring, 2015By Y N Zhang21 Spring, 2015By Y N Zhang22重要結(jié)論 上式本質(zhì)上意味著諧波集 是正交信號(hào)集。而傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)是對(duì)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的正交分解或正交展開(kāi)。Spring, 2015By Y N Zhang23 Spring, 2015By Y N Zhang24在上

7、述積分中，由于信號(hào)及各次諧波都以T為周期，積分限0,T可以可以放寬為任意長(zhǎng)度為T的區(qū)間。于是有如下結(jié)論： Spring, 2015By Y N Zhang25如果連續(xù)時(shí)間信號(hào)存在傅立葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）展開(kāi)，則有 Spring, 2015By Y N Zhang26 Spring, 2015By Y N Zhang27Analysis equationSynthesis equation3. 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性Spring, 2015By Y N Zhang28 Spring, 2015By Y N Zhang29Analysis equationSynthe

8、sis equationDirichlet條件 P. L. Dirichlet證明了，在滿足一定條件下，信號(hào)與其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式之間幾乎處處相等，僅在信號(hào)的孤立斷點(diǎn)上，傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)收斂于斷點(diǎn)兩端取值的均值。Dirichlet條件具體描述如下： Spring, 2015By Y N Zhang30條件1： 在任意周期內(nèi)，信號(hào)必須絕對(duì)可積，即 信號(hào)絕對(duì)可積也意味著 Spring, 2015By Y N Zhang31條件2： 在任意有限時(shí)間段內(nèi)，信號(hào)的變化是有限的。即，在任意一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)只有有限個(gè)極大值和極小值。 Spring, 2015By Y N Zhang32例，函數(shù)滿足條件1，而不滿

9、足條件2。其一個(gè)周期為 Spring, 2015By Y N Zhang33Spring, 2015By Y N Zhang34條件3： 在任意有限時(shí)間段內(nèi)，信號(hào)只有有限個(gè)斷點(diǎn)。而且，這些斷點(diǎn)是有限的。 Spring, 2015By Y N Zhang35好消息： 通常情況下，我們面對(duì)的信號(hào)都滿足Dirichlet條件。傅立葉級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題將不會(huì)困擾我們！ Spring, 2015By Y N Zhang364. 傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)Spring, 2015By Y N Zhang37連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) 給定連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) ，其基礎(chǔ)周期為T，基礎(chǔ)頻率 。其傅立葉級(jí)數(shù)表示為 。Spring, 201

10、5By Y N Zhang38線性性： 對(duì)基礎(chǔ)周期T相同的兩個(gè)信號(hào)，有 Spring, 2015By Y N Zhang39時(shí)移性： 假設(shè) 有 時(shí)移性意味著周期信號(hào)若發(fā)生時(shí)移，其傅立葉級(jí)數(shù)的幅度（magnitude）不變。 Spring, 2015By Y N Zhang40時(shí)間翻轉(zhuǎn)： 假設(shè) 有 時(shí)間翻轉(zhuǎn)特性意味著周期信號(hào)若發(fā)生時(shí)間翻轉(zhuǎn)，其傅立葉級(jí)數(shù)也相應(yīng)翻轉(zhuǎn)。 Spring, 2015By Y N Zhang41時(shí)間尺度變換： 假設(shè)周期信號(hào)發(fā)生時(shí)間尺度變換，即 變換后的信號(hào)為不同基礎(chǔ)周期和基礎(chǔ)頻率的信號(hào)。 按照定義，易知新信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)數(shù)值上保持不變，但各次諧波的頻率已經(jīng)不同。（請(qǐng)自行證明?。?Spring, 2015By Y N Zhang42共軛與共軛對(duì)稱性： 假設(shè) 有 Spring, 2015By Y N Zhang43 假設(shè)信號(hào)為實(shí)信號(hào)，則進(jìn)一步有 傅立葉級(jí)數(shù)的這種關(guān)系成為共軛對(duì)稱（c