高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若橢圓x2a2+y25=1(a5)的長軸長為6,則它的焦距為()A.4B.3C.2D.1解析橢圓x2a2+y25=1(a5)的長軸長為6,則2a=6,即a=3,由于b2=5,則c2=a2-b2=4,即c=2,則它的焦距為2c=4,故選A.答案A2.已知橢圓的方程為2x2+3y2=m(m0),則橢圓的離心率為()A.13B.33C.22D.12解析因為2x2+3y2=m(m0),所以x2m2+y2m3=1.所以c2=m2-m3=m6.故e2=13,解得e=33.答案B3.焦點在x軸上,長、短半軸之和為10,焦距

2、為45,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1解析由題意得c=25,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故橢圓方程為x236+y216=1.答案A4.阿基米德(公元前287年公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的焦點在x軸上,且橢圓C的離心率為74,面積為12,則橢圓C的方程為()A.x23+y24=1B.x29+y216=1C.x24+y23=1D.x21

3、6+y29=1解析由題意可得ab=12ca=74a2=b2+c2,解得a=4,b=3,因為橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓方程為x216+y29=1.答案D5.(多選題)已知橢圓x2k+8+y29=1的離心率e=12,則k的值可能是()A.-4B.4C.-54D.54解析(1)當(dāng)焦點在x軸上,即當(dāng)k+89,即k1時,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a=k+8,b=3,則c=a2-b2=k-1,所以橢圓的離心率e=ca=k-1k+8=12,解得k=4.(2)當(dāng)焦點在y軸上,即當(dāng)0k+89,即-8k1時,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得b=k+8,a=3,則c=a2-b2=1-k,所以橢圓的離心率e=ca=1-k3=12,解得k

4、=-54.答案BC6.某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓,近地點A距地面m km,遠(yuǎn)地點B距離地面n km,地球半徑為k km,則飛船運行軌道的短軸長為()A.2(m+k)(n+k)B.(m+k)(n+k)C.mnD.2mn解析由題意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m+k)(n+k).所以橢圓的短軸長為2(m+k)(n+k).答案A7.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為()A.13B.12C.23D.14解析不妨設(shè)橢圓方程

5、為x2a2+y2b2=1,則可設(shè)直線lxc+yb=1,依題意,有11c2+1b2=b2,即4=b21c2+1b2,b2c2=3,a2-c2c2=3,e=ca=12.答案B8.已知橢圓的短半軸長為1,離心率00,所以a21,故1a2,長軸長2b0)的兩焦點與短軸的一個頂點恰組成一個正三角形的三頂點,且橢圓C上的點到橢圓的焦點的最短距離為3,則橢圓C的方程為.解析因為橢圓的兩焦點與短軸的一個頂點恰組成一個正三角形的三頂點,所以有tan 60=bcb=3c.又因為橢圓C上的點到橢圓的焦點的最短距離為3,所以有a-c=3,而a2=b2+c2,三個等式聯(lián)立得b=3ca-c=3a2=b2+c2a=23b=

6、3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212+y29=1.答案x212+y29=110.已知橢圓x24+y23=1,在該橢圓上是否存在點M,使得點M到橢圓的右焦點F和到直線x=4的距離相等.若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假設(shè)在橢圓上存在點M,使得點M到橢圓的右焦點F和到直線x=4的距離相等,設(shè)M(x,y)(-2x2),則(x-1)2+y2=|x-4|,兩邊平方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因為-2x2,所以符合條件的點M不存在.能力提升練

7、1.(多選題)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的兩焦點為F1,F2,若橢圓上存在點P,使F1PF2=120,則橢圓的離心率e可以是()A.22B.32C.34D.78解析當(dāng)P是橢圓的上下頂點時,F1PF2最大,120F1PF2180,60F1PO90,sin 60sinF1POsin 90,|F1P|=a,|F1O|=c,32ca1)的離心率e=255,P為橢圓上的一個動點,若定點B(-1,0),則|PB|的最大值為()A.32B.2C.52D.3解析由題意可得:e2=a2-1a2=2552,據(jù)此可得:a2=5,橢圓方程為y25+x2=1,設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)為P(x0,y0),則y02=5

8、(1-x02),故|PB|=(x0+1)2+y02=(x0+1)2+5(1-x02)=-4x02+2x0+6,當(dāng)x0=14時,|PB|max=52.答案C4.已知點P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上,點M(a,b)為平面上一點,O為坐標(biāo)原點,則當(dāng)|OM|取最小值時,橢圓的離心率為()A.33B.12C.22D.32解析點P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上,可得4a2+1b2=1,M(a,b)為平面上一點,O為坐標(biāo)原點,則|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b25+24b2a2a2b2=3,當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時,等號成立,此時由4

9、a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6,b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故選C.答案C5.以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為2,則橢圓長軸長的最小值為.解析由題意知,當(dāng)橢圓上的點為短軸端點時,三角形面積有最大值,即bc=2.a2=b2+c22bc=4,a2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立.2a4,即橢圓長軸長的最小值為4,故答案為4.答案46.如圖,把橢圓x24+y22=4的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F

10、|+|P6F|+|P7F|=.解析根據(jù)題意,把橢圓x24+y22=4的長軸AB分成8等份,設(shè)另一焦點為F2,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則根據(jù)橢圓的對稱性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余兩對的和也是2a.又|P4F|=a,|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.答案287.已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的兩個焦點,P為橢圓上一點,且PF1PF2=c2,求橢圓離心率的取值范圍.解設(shè)

11、P(x0,y0),則PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所以PF1PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=x02-c2+y02.因為P(x0,y0)在橢圓上,所以x02a2+y02b2=1.所以y02=b21-x02a2,所以PF1PF2=x02-c2+b21-x02a2=c2,解得x02=(3c2-a2)a2c2.因為x0-a,a,所以x020,a2,即0(3c2-a2)a2c2a2,所以2c2a23c2.即13c2a212,所以33ca22,即橢圓離心率的取值范圍是33,22.素養(yǎng)培優(yōu)練橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上有一點P,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,橢圓內(nèi)一點Q在線段PF2的延長線上,且QF1QP,sin F1PQ=513,則該橢圓離心率的取值范圍是()A.2626,1B.15,53C.15,22D.2626,22解析QF1QP,點Q在以F1F2為直徑,原點為圓心的圓上,點Q在橢圓的內(nèi)部,以F1F2為直徑的圓在橢圓內(nèi),cb.c2a2-c2,e212,故0e22.sin F1PQ=513,cos F1PQ=1213.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則|PF1|+|PF2|=m+n