高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 1.1 空間向量及其運算（精講）(含答案)

1、1.1 空間向量及其運算(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點一 概念辨析【例1】(2021全國高二課時練習(xí))下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是( )A若向量，平行，則，所在直線平行B若，則，的長度相等而方向相同或相反C若向量，滿足，則D相等向量其方向必相同【答案】D【解析】A中，對于非零向量，平行，則，所在的直線平行或重合；B中，只能說明，的長度相等而方向不確定；C中，向量作為矢量不能比較大小；D中，由相等向量的定義知：方向必相同；故選：D.【一隅三反】1.(2021全國高二課時練習(xí))下列命題中，假命題是( )A同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C只

2、有零向量的模等于0D共線的單位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向線段，不能比較大小.真命題.B.兩向量相等：方向相同，模長相等.起點相同，則終點也相同.真命題.C.零向量：模長為0的向量.真命題.D.共線的單位向量是相等向量或相反向量. 假命題.故選：D.2(2021全國高二課時練習(xí))下列說法：若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同；若向量，滿足，且與同向，則；若兩個非零向量與滿足，則，為相反向量；的充要條件是A與C重合，B與D重合.其中錯誤的個數(shù)為( )A1B2C3D4【答案】C【解析】錯誤.兩個空間向量相等，其模相等且方向相同，但與起點和終點的位置無關(guān).錯誤.

3、向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.正確. ，得，且，為非零向量，所以，為相反向量.錯誤. 由，知，且與同向，但A與C，B與D不一定重合.故選：C3(2021全國高二專題練習(xí))在下列結(jié)論中：若向量共線，則向量所在的直線平行；若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；若三個向量兩兩共面，則向量共面；已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)x，y，z使得其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )A0B1C2D3【答案】A【解析】平行向量就是共線向量，它們的方向相同或相反，未必在同一條直線上，故錯兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們在同一平面內(nèi)，故錯.三個向量兩兩共面，這三個向量未必共面

4、，如三棱錐中，兩兩共面，但它們不是共面向量，故錯根據(jù)空間向量基本定理，需不共面才成立，故錯故選:A考點二 共線共面問題【例2-1】(1)(2020全國高二課時練習(xí))設(shè)，是空間兩個不共線的向量，已知，且A，B，D三點共線，則k_.(2)(2021全國高二)在下列條件中，使與，一定共面的是( )ABCD【答案】(1)8(2)C【解析】(1)又A，B，D三點共線，所以，即所以：，解得.故答案為：8(2)對于A選項，由于，所以不能得出共面.對于B選項，由于，所以不能得出共面.對于C選項，由于，則為共面向量，所以共面.對于D選項，由得，而，所以不能得出共面.故選：C【例2-2】(2021福建)如圖，已知

5、為空間的9個點，且， ，求證：(1)四點共面，四點共面；(2)；(3).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】證明：(1)，A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面(2).(3).【一隅三反】1(2021云南)已知為空間任意一點，若，則四點( )A一定不共面B一定共面C不一定共面D無法判斷【答案】B【解析】由空間向量共面定理的推論若，滿足，則四點共面，而，故四點共面.故選：B.2(2021河北)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F(xiàn)在對角線A1C上，且，求證：E，F(xiàn)，B三點共線. 【答案】證明見解析.【解析】設(shè)，而，.,又,，即

6、E，F(xiàn)，B三點共線.3(2021河南)已知，三點不共線，對平面外的任一點，若點滿足.(1)判斷，三個向量是否共面；(2)判斷點是否在平面內(nèi).【答案】(1)共面；(2)點在平面內(nèi).【解析】(1)由題意，知：，即，故共面得證.(2)由(1)知：共面且過同一點.所以四點共面，從而點在平面內(nèi).考點三 空間向量的線性運算【例3】(2021山東)如圖所示，在三棱柱中，是的中點，化簡下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)(2)(3)(4)【一隅三反】1(2021天津)已知M，G分別是空間四邊形ABCD的兩邊BC，CD的中點，化簡下列各式：(1)；(2

7、)；(3)【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)如圖所示，.(2)取BD的中點H，連接MG，GH.因為M，G分別為BC，CD的中點，所以MGBH，MGBH，所以BMGH為平行四邊形，所以，從而.(3)分別取AB，AC的中點S，N，連接SM，AM，MN，則易證得ASMN為平行四邊形，所以，所以.2(2021廣東)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡：(1)；(2)【答案】(1)(2).【解析】(1)(2)因為E，F(xiàn)，G分別為BC，CD，DB的中點所以所以3(2021全國高二課時練習(xí))如圖，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分

8、別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點，且，.求證：四邊形EFGH是梯形.【答案】證明見解析.【解析】因為分別為的中點，所以,則 ，所以且，又由不在直線上，所以四邊形為梯形.4(2021廣東潮州)如圖，在長方體中，E、F分別為棱、AB的中點(1)寫出與向量相等的向量；(2)寫出與向量相反的向量；(3)寫出與向量平行的向量【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)由相等向量的定義知，大小相等，方向相同的兩個向量為相等向量，所以與向量相等的向量為；(2)由相反向量的定義知，大小相等，方向相反的兩個向量為相反向量，所以與向量相反的向量為；(3)由平行向量的定義知，方向相同或相反的兩

9、個向量為平行向量，所以與向量平行的向量為.考點四 數(shù)量積【例4】(2021廣東湛江)如圖，在平行六面體中，求：(1)； (2)的長； (3)的長【答案】(1)10；(2)；(3)【解析】(1)；(2)，即的長為；(3)，即的長為.【一隅三反】1(2021寧夏銀川市)如圖，平行六面體，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，則的長為( )A1BCD3【答案】C【解析】，因此有：，所以的長.故選：C2(2021寧夏)如圖所示，在平行六面體中，ABADA1，ADABBAD60，求：(1)A的長；(2)B的長.【答案】(1)；(2).【解析】(1)1112112112116.A.(2)111211()211211()2.3(2021云南)已知空間四邊形OABC中，且OA=OB