單調(diào)性與最大小值三

1、單調(diào)性與最大小值三課件第1頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二【教學(xué)重點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【教學(xué)難點(diǎn)】課程目標(biāo)理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法函數(shù)單調(diào)性概念的理解及應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的判定及證明教法:自學(xué)輔導(dǎo)法、討論法、講授法學(xué)法:歸納討論練習(xí)【教學(xué)方法】【教學(xué)手段】多媒體電腦與投影儀第2頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二判斷函數(shù) 在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性.解:設(shè)則 f(x1)f(x2)1x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 .即 f(x1)f(x2) .故此函數(shù)在(-1,1)上是減函

2、數(shù).課前熱身第3頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法 1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大(小)值 2. 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值 3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b) ； 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 第4頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二1.增函數(shù)與減函數(shù) 一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域

3、為I,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),都有f(x1)f(x2) ,那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù) 2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 復(fù)習(xí)回顧第5頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二(1)任取x1, x2D,且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2);(3)變形;(4)判號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù))；(5)定論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)3.利用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(

4、x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：4.常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性：第6頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)在 上是增函數(shù)在 上是減函數(shù)在 上是增函數(shù)在 上是減函數(shù)在(-,+)上是減函數(shù)在(-,+)上是增函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b(k0)yox當(dāng)k0時(shí),yox當(dāng)a0時(shí),第7頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二增函數(shù)減函數(shù)圖象圖象特征自左至右,圖象上升.自左至右,圖象下降.數(shù)量特征y隨x的增大而增大.當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2y隨x的增大而減小.當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2第8頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二1.利

5、用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最 大(小)值 2. 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值 3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b); 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞減,在區(qū)間b,c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法第9頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;2.判斷函數(shù)的單調(diào)性(證明);5.求函數(shù)的最值或值域3.比較函數(shù)的大小函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用4.求參數(shù)的取值范圍第10頁(yè)

6、，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二 【例1】函數(shù) y=x2 -2|x|-3 的單調(diào)遞增區(qū)間是_;-1,0,1,+)-21-1oxy一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間第11頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二【1】 求函數(shù) y=|x+1|1x| 的單調(diào)區(qū)間.解:由 y = | x + 1 |1x |,知xy-112-2o故函數(shù)的增區(qū)間為1, 1.練一練第12頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二【2】畫(huà)出函數(shù)y = |x2-2x3|的圖象.解:當(dāng) x2-2x-30 ,即 x 1 或 x3 時(shí),y = x2-2x3=( x-1)24. 當(dāng) x2-2x30

7、, 即 1x3時(shí),y =(x2-2x-3) =(x-1)2+4. xyo4-431-1第13頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二【3】求函數(shù)y=2|x-1|-3|x|的最大值.解:(1)當(dāng)x0時(shí),y=-2(x-1)+3x=x+2;(2)當(dāng)0 x0,則有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).證明:由a+b0,得a-b,b-a.又因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù), f(a) f(-b), f(b)f(-a), +得f(a)+f(b) f(-a)+f(-b).練一練第24頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二分析:設(shè)則確定 正負(fù)號(hào)的關(guān)鍵,是確定的正負(fù)號(hào).由于x1,

8、 x2在同一區(qū)間內(nèi),要使 則需要使 則需例5.求函數(shù) 的最大值.五、求函數(shù)的最大(小)值或值域第25頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二例5.求函數(shù) 的最大值.解:任取x1, x2 , x1, x22,4,且x1 x2,當(dāng) 時(shí),所以函數(shù)f(x)在2,4上是減函數(shù).同理函數(shù)f(x)在4,10上是增函數(shù).五、求函數(shù)的最大(小)值或值域第26頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二解：函數(shù)在2,4上是減函數(shù).所以f(x)在2,4上有最大值,函數(shù)在4,10上是增函數(shù).所以f(x)在4,10上有最大值,所以函數(shù)f(x)在2,10上的最大值是幾何畫(huà)板第27頁(yè)，共51頁(yè)，

9、2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二 例6.函數(shù)f(x)是定義在(0,+)上的遞減函數(shù),且f(x) f(3-a),求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 【2】函數(shù)y=f(x)是定義在(-1,1)上的減函數(shù),若f(2-a) f(3-a),求實(shí)數(shù)a 的取值范圍第29頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二練一練第30頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二【例3】求f(x)=x2-2ax+2在 2,4 上的最小值.解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2, 當(dāng)a2時(shí),當(dāng)2a4 時(shí)， 當(dāng)a4時(shí), f(x)min=f(2)=64a;f(x)在 2,4 上是增函數(shù), f(x)

10、min=f(a)=2a2.f(x)在2,4上是減函數(shù). f(x)min=f(4) = 188a.幾何畫(huà)板七、有關(guān)最值討論題第31頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二求最大值： 當(dāng) a 3 時(shí)， 當(dāng) a 3 時(shí)， f ( x ) max = xyo2 4x = 3f ( x ) max = f ( 4 ) = 18 8af ( x ) max = f ( 2 ) = 6 4a第32頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二例6.已知f(x)=x24x4,xt,t+1(tR )，求 f(x)的最小值g(t)的解析式.解:f(x)=(x2)28(1)當(dāng)2t,t+2,

11、即1t2時(shí)， g(t)=f(2)=8;(2) 當(dāng) t 2 時(shí)，g(t) = f(t)=t24t4;(3)當(dāng)t+12,即t1時(shí),f(x)在t,t+1上是減函數(shù),g(t)=f(t+1)=t2-2t -7.綜上所述:g ( t ) = f(x)在t,t+1上是增函數(shù)，xyox = 2t t + 1x = 2x = 2第33頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二教材P11 練習(xí)T4.教材P12 A組T7,9,10.作業(yè)布置第34頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二再見(jiàn)2007年9月13日山東省臨沂一中李福國(guó)第35頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星

12、期二課堂小結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性的定義：圖象法定義法2.函數(shù)單調(diào)性的判定：3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：(1)設(shè)元:對(duì)任意x1,x2D,且x1x2(2)作差:f(x1)-f(x2)(3)變形(4)判號(hào) (5)定論*求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.第36頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二 若函數(shù)f(x),g(x)在給定的區(qū)間I上具有單調(diào)性,(1)k0時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=kf(x)+b具有相同的單調(diào)性； (2)若f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí),函數(shù)f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性.(3)若函數(shù)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù).(4)若f(x)0,g(x)0

13、,且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)g(x)也是增(減)函數(shù);若f(x)0,g(x)0,且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)g(x)是減(增)函數(shù).單調(diào)性性質(zhì)規(guī)律總結(jié):第37頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二(4)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.(5)復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性由f(x)和g(x)的單調(diào)性共同決定(同則增異則減) .單調(diào)性性質(zhì)規(guī)律總結(jié):第38頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二復(fù)合函數(shù)：y=fg(x)令 u=g(x)則 y=f(u)內(nèi)函數(shù)外函數(shù)y=fg(x)原函數(shù)以x為自

14、變量以u(píng)為自變量以x為自變量(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論： 當(dāng)內(nèi)外函數(shù)在各自定義域內(nèi)同增同減時(shí),原函數(shù)增; 當(dāng)內(nèi)外函數(shù)在各自定義域內(nèi)一增一減時(shí),原函數(shù)減.第39頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二 (1)f(x)是a,b上增函數(shù),若存在x1, x2a,b且x1x2,則f(x1)f(x2). (2)若存在x1, x2a,b且x1x2,則f(x1) f(x2) f(x)是a,b上增函數(shù) . (3)函數(shù)f(x)在a,b上滿(mǎn)足f(a) f(b)，則f(x)在a,b上是增函數(shù). (4)若存在x1, x2a,b且x1f(x2) f(x)是a,b上減函數(shù) .（正確）（錯(cuò)誤）（

15、錯(cuò)誤）（錯(cuò)誤）【2】判斷下列兩個(gè)命題的正誤：練一練第40頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二第41頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二練習(xí)：注意：在原函數(shù)定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性第42頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二補(bǔ)充練習(xí)：第43頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二第44頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二第45頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二 (1)f(x)是a,b上增函數(shù),若存在x1, x2a,b且x1x2,則f(x1)f(x2). (2)若存在x1, x2a,

16、b且x1x2,則f(x1) f(x2) f(x)是a,b上增函數(shù) . (3)函數(shù)f(x)在a,b上滿(mǎn)足f(a) f(b)，則f(x)在a,b上是增函數(shù). (4)若存在x1, x2a,b且x1f(x2) f(x)是a,b上減函數(shù) .（正確）（錯(cuò)誤）（錯(cuò)誤）（錯(cuò)誤）【1】判斷下列說(shuō)法是否正確.練一練第46頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)f(1),則函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)( ).定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)f(1),則函數(shù)f(x)在R上不是減函數(shù)( ).函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上對(duì)于任意的x1,x2滿(mǎn)足 ,則f(x)在區(qū)間I上為

17、單調(diào)增函數(shù)( ). yxO12f(1)f(2)X練一練【2】判斷下列說(shuō)法是否正確.第47頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0上是增函數(shù),在區(qū)間(0,+)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)( ).定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0上是增函數(shù),在區(qū)間0,+)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)( ).yxOX函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上對(duì)于任意的x1,x2 ,且x11 時(shí), f(x)0. (1)求證: f(x)為偶函數(shù)；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.(1)證: 在中令 x=y=1,

18、得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0. 再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). f(x) 為偶函數(shù). 先討論 f(x) 在 (0, +) 上的單調(diào)性, 任取x1, x2, 設(shè)x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在 (0, +) 上是增函數(shù), 由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是減函數(shù). 偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng), (2)解: 在中令 y=, 得: x1由知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =-f(x), x 1 x 1 則 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 第50頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)25分，星期二(3)解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2, 由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)0, f(x) 在 (0,