概率論與隨機(jī)過(guò)程第四講

1、L-S測(cè)度和L測(cè)度三esque-作為測(cè)度的重要特列，本節(jié)給出了Stieltjes測(cè)度（簡(jiǎn)稱 L-S測(cè)度）的構(gòu)造方法，其特殊情況就是L測(cè)度。2011-9-261一維Borel域設(shè)=R(1) ，考慮由R(1)的一些子集組成的集合類：G= (-,a,a R(1) ，稱(G)為R(1)的Borel域，(1)中的元素為一維的Borel集。記為B(1)，并稱B(-,a B(a,b B(1)(1)(a,b) B(1)(1)(1)b Ba,b B2011-9-262n維Borel域 R(n,) 1x,R(,1)ii1,2n為, n維推廣情形：設(shè)實(shí)數(shù)空間，考慮由 R(n) 的一些子集組成的集合類： n 1,ai

2、: ai R, i 1,2,nG i1稱(G)為 R(n)上的Borel域，記作B(n)。n, a , ni 12011-9-263L-S測(cè)度和L測(cè)度三一、 n維L-S測(cè)度令(1)nA 全體形如 (ai , bi 集的有限并:ai , bi R, i 1, 2, n i 1當(dāng)bi=+時(shí)，將(ai,bi改為(ai, +)。于是(A)= (G)= B(n)。明(A)= (G)= B (n)，分為兩部分：) ( A )(1) AB(n )B(nB() (G ) ( A )(2)G2011-9-26nA4為表達(dá)方便，令a (a1, an ), b (b1, bn ),(a, b (x1, xi bi

3、, i 1, 2, n如果某個(gè)bj=+,上式中改為ajxjbj，于是A (a, b 的有限并， a, b R ( n )下面介紹利用廣義分布函數(shù)來(lái)構(gòu)造A上的L-S測(cè)度。2011-9-265xn 滿足： 定義1.3.1若n元函數(shù)（1） 關(guān)于每個(gè)xi 右連續(xù)； 2） 若ai bi， i 1, 2, n， 且ai， bi R， a a1， an，b b1， bn，記： n, b b1， bn=Fb ， b, a , ba ,bj j 111jnj 1nF b1， b j 1 , a j , b j1 , bk 1 , ak , bk 1 , bnj kj ,k 2 1n F a ， a 01n稱F

4、x1 , x2 , xn 為n義分布函數(shù)注意：分布函數(shù)一定是廣義分布函數(shù)。2011-9-266L-S測(cè)度和L測(cè)度三一、 n維L-S測(cè)度利用n維廣義分布函數(shù)F(x1 , x2 , xn)，得到：A上的測(cè)度F利用測(cè)度擴(kuò)張定理可以唯一確定一個(gè)B (n)上的測(cè)度利用測(cè)度完全化定理，可以唯一確定一個(gè)完全化的測(cè)度，這就是著名的kolmogorov定理。類似地也可利用分布函數(shù)構(gòu)造： B (T)上的測(cè)度2011-9-267可以證明：對(duì)于n元函數(shù)F(x1,x2,xn)，在B (n)上存在唯一的測(cè)度F，滿足：F(a,b)=(a,b F，其中a,b R()下面簡(jiǎn)單地闡述構(gòu)造的步驟和方法：若a, b R(n) ，(a

5、,bA，則定義F(a,b)=(a,b Fn a ,ba,b n n 若a R R，b R，定義 vFlim vFa an a,b lim vF a,b R R，定義 vF n n 若a R， b b bn a,b limvF R，定義vF n 若a,b Ra ,ba a b b2011-9-268A上的每個(gè)集合可表為互不相交的(的有限,并，即：mm,b ,b v A k 1k 1A ava，定義，kkFFkk由前面兩步在A上定義的測(cè)度是-有限的，由擴(kuò)張定理，可以將F唯一地?cái)U(kuò)張到(A) = B上，且使得：(n)F(a,b)=( F，其中a,b R(n),2011-9-269將B (n)上的測(cè)度F

6、完全化，記B(n)關(guān)于F的完全化的-代數(shù)為B (n)F ，定義在B (n)F 上的完全化測(cè)度仍記用F 。綜上所述，稱這樣定義的測(cè)度F為由廣義分布函數(shù)F產(chǎn)生的esque-Stieltjes測(cè)度（簡(jiǎn)稱L-S測(cè)度）。2011-9-2610L-S測(cè)度的特殊情況是L測(cè)度，此時(shí)：F(x1,x2,xn)= x1x2xn當(dāng)n=1， L測(cè)度即為區(qū)域(a,b的長(zhǎng)度當(dāng)n=2， L測(cè)度即為區(qū)域(a,b的面積當(dāng)n=3， L測(cè)度即為區(qū)域(a,b的體積此時(shí)：(a,bF=b1b2b3-a1b2b3-b1a2b3-b1b2a3+a1a2b3+a1b2a3+b1a2a3-a1a2a3=(b3-a3b2-a2b1-a1)2011-

7、9-2611量的分布函數(shù),當(dāng)?。?F(x1,x2,xn)為n維隨則由F生成的B (n)F上的測(cè)度記為PF，它是B(n)F上的概率測(cè)度， PF(R(n)=1。這個(gè)結(jié)論其實(shí)正是概率論中著名的Kolmogorov定理。二、 無(wú)窮維Borel域B (T) 上的測(cè)度（略）1、分布函數(shù)的相容性2、 B (T)上的測(cè)度PF2011-9-2612第四節(jié)概率空間定義1.4.1 設(shè)一非空集合，F(xiàn)是上的-代數(shù)，稱( ，F(xiàn))為可測(cè)空間；若A F ，則稱A為F可測(cè)集或可測(cè)集；若是F上的測(cè)度， 則稱( ， F， )為測(cè)度空間 。定義1.4.3 設(shè)( ， F)為可測(cè)空間，P是F 上的概率測(cè)度，則稱( ， F， P)為概率空

8、間 ；若A F ，則稱A為( ，F(xiàn)， P) 的隨機(jī)事件或事件。第五節(jié)（略，條件概率空間和事件的獨(dú)立性）2011-9-2613第二章隨量和可測(cè)函數(shù)隨量的分布本章先介紹一般的可測(cè)函數(shù)，把隨機(jī)變量作為其特殊情況，再性質(zhì)。隨量的2011-9-2614隨量是取有限值的可測(cè)函數(shù)，而可測(cè)函數(shù)可為無(wú)窮大，因此約定： ，x00 ，x0 x0， x 任意無(wú)意義 同時(shí) ， ， x02011-9-2615一可測(cè)函數(shù)和隨量一、及其逆象定義2.1.1設(shè)，R為兩個(gè)非空集合，若對(duì)每一個(gè) ，這種 應(yīng)關(guān)系為由在R中存在唯一的元素x之，記為：x=f ()，并稱 f 為到R上的到R上的。Rx f 1 Bff 1B : f 1 B為B

9、在f下的逆象: B G是G 在f 下的逆象2011-9-2616B逆象具有如下性質(zhì)： R ，f 11f B f B ，B R11ff B B B B，B ，B111 Rff121212 B ，B tT11 R，t TfBft T是任一指標(biāo)集tt tT B B ，B11 R，t TT是任一指標(biāo)集ttt tTtTA B R, 有f 1( A) f 1(B)2011-9-2617選證以下性質(zhì)：B f B ， B 1 1fRB 證 明 ： 對(duì) 由 逆 象 的 定 義 f 1f B , 即 f B B 則 1f B 即 1fB f B 1 1則 fB B 1 1類 似 地 可 證 ： ffB B 1 1

10、 ff2011-9-2618定理2.1.1設(shè)f 為到R上的(1) 如果B是R上的-代數(shù)，則 f -1(B)是上的 -代數(shù)證明： 根據(jù)逆象的性質(zhì)和-代數(shù)即可證明R B ，則： f -1(R) f -1(B)而：f -1(R)= 則： f -1(B)若A f -1(B) ，則存在B B，使得A= f -1(B) ：1 B A f1 B B B，故：f若A（n 1, 2,） f1（n 1, 2, BB ，存在B）nn1 B Bn使得An = f （B ）。又： B B，即：f1 f1nn n1n1 fB f1 B 11B ，即： A fnnn1n12011-9-2619定理2.1.1設(shè)f 為到R上的

11、(2) 如果G是R上的任一非空集合類，則：f -1(G)= ( f -1(G)（2.1.1）證明： 由(1)知：f -1(G)是上的-代數(shù)由G (G)，則： f -1 (G) f(G)-1(G)是包含f(G) 的-代數(shù)-1-1即f則： (f(G) f -1 (G)-1(G) (f(G)-1-1欲證反包含關(guān)系：f2011-9-2620為此引入輔助集合類：H=C：CR， f -1(C)(f -1(G) （2.1.2)顯然f -1(H) ( f -1(G)。下面只須證明H是包含G的-代數(shù)。這是因?yàn)椋喝鬐 H，則 (G) H，于是 f -1 ( (G) f-1(H) f1 G 從而2011-9-262

12、1下面證明H包含G。對(duì) C G,由f -1(C) f -1(G) ( f-1(G)，則C H ,于是G H。再證H為-代數(shù) (f -1 (G)，且f -1 (R)=(R) (f(G)，即R H-1-1則f 若CH，則f-1(C) (f(G)，但(f-1(G)是-代數(shù)，-1f 1C f 1C f 1G ，所以C H則n 1,2, f 1G 若C n 1,2, H，則：f1 Cnn f1 fG ，即：fCn fCn G 111 HCn n1n1n12011-9-2622H G，于是：H G 故： 1 G f即： f1 G1 Gf于是： f1 G 1 G f定義2.1.2設(shè)(, F)，(R, B)是

13、可測(cè)空間，f 是到R，若對(duì)每一個(gè)BB，有f -1(B) F ，稱 f上的是(, F)到(R, B)上的可測(cè)f 是(, F)到(R, B)上的可測(cè)。 f -1(B) F2011-9-2623二、可測(cè)函數(shù)和隨量可測(cè)的具體化即為可測(cè)函數(shù)：( 1)(1)定義2.1.3設(shè)f是(, F)到 (R, B)的可測(cè)，則稱( n )R( n ), Bf 為(, F )上的實(shí)可測(cè)函數(shù)；若 f 是 (, F)到()，則稱 f 為 (, F)上的n的上的可測(cè)數(shù)。可測(cè)函f1, f2為(, F)上的實(shí)可測(cè)函數(shù)，則：f = f1 +i.f2為復(fù)可測(cè)函數(shù)。2011-9-2624關(guān)于可測(cè)函數(shù)有下面的結(jié)論：定理2.1.2(1) f

14、 是(, F )上的實(shí)可測(cè)函數(shù)(1)對(duì)x R，: f () x F （2.1.3）證明： 必要性利用實(shí)可測(cè)函數(shù)的定義顯然成立下面僅證明充分性：1 1 ,R，則G是R上的集合類令Gx:x1而G而 F B ，由2.1. 有3 ： f1GFF是-代數(shù)，因此 f1G1G F1由 2. 1 1. 有：2011-9-2625定理2.1.2 (2) f =(f1, f2, f n) 是( , F)上的 n可測(cè)函數(shù)fk,是 F 上, 的實(shí)可測(cè)函數(shù), 2 ,k111 F 只須證明對(duì)fB，有：f證明：k，若 BBk1 n B ,kR ，x則：B BnB令：x,jnkj由f為可測(cè)函數(shù)，則：f 1Bn Ff但： B1

15、 n n B 1 ： f f ：R 1Bf ：BfBFkjkkj k 則：fk 是, F 上的實(shí)可測(cè)函數(shù)證明，見(jiàn)P262011-9-2626下面給出隨量的定義：定義2.1.4設(shè)(, F, P) 是一概率空間，= () 是定義在上的取有限值的實(shí)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有： x F則稱 為(, F, P)上的隨類似地可定義n維隨量。量，見(jiàn)P26量，意味著量和復(fù)隨為(, F, P)上的隨不難看出：是 (, F )到(R(1), B(1)的可測(cè)。2011-9-2627三、復(fù)合和隨量的函數(shù)定義2.1.6設(shè) f 為到R上的，g為R到R上，則：(g f ) ()= g (f ()表示到R上的的，記為g f 。，稱為f 和g的復(fù)合定理2.1.3設(shè)f 是可測(cè)空間(, F )到(R,B )的可，g為(R,)到(R,測(cè)BB)上的可測(cè)，則復(fù)（證明f 是(,合函數(shù)g 略）定義2.1.7F)到(R, B )的可測(cè))(1)(1, B)(n) (n R設(shè)g為 R到 上的實(shí)可測(cè), B函數(shù)，則稱g是n元的Borel可測(cè)函數(shù)。2011-9-2628定理2.1.4g是n元的Borel可測(cè)函數(shù)，而f1,f2,fn是可測(cè)空間(, F )上的n個(gè)實(shí)可測(cè)函數(shù)，則：g(f1, f2, f