高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 專題04 空間向量與立體幾何（單元測試卷）（含答案）

1、專題04 空間向量與立體幾何單元測試卷一、單選題1（2020山東省微山縣第二中學(xué)高二月考）空間直角坐標(biāo)中A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是( )A平行B垂直C相交但不垂直D無法確定【答案】A【解析】空間直角坐標(biāo)系中，A（1，2，3），B（1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），=（2，2，2），=（1，1，1），=2，直線AB與CD平行故選：A2（2019四川省綿陽南山中學(xué)高二月考）如圖，在平行六面體中，為與的交點若，則下列向量中與相等的向量是（ ）ABCD【答案】A【解析】如圖所示，.故選：A3（2019江蘇省高二期

2、中）已知向量，.若向量與向量平行，則實數(shù)的值是（ ）A2BC10D【答案】A【解析】由已知，因為與共線，所以存在實數(shù)，使得，故，即，解得.故選：A.4（2020湖南省高二期末）如圖，已知正方體ABCDABCD中，E是CC的中點，xyz，則（ ）Ax1，y2，z3Bx，y1，z1Cx1，y2，z2Dx，y1，z【答案】A【解析】故選：A5（2020四川省雙流中學(xué)高二月考）正方體不在同一側(cè)面上的兩頂點，則正方體外接球體積是（ ）ABCD【答案】A【解析】容易知：是正方體的體對角線上的兩點坐標(biāo)故正方體外接球半徑為故故選：A.6（2019江蘇省蘇州實驗中學(xué)高二月考）已知，若點D是AC中點，則( )A2

3、BC-3D6【答案】D【解析】,.故選:D.7（2019江蘇省蘇州實驗中學(xué)高二月考）平行六面體中，則實數(shù)x，y，z的值分別為( )ABCD【答案】C【解析】,.故選:C.8（2020銀川唐徠回民中學(xué)高二月考）三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)棱長為1，由題意得：，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：9（2019浙江省柯橋中學(xué)高二期中）如圖，在三棱柱中，底面，則與平面所成角的大小為ABCD【答案】A【解析】取AB的中點D，連接CD，以AD為x軸，以CD為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，故，而，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)

4、，解得，.故與平面所成角的大小為，故選A10（2020山西省高二期末）在一直角坐標(biāo)系中，已知，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角，則折疊后兩點間的距離為（ ）ABCD2【答案】D【解析】如圖為折疊后的圖形，其中作則，沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角兩異面直線所成的角為可得：故由得故選：D.二、多選題11（2019江蘇省南京師大附中高二期中）已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果，下列結(jié)論正確的有（ ）ABC是平面ABCD的一個法向量D【答案】ABC【解析】因為，所以A，B正確，因為所以是平面ABCD的一個法向量，所以C正確，,不滿足，則D不正確故選：ABC.12（2020福建省高二期末）在正方

5、體中，分別是和的中點，則下列結(jié)論正確的是( )A平面B平面CD點與點到平面的距離相等【答案】AC【解析】對A,因為,分別是和的中點故,故平面成立.對B,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為2則，.故.故不互相垂直.又屬于平面.故平面不成立.對C,同B空間直角坐標(biāo)系有,.故成立.對D, 點與點到平面的距離相等則點與點中點在平面上.連接易得平面即平面.又點與點中點在上,故點不在平面上.故D不成立.故選：AC13（2020江蘇省啟東中學(xué)高二開學(xué)考試）在正三棱柱中，所有棱長為1，又與交于點，則（ ）A=BC三棱錐的體積為D與平面BBCC所成的角為【答案】AC【解析】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量

6、，故選項A正確；在中，所以和不垂直，故選項B錯誤；在三棱錐中，點到平面的距離即中邊上的高，所以，所以，故選項C正確；設(shè)中點為，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面BBCC所成的角，所以，故選項D錯誤.故選：AC三、填空題14（2020山東省微山縣第二中學(xué)高二月考）已知向量2，x，且，則x的值為_【答案】8【解析】，解得15（2020河南省高二期末）若向量，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為_.【答案】且【解析】由與的夾角為鈍角可得且與不共線，則即且.故答案為：且.16（2019山東省濟(jì)南一中高二期中）如圖所示，在正方體中，M為棱的中點，則異面線與AM所成角的余弦值為_.【答案】【

7、解析】分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則，可得，則，即異面直線與AM所成角的余弦值為.故答案為：17（2019浙江省杭州高級中學(xué)高二期末）如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，分別為的中點，則直線與平面所成角的正切值為_；異面直線與所成角的余弦值是_【答案】，【解析】由兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，其中平面的一個法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以；又向量與所成角的余弦值為，又，所以異面直線與所成角的余弦值是四、解答題18（2019包頭市第四中學(xué)高二期中）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂

8、直，且，是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線AE和平面OBC的所成角.【答案】（1）；（2） 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，（1），故，所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）平面的法向量為，故，因，故，故與平面所成的角為.19（2020盤錦市大洼區(qū)高級中學(xué)高二期末）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點E、F分別為AA1、A1D1的中點（1）證明：AC1平面BDE；（2）求二面角F-BE-D的余弦值【答案】(1)見證明；(2)714【解析】 (1)如圖，以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,AA1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

9、則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,22),C1(1,1,2),AC1=1,1,2,BD=-1,1,0,BE=-1,0,22AC1BD=-1+1=0,AC1BD,AC1BE=-1+1=0,AC1BE,BD與BE是平面BDE內(nèi)兩條相交直線AC1平面BDE（2）由（1）進(jìn)一步可得F(0，12，2)，EF=0,12,22設(shè)平面BDE的法向量為m，可取m=AC1=1,1,2，設(shè)平面FBE的法向量為n，n=(x,y,z)由BEn=0EFn=0,可得-x+22z=012y+22z=0，取x=1，可得n=(1,-2,2)cosm,n=mnmn=1-2+227=714.由于二面

10、角F-BE-D為銳二面角，故所求的二面角的余弦值為71420（2020盤錦市大洼區(qū)高級中學(xué)高二期末）如下圖所示，在四棱錐中，底面四邊形，四邊形是直角梯形，且，點是棱的中點，是上的點，且. (1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求與平面所成的角的正弦值【答案】（1）； （2）.【解析】 (1)建系以為原點，如圖，所以 (2），設(shè)是平面的法向量，則，即，取所以與平面所成的角的正弦值.21（2019山西省長治市第二中學(xué)校高二月考）如圖，在正方體中，分別是的中點。（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）棱上是否存在點，使得平面？請證明你的結(jié)論?！敬鸢浮浚?）；（2）存在點，滿足，使得平面；證明見解

11、析【解析】以為坐標(biāo)原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體棱長為則，（1）設(shè)異面直線與所成角為，即異面直線與所成角的余弦值為：（2）假設(shè)在棱上存在點，使得平面則，設(shè)平面的法向量，令，則， ，解得： 棱上存在點，滿足，使得平面22（2019紹興市教育教學(xué)研究院高二期末）如圖，平面，交于點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明1：在中,.因為交于點,所以.因為平面,所以,所以.又因為平面,所以平面所以平面,所以.證明2：如圖,以為原點,分別以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.在中,.因為交于點,所以,所以,所以,所以（2）解：由（1）可知

12、,.設(shè)平面的法向量為,所以即令,則,所以.設(shè)直線與平面所成角為,則.23（2019安徽省高二期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABC=BAD=2，PA=AD=2，AB=BC=1.（1）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值；（2）點Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長.【答案】(1) 33 (2)255【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則各點的坐標(biāo)為B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)（1） 因為AD平面PAB，所以是平面PAB的一個法向量，因為設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z)，則，即x+y-2z=02y-2