高中數(shù)學選擇性必修一 專題01 空間向量及其運算、空間向量基本定理（含答案）

1、專題01 空間向量及其運算、空間向量基本定理一、單選題1（2019全國高二課時練習）已知，是不共面的三個向量，則能構成一個基底的一組向量是（）A2，+2B2，+2C，2，D，+，【答案】C【解析】對于A，因為2=（）+（+2），得2、+2三個向量共面，故它們不能構成一個基底，A不正確；對于B，因為2=（）+（+2），得2、+2三個向量共面，故它們不能構成一個基底，B不正確；對于C，因為找不到實數(shù)、，使=2+（）成立，故、2、三個向量不共面，它們能構成一個基底，C正確；對于D，因為=（+）（），得、+、三個向量共面，故它們不能構成一個基底，D不正確故選：C2（2020貴州省銅仁第一中學高二開學考

2、試）如圖所示，在平行六面體中，設，是的中點，試用，表示（ ）ABCD【答案】A【解析】是的中點，.故選：A.3（2020山東省章丘四中高二月考）如圖,在四面體中,是的中點,是的中點,則等于（ ）ABCD【答案】C【解析】在四面體中,是的中點,是的中點故選:C.4（2020河南省高二期末）如圖在平行六面體中，為的中點，設，則（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意結合平行六面體的性質可得.故選：A.5（2020廣東省紅嶺中學高二期末） 與共線是直線ABCD的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)向量共線的定義，可知若與共線，則它們所在的直線可能平

3、行，也可能重合；若ABCD，則與共線；根據(jù)充分條件和必要條件的概念，可知與共線是直線ABCD的必要不充分條件，故選B點睛：向量共線的定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量 .6（2020廣東省紅嶺中學高二期末）為空間任意一點,三點不共線,若=,則四點A一定不共面B不一定共面C一定共面D無法判斷【答案】C【解析】：點P在平面ABC內，O是平面ABC外的任意一點，則且利用此推論可直接證明一定共面詳解：因為=，且，所以四點共面.7（2019隨州市第一中學高二期中）空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數(shù)的值為（）ABCD【答案】A

4、【解析】因為空間四點共面，但任意三點不共線，對于該平面外一點都有，所以，解得.故選A8（2020甘肅省高二期末）如圖，空間四邊形OABC中，且，則等于( )ABCD【答案】C【解析】，故選：C.9（2020廣西壯族自治區(qū)高二期末）在平行六面體中，為與的交點若，則下列向量中與相等的向量是（ ）ABCD【答案】B【解析】故選B.10（2019新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇市實驗中學高二月考）在平行六面體ABCD-EFGH中，若=x2y+3z，則xyz等于( )ABCD1【答案】C【解析】在平行六面體ABCDEFGH中，=+，=x2y+3z，=，x=1，2y=1，3z=1，z=，x+y+z=，故選：C二、多

5、選題11（2019山東省濟南一中高二期中）已知平行六面體，則下列四式中其中正確的有（ ）ABCD【答案】ABC【解析】作出平行六面體的圖像如圖，可得，則A正確；，則B正確；C顯然正確；，則D不正確.綜上，正確的有ABC.故選：ABC12（2020江蘇省高二期末）如圖，在正方體中，下列各式中運算的結果為的有( )ABCD【答案】BCD【解析】A，故錯誤；B，故正確；C，故正確；D，故正確.故選：BCD.13（2020山東省高二期末）已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外的任一點，則“點M與點A，B，C共面”的充分條件的是（ ）ABCD【答案】BD【解析】當時，可知點與點共面，所以，所以，所以

6、，不妨令，且此時，因為，由上可知：BD滿足要求. 故選：BD.點睛：常見的證明空間中四點共面的方法有：(1)證明；(2)對于空間中任意一點，證明；(3) 對于空間中任意一點，證明.三、填空題14（2019江蘇省高二期末）直三棱柱中，若，則_【答案】【解析】直三棱柱中，若故答案為15（2019新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇市實驗中學高二月考）已知非零向量，且，則中一定共線的三點是_.【答案】A，B，D【解析】由向量的加法原理：又共點B，故A，B，D三點共線故答案為：A，B，D16（2019浙江省諸暨中學高二期中）已知三棱錐O-ABC，點D是BC中點，P是AD中點，設，則_；x=_.【答案】1 【解析】如

7、圖， ,所以，所以，.故答案為：1； 17（2019江蘇省高二期中）如圖在正方體中，已知,為底面的的中心，為的重心，則_【答案】【解析】在正方體中，,為底面的的中心，為的重心，.故答案為：.四、解答題18（2018全國高二課時練習）如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中.(1)單位向量共有多少個?(2)試寫出模為的所有向量.(3)試寫出與相等的所有向量.(4)試寫出的相反向量.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析【解析】分析：（1）根據(jù)定義模為1的向量即為單位向量（2）

8、在長方體中求出對角線長為，即可寫出所求向量（3）根據(jù)大小相等，方向相同即為相等向量可寫出（4）大小相等，方向相反的向量即為相反向量.詳解：(1)模為1的向量有,共8個單位向量.(2)由于這個長方體的左右兩側的對角線長均為,因此模為的向量為.(3)與向量相等的向量(除它自身之外)為.(4)向量的相反向量為.19（2020全國高一課時練習）如圖，已知一點O到平行四邊形的三個頂點A，B，C的向量分別為，求【答案】【解析】因為，所以20（2019三亞華僑學校高二期中）如圖，在平行六面體中，兩兩夾角為60，長度分別為2，3，1，點P在線段BC上，且，記.（1）試用表示；（2）求模.【答案】（1）； （2

9、）.【解析】（1），.（2）因為AB，AD，兩兩夾角為60，長度分別為2，3，1.所以，.21（2018全國高二課時練習）在四棱錐P-ABCD中,ABCD為平行四邊形,AC與BD交于O,G為BD上一點,BG=2GD,=,= ,= ,試用基底,表示向量.【答案】【解析】因為BG=2GD,所以.又=a+c-2b,所以=b+(a+c-2b)=a-b+c.22（2019全國高一課時練習）設e1,e2是不共線的空間向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2.若A,B,D三點共線，求k的值.【答案】k=-8.【解析】分析：A，B，D三點共線，故存在唯一實數(shù)，使得，再由已知條件表示出與,建立方程組可求出和值詳解：由已知，有-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.A，B，D三點共線，存在實數(shù)，使=，即2e1+ke2=(e1-4e2)，2e1+ke2=e1-4e2.e1,e2是不共線的空間向量，解得.23（2018全國高二課時練習）已知e1,e2,e3是空間的一個基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,試判斷能否作為空間的一個基底?若能,試以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,請說明理由.【答案】能，=17-5-30【解析】能作為空間的一組基底假設共面,由向量共面的充要條件知存在實數(shù)x,y使=x+