垂直于弦的直徑教案

1、學習必備 歡迎下載教材：人教版九年義務訓練九年級數學其次十四章第一節(jié)“ 垂直于弦的直徑（一）一、 教學目標 ：（1）學問目標使同學懂得圓的軸對稱性；把握垂徑定理,并學會運用垂徑定理,解決有關的證明,運算；把握過圓心作一條與弦垂直的線段的幫助線的作法；（2）、才能目標通過探究、發(fā)覺定理,培育同學觀看,分析、規(guī)律思維才能和歸納才能提高同學的閱讀質疑才能,通過挑選最優(yōu)方法、培育同學思維的敏捷性；（3）、情感目標通過垂徑定理的證明,滲透愛國主義訓練和美育訓練；師生共同探究定理,師生共作,充分發(fā)揮同學學習的主體作用,激發(fā)同學探究數學問題的愛好；2、教學重點 ：垂徑定理的內容、應用及有關幫助線的作法；3、

2、教學難點 ：懂得垂徑定理的題設和結論及垂徑定理的證明方法；4、教學方法 ：啟示式,先做后說,師生共作；學習必備 歡迎下載二、教學過程一、 創(chuàng)設情境問題 1：圓具有什么性質呢？請同學們把自己畫的圓（課前讓同學預備好）對折一下發(fā)覺什么？這說明圓是一個什么圖形？它有多少條對稱軸？（顯示： 圓是軸對稱圖形,經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸）；今日我們就利用圓的軸對稱來爭論“ 垂直于弦的直徑” 的問題；（板書課題）問題 2：（老師出示一個擦去圓心的圓心紙片）問：大家能不能用折疊的方法把這個圓的圓心找到？二、分析猜想1、把折線找圓心的方法投影在屏幕上（給出另一種情形,同學未得到,教師直接給出）兩種不同的

3、情形在于直徑的位置關系不同；老師問,同學觀看,猜想；同學回答,老師引導補充：一個是斜交,另一個是垂直；中ACBCCOAOBAOBDDD2、問題：在直徑CD 的兩側相鄰的兩條弧是否相等？同學觀看,回答：右圖=,=；3、如把 AB 向下平移到任意位置,變成非直徑的弦,觀看一下,剛才的結論學習必備 歡迎下載仍成立嗎？同學觀看,歸納出上述結論依舊成立；4、要求同學在圓紙片上畫出上圖,并沿 CD 折疊；（老師利用投影,增加成效）5、通過折疊、觀看,大家仍發(fā)覺什么結論？（另外仍有：AE=BE ）三、論證評判1、證明這個結論是同學們通過試驗猜想出來的,能否從理論上證明它呢？下面爭論它的證明（在上述板書中加上

4、“ 已知”、“ 求證” ）；分析：從剛才的試驗中知道： 把圓沿直徑 CD 所在直線對折后發(fā)覺線段 AE 與BE 重疊,與 重疊,與 重疊,因此它們分別 相等；現在我們中要爭論這樣折疊為什么會重疊就行了；證明：（1）連接 OA、OB；（2）分加用紅色粉筆顯示CD 左右兩側的兩個半圓（3）用白色粉筆顯示點 A、B；（4）用藍色粉筆顯示 AE 、BE；學習必備 歡迎下載COA BD（5）用黃色顯示、；圖 42 形成定理經過證明這個命題是正確的,我們把它作為一個定理,誰能將這個定理用一句話把它表達出來？（依據同學回答板書；垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條?。?；強調：定理的題設有兩個：直

5、徑 垂直于弦結論：平分弦 平分弦所對的兩條?。?）如將上述圖形變?yōu)椋?E AB 于 E,就 AE 與 BE 相等嗎？（如圖 5）（2）如只滿意 CD 是直徑（如圖 6）或 CD AB （如圖 7）,就上述結論仍成嗎？（強調：兩個條件缺一不行）AOBACBAECBEOOEDD圖 5圖 7圖 6因此定理又可表述為： （顯示）CD 是直徑學習必備歡迎下載AE=BE （或 CD 過圓心）=CDAB （評述：幾何定理中文字語言、符號語言,圖形語言的相互聯系與轉換,可以 加深對定理的懂得,必需引起足夠的重視）四、推廣應用1、例題分析：（小黑板）如圖：已知在3cm,求 O 的半徑；O 中,弦 AB 的長為

6、8cm,圓心 0 到 AB 的距離為（1）分析：“ 圓心 0 至 AB 的距離為 3 cm” 指的是哪一條線段？要求半徑必需 連結 OA；（分別顯示 OE AB 于 E、OA）AEBO（2）添出幫助線后啟示同學摸索解法,然后師生同時給出解答；2、變式訓練AraEBACODB2d O練習：如上圖, OE AB 于 E,口答：學習必備 歡迎下載如 OE=1,OA=2 ,就 AB=_；如 AB=1 , AOE=30o,就 OE=_；如 OE=6cm,AB=16cm ,就 O 的直徑為 _cm；小結： 幫助線：添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的幫助線；如圓的半徑為 r,圓心到弦的距離為 么？d,弦

7、長為 a,就 r、a、d 間有什么關系？依據什五、小結（盡可能由同學自己歸納）1、圓的兩條重要性質；（1）圓是軸對稱圖形；（2）垂徑定理2、垂徑定理的應用：（1）解決有關弦、弧、半徑等問題的運算、證明（和作圖）；（2）解決某些實際問題（如引例、拱橋等）；3、常用的幫助線：（1）作半徑；（2）過圓心作弦的垂線段；垂徑定理與勾股定理相結合,得出學習必備歡迎下載）2a r2=d 2+（ 2強化學問綜合運用意識5、布置作業(yè)（1）：第 84 頁, 11、12 題（ 2）選做題：第85 頁, 2 題；（評述： 最終的小結, 既點出了垂徑定理的重要性,又幫忙同學把握不同學問結構在整體中的相互聯系,從而使之納

8、入整個教材所建立起來的學問系統(tǒng)中去；這樣做有利于同學對學問的懂得與鞏固,同時,也使整節(jié)課連貫,緊湊,重點突出；）相等；現在我們中要爭論這樣折疊為什么會重疊就行了；證明： 老師用實物邊演示邊用電腦在屏幕上逐句顯示文字表達及圖中有關的部分 ：COA BD（1）連接 OA 、OB；圖 4（2）分加用亮條顯示 CD 左右兩側的兩個半圓,然后在右側著色；（3）用亮光顯示點 A 、B；（4）用亮條顯示 AE、BE；（5）用亮條顯示、學習必備；歡迎下載、（評述： 在同學動手操作折紙和電腦動畫的基礎上,利用圓的軸對稱性, 采用疊合法證明垂徑定理是同學簡潔接受的,由于這種證明的文字表述不是同學常 用的,因此本節(jié)

9、課不要求同學嚴格地用軸對稱性寫出證明過程,而是采納與老師 演示的同步,在屏幕上逐一顯示文字和圖形,目的是既使同學重視證明表述,又 加深對它的懂得； ）2 形成定理經過證明這個命題是正確的,我們把它作為一個定理,誰能將這個定理用一句話把它表達出來？（依據同學回答板書；垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分 弦所對的兩條?。?；（評述： 同學的表達可能是粗糙的,言的精確和精煉； ）強調：定理的題設有兩個：直徑 垂直于弦不精確的, 課堂爭論可以引導同學留意語結論：平分弦 平分弦所對的兩條弧（1）如將上述圖形變?yōu)椋?E AB 于 E,就 AE 與 BE 相等嗎？（如圖 5）投影顯示：（2）如只滿意CD 是

10、直徑（如圖6）或 CD AB （如圖 7）,就上述結論仍學習必備 歡迎下載成嗎？（強調：兩個條件缺一不行）AOBACBAECBEOOEDD圖 5圖 6圖 7因此定理又可表述為： （顯示）CD 是直徑 AE=BE （或 CD 過圓心）= CDAB =（評述：幾何定理中文字語言、符號語言,圖形語言的相互聯系與轉換,可以 加深對定理的懂得,必需引起足夠的重視）四、推廣應用1、例題分析：（投影）如圖：已知在 O 中,弦 AB 的長為 8cm,圓心 0 到 AB 的距離為 3cm,求 O 的半徑；（1）分析：“ 圓心 0 至 AB 的距離為 3 cm” 指的是哪一條線段？要求半徑必需 連結 OA；（分別

11、顯示 OE AB 于 E、OA）學習必備歡迎下載AEBO（2）添出幫助線后啟示同學摸索解法,然后師生同時給出解答；（評述：例題的教學突出了兩個方面： （1）作圓心到弦的垂線段,是應用垂徑定理常常用的添加幫助線方法； （2）轉化的教學思想,為同學練習起到了示范作用；）2、變式訓練AraEBACODB2d O練習：如上圖, OE AB 于 E,口答：如 OE=1,OA=2 ,就 AB=_；如 AB=1 , AOE=30o,就 OE=_；如 OE=6cm,AB=16cm ,就 O 的直徑為 _cm；小結： 幫助線：添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的幫助線；如圓的半徑為 r,圓心到弦的距離為 么？

12、d,弦長為 a,就 r、a、d 間有什么關系？依據什（由同學歸納出r2=da 2+（ 2）2,并用投影顯示）因此已知 r、d、a 中的兩個量就可求出第三個量；學習必備 歡迎下載變式 1：如以 O 為圓心,再畫一個圓交弦 存在什么關系？（老師口述,電腦顯示）圖 6AB 于 C、D,就 AC 與 BD 間可能ACEDBACDBACEDBOOO方法 1方法 2方法 3（由同學作出判定后摸索證法）注：估量同學會提出方法1、2,此時老師可有意識引導同學進行計論,方法3只有當同學提出時才作簡潔分析；最終通過比較擇優(yōu), 進一步突出 “ 過圓心作弦的垂線段”這條幫助線的重要性 和應用垂徑定理的優(yōu)越性；變式 2

13、：（電腦演示）如將 AB 弦往下平移, AC 和 BD 仍相等嗎？當移到過圓心時, AB 是大圓直徑, CD 是小圓直徑, AC=BD ,屬特別情形；當 AB 移到與小圓只有一個交點時（如圖）,AC 與 BC 相等嗎？這個問題我們今后將會學到,有愛好的同學課外先去預習一下；老師小結：解決此類問題的關鍵,是利用垂徑定理,由圓心引弦 AB 的垂線；（評述：課本中的兩個例題屬于運算、證明兩種題型,方法都是添“ 過圓心作學習必備 歡迎下載弦的垂線段” 這條幫助線, 應用垂徑定理來解 （證）；因此把例 2 作為例 1 的延長,改編成一組變式訓練, 將它們組合在一起, 比較自然； 充分運用電腦的動畫成效,

14、用運動的觀點,將例題逐步變式,從一個圓到兩個圓,從弦到割線,又從割線到 切線,層層深化拓展了同學的思維空間,讓同學在變式中體會到“變”與“不變 ”的 辯證關系；常常做這類細心支配好的練習,可使同學對題型和圖形結構有較全面 的懂得,學會舉一反三；此外,在變式訓練中,老師通過課堂巡察,交談、提問、分析等手段,可隨時搜集與評判同學的學習情形,給同學以準時的勉勵與鞭策,加強教學的針對性,啟發(fā)同學的探究靈感；課外摸索題是將上述問題的進一步延 伸,給同學留下思維發(fā)散的時間和空間；）A C D BOAOBC3、反饋練習（打印后發(fā)給同學）（1）如圖,已知 AB 是 O 的直徑,MN 是弦,AB MN 于 P,

15、就 MP=_,M=_,=_；ANPOB（2）如圖, O 的半徑為 50mm,弦 AB=503 mm,就點 O 到 AB 的距離為ACBO_, AOB=_ 度；AB學習必備 歡迎下載（3）第 78 頁第 2 題；（4）提高題（見前面引入的實際問題）提示：添出如下列圖幫助線,就OC=0.9m,OA=1.5m,在 Rt AOC 中,可求得 AC=1.2m , AB=2.4m2.5m ,這說明該集裝箱卡車不能通過此門樓；提出問題：如要使卡車通過這個門樓,門樓應如何改建？（作課外摸索題）（評述：數學來源于實踐,又應用于實踐；在反饋練習中,老師把新課引入的實際問題,在終止前引導同學運用所學學問加以解決,留

16、意培育同學解決實際問題的才能；首尾呼應,形成一個課堂教學的整體；）4、小結（盡可能由同學自己歸納）1、圓的兩條重要性質；（1）圓是軸對稱圖形；（2）垂徑定理（在復述內容基礎上突出二個條件,三個結論,及三種語言的相互轉換）2、垂徑定理的應用：（1）解決有關弦、弧、半徑等問題的運算、證明（和作圖）；（2）解決某些實際問題（如引例、拱橋等）；強化應用意識；學習必備 歡迎下載3、常用的幫助線：（1）作半徑；（2）過圓心作弦的垂線段；垂徑定理與勾股定理相結合,得出a r 2=d 2+（ 2）2強化學問綜合運用意識5、布置作業(yè)（1）必做題：第 84 頁, 11、12 題（2）選做題：第 85 頁, 2 題

17、；（評述： 最終的小結, 既點出了垂徑定理的重要性,又幫忙同學把握不同學問結構在整體中的相互聯系,從而使之納入整個教材所建立起來的學問系統(tǒng)中去；這樣做有利于同學對學問的懂得與鞏固,同時,也使整節(jié)課連貫,緊湊,重點突出；）對應著垂直于弦的直徑（一）般過程：的課例分析,可以得出定理公式課教學的一（1）第一階段,創(chuàng)設情境：要求老師依據教材的特點,找準學問的生長點,細心設計問題；依據不同的教學內容,設計的問題可以是實際問題也可以是數學 問題,或模型演示,通過具有啟示性、探干脆和開放性的問題的引起同學的認知 沖突,激發(fā)探究愛好；同時,課堂教學的始終,老師都要創(chuàng)設有利于同學自主活 動,進行數學摸索的良好氛

18、圍,創(chuàng)設公平、合作的教學情境,良好的教學情境,有利于同學積極主動地參加探究活動；學習必備 歡迎下載（2）其次階段,分析猜想：公式定理課的教學,不能只滿意于結論的證明與 應用,而應勉勵同學以探究者的姿勢顯現,去猜想,去探究它們的發(fā)覺過程；這 一環(huán)節(jié)要充分發(fā)揮同學的主動性,引導同學通過試驗、觀看,運用類比、聯想、歸納、綜合等方法去探究、 去爭論, 在同學的主動參加中,使問題逐步得到解決,在問題解決的過程中,引導同學不斷猜想,不斷發(fā)覺新問題,獲得新學問、新方法；老師可以依據不同的教學內容,引導同學去猜想結論,猜想規(guī)律, 猜想策略；猜想的一般方法有： （1）觀看試驗猜想,（2）類比聯想猜想,（3）分析

19、歸納猜想；在實際教學中,同學的猜想難免會有錯誤,老師 的任務是引導同學大膽嘗試,最終得到有價值的猜想；（3）第三階段,論證評判：在這一環(huán)節(jié)中,老師要引導同學對自己的猜想進 行評判,去驗證自己結論的合理性,并給出嚴格的規(guī)律證明；應勉勵同學盡可能 用自己的方式和方法完成證明,而不是完全仿照他人的證法；在同學經過探究,找到思路之后,不要急于證明和應用,要給同學供應一個展現思維過程的機會,講出自己的思路,并反思自己的思路是怎樣想到的,使更多的同學受到啟示,相 互借鑒,并爭論能不能用別的方法來證明促使同學思路發(fā)散；完成證明之后,仍要引導同學進行理性歸納,分析它和以前學過的某些定理、公式有何本質的聯系,把

20、新定理、公式納入學問體系中；（4）第四階段,推廣應用：定理、公式的運用是必不行少的一環(huán)；前面三個 環(huán)節(jié)是從實際問題動身,經過分析探究、逐步形成理論；而這一環(huán)節(jié)就是運用理 論來指導實踐,讓同學學會用數學學問解決實際問題；這正表達了“ 實踐理 論實踐” 的哲學思想；在這一環(huán)節(jié)中,老師的作用是引導同學分析定理公式學習必備 歡迎下載的特點,適用于解決哪些類型的問題,應用時有哪些留意事項；完成基礎學問和 基本方法的運用；變式推廣,就要依據教材特點和同學的實際情形,適當加強或 減弱定理或公式的條件,看看能得到什么有益的結論；通過這一環(huán)節(jié),引導同學 進行反思小結,對學問進行整理,規(guī)律進行總結,思想方法進行提

21、煉,最終形成 自己的觀點；在“ 探究主體參加型” 課堂教學模式中,定理、公式課的教學加強了創(chuàng)新思維才能的培育,在整體結構上突出了“ 猜想” 與“ 證明” 兩大環(huán)節(jié),而這正是 數學發(fā)覺中的基本策略和途徑；這兩個環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)有機結合,共同承擔了對 同學形象思維、直覺思維、規(guī)律思維的訓練與培育,對同學創(chuàng)新思維和才能的培 養(yǎng)具有非常突出的作用；學習必備 歡迎下載（老師利用投影,增加成效）5、通過折疊、觀看,大家仍發(fā)覺什么結論？（另外仍有：AE=BE ）（評述：以兩條相互垂直的直徑,用運動的觀點很自然地渡到垂直于弦的直徑, 遵循了從特別到一般的規(guī)律,引導同學通過 觀看、試驗、分析、猜想,主動地探究垂徑

22、定理的學問；在這個 過程中, 同學動眼、 動手、動口、動腦,主動參加到教學活動中,這樣做有利于發(fā)揮同學的主動性,進展他們的制造性, 轉變以往那種被動地、單純聽講的學習方法；）三、論證評判1、證明這個結論是同學們通過試驗猜想出來的,能否從理論上證明它呢？下面爭論它的證明 （在上述板書中加上 “ 已知” 、“ 求證” ）；分析：從剛才的試驗中知道：把圓沿直徑CD 所在直線對折后發(fā)覺線段AE 與 BE 重疊,與重疊,與重疊,因此它們分別相等；現在我們中要爭論這樣折疊為什么會重疊就行了；證明： 老師用實物邊演示邊用電腦在屏幕上逐句顯示文字表達及圖中有關的部分 ：學習必備 歡迎下載COA BD（5）用亮

23、條顯示、；圖 4（評述：在同學動手操作折紙和電腦動畫的基礎上,利用圓的軸對稱性, 采納疊合法證明垂徑定理是同學簡潔接受的,由于這種證明的文字表述不是同學常用的,因此本節(jié)課不要求同學嚴格地用軸對稱性寫出證明過程,而是采納與老師演示的同步,在屏幕上逐一顯示文字和圖形,目的是既使同學重視證明表述,又加深對它的懂得； ）2 形成定理經過證明這個命題是正確的,我們把它作為一個定理,誰能將這個定理用一句話把它表達出來？（依據同學回答板書； 垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條?。?；（評述：同學的表達可能是粗糙的,不精確的,課堂爭論可以引導同學留意語言的精確和精煉；）強調：定理的題設有兩個：直徑

24、垂直于弦學習必備 歡迎下載結論：平分弦平分弦所對的兩條?。?）如將上述圖形變?yōu)椋?0E AB 于 E,就 AE 與 BE 相等嗎？（如圖 5）投影顯示：（2）如只滿意 CD 是直徑（如圖 6）或 CD AB（如圖 7）,就上述結論仍成嗎？（強調：兩個條件缺一不行）AOBACBAECBEOOEDD圖 5圖 6圖 7因此定理又可表述為： （顯示）CD 是直徑 AE=BE （或 CD 過圓心）=CDAB =（評述：幾何定理中文字語言、符號語言,圖形語言的相互聯系與轉換,可以加深對定理的懂得,必需引起足夠的重視）四、推廣應用1、例題分析：（投影）如圖：已知在O 中,弦 AB 的長為 8cm,圓心 0學

25、習必備 歡迎下載到 AB 的距離為 3cm,求 O 的半徑；（1）分析：“ 圓心 0 至 AB 的距離為 3 cm” 指的是哪一條線段？要求半徑必需連結OA；（分別顯示 OE AB 于 E、OA）（2）添出幫助線后啟示同學摸索解法,然后師生同時給出解AEBO 答；（評述：例題的教學突出了兩個方面：（1）作圓心到弦的垂線段,是應用垂徑定理常常用的添加幫助線方法；（2）轉化的教 學思想,為同學練習起到了示范作用；）2、變式訓練AraEBACODB2d O練習：如上圖,OE AB 于 E,口答：如 OE=1,OA=2 ,就 AB=_ ；如 AB=1 , AOE=30o,就 OE=_；如 OE=6cm,AB=16cm ,就 O 的直徑為 _cm；小結：幫助線：添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的幫助線；如圓的半徑為r,圓心到弦的距離為d,弦長為 a,學習必備 歡迎下載就 r、a、d 間有什么關系？依據什么？（由同學歸納出r2=da 2+（ 2）2,并用投影顯示）因此已知 r、d、a 中的兩個量就可求出第三個量；變式 1：如以 O 為圓心,再畫一個圓交弦AB 于 C、D,就AC 與 BD 間可能存在什么關系？（老師口述,電腦顯示）圖 6ACEDBACDBACEDBOOO方法 1方法 2方法 3（由同學作出判