“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽 （天津賽區(qū)）試題參考答案及評分標準

1、“數(shù)學周報杯”2008年全國初中數(shù)學競賽（天津賽區(qū)）試題參考答案及評分標準一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分每小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的請將正確選項的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填都得0分）（1）已知實數(shù)滿足 ，則的值為（ A ）（A）7 （B） （C） （D）5解：因為，0，由已知條件得， ，所以7 （2）把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同交點的概率是（ C ） （A） （B） （C） （D）解：基本事件總數(shù)有6636，即

2、可以得到36個二次函數(shù). 由題意知0，即4.通過枚舉知，滿足條件的有17對. 故.（3）有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可以確定的不同直線最少有( B ) （A）6條 （B） 8條 （C）10條 （D）12條解：如圖，大圓周上有4個不同的點A，B，C，D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個點E，F(xiàn)中，至少有一個不是四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線從而這6個點可以確定的直線不少于8條當這6個點如圖所示放置時，恰好可以確定8條直線所以，滿足條件的6個點可以確定的直線最少

3、有8條（4）已知是半徑為1的圓的一條弦，且以為一邊在圓內(nèi)作正，點為圓上不同于點A的一點，且，的延長線交圓于點，則的長為（ B ）（A） （B）1 （C） （D）解：如圖，連接OE，OA，OB 設(shè)，則又因為，所以，于是（5）將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（ D ）（A）2種 （B）3種 （C）4種 （D）5種解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個滿足要求的排列首先，對于，不能有連續(xù)的兩個都是偶數(shù)，否則，這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面

4、一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)是最后一個數(shù)所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）（6）對于實數(shù)u，v，定義一種運算“*”為：若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 【答】，或解：由，得，依題意有 解得，或（7）小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車,每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么

5、發(fā)車間隔的時間是 分鐘【答】4解：設(shè)18路公交車的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為米每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則 每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則 由，可得 ，所以 即18路公交車總站發(fā)車間隔的時間是4分鐘（8）如圖，在中，AB=7，AC=11，點M是BC的中點， AD是BAC 的平分線，MFAD，則FC的長為 【答】9解：如圖，設(shè)點N是AC的中點，連接MN，則MNAB又，所以 ，所以 因此 9（9）ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DEBC，分別與AB，AC相交于點D，E，則DE的長為 【答】解：如圖，設(shè)ABC的三邊

6、長為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以 （第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）（第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）因為ADEABC，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此 ，所以，故（10）關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 【答】解：因為208是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)設(shè)，則，同上可知，都是偶數(shù)設(shè)，則，所以，c，d都是偶數(shù)設(shè)，則，于是，其中s，t都是偶數(shù)所以所以可能為1，3，5，7，9，進而為337，329，313，289，257，故只能是289，從而7有故 三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）（11）在

7、直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸的正半軸分別交于A，B兩點，且使得OAB的面積值等于（）用b表示k；（）求面積的最小值 解：（）令，得；令，得所以A，B兩點的坐標分別為，于是，OAB的面積為由題意，有 ，解得 ， 5分（）由（）知，當且僅當時， 有，即當，時，不等式中的等號成立 所以，面積的最小值 15分（12）已知一次函數(shù)，二次函數(shù) 是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點（5，2），且對于任意實數(shù)x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，都有成立？若存在，求出函數(shù)的解析式；若不存在，請說明理由解：存在滿足條件的二次函數(shù)因為 0，所以，當自變量取任意實數(shù)時，均成立由已知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（

8、5，2），得 當時，有，由于對于自變量取任意實數(shù)時，均成立，所以有2 2，故 由，得 ，所以 5分當時，有 ，即 0，所以二次函數(shù)對于一切實數(shù)，函數(shù)值大于或等于零，故 即所以 10分 當時， 有 ，即0，所以二次函數(shù)對于一切實數(shù)，函數(shù)值大于或等于零，故 即 所以 綜上， 所以，存在二次函數(shù)，在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，都有成立 15分（13）是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？ 解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)令，其中n是一個非負整數(shù)則 5分 由于1q+n，且與同奇偶，故同為偶數(shù)因此，有如下幾種可能情形： 消去n，解得 10分對于第1，3種情形，從而q5；對于第2，5種情形，從而q4（不合題意，舍去）；對于第4種情形，q是合數(shù)（不合題意，舍去）又當，q5時，方程為，它的根為，它們都是有理數(shù)綜上所述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù) 15分（14）如圖，的三邊長，都是整數(shù)，且 的最大公約數(shù)為點和點分別為的重心和內(nèi)心，且求的周長解：如圖，延長，與邊分別交于設(shè)重心在邊上的