雙曲線知識點與性質(zhì)大全

1、雙曲線與方程【學(xué)問梳理】1、雙曲線的定義（1）平面內(nèi),到兩定點 F 、F 的距離之差的肯定值等于定長 2 a F F 2 2 , a a 0 的點的軌跡稱為雙曲線,其中兩定點 F 、F 稱為雙曲線的焦點,定長 2a 稱為雙曲線的實軸長,線段 F F 2 的長稱為雙曲線的焦距 . 此定義為雙曲線的第肯定義 .【注】PF 1 PF 2 2 a F F 2,此時 P 點軌跡為兩條射線 .（2）平面內(nèi),到定點的距離與到定直線的距離比為定值 e e 1 的點的軌跡稱為雙曲線,其中定點稱為雙曲線的焦點,定直線稱為雙曲線的準(zhǔn)線,定值 e 稱為雙曲線的離心率 . 此定義為雙曲線的其次定義 .2、雙曲線的簡潔性

2、質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21a b0cy2x21a b0ca22 b2 ab2頂點坐標(biāo)Aa,0B0,a焦點坐標(biāo)左焦點F 1c ,0,右焦點F 2,0上焦點F 10,c ,下焦點F 20,虛軸與虛軸實軸長 2a 、虛軸長 2b實軸長 2a 、虛軸長 2b有界性xaya,對稱性關(guān)于 x 軸對稱,關(guān)于y 軸對稱,同時也關(guān)于原點對稱.3、漸近線雙曲線x2y21a b0的漸近線為x2y20,即xy0,或ybx.a22 ba2b2aba【注】與雙曲線x2y21具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為x2y20；. 共軛雙曲線具有相a22 b2 ab2漸近線為ybx的雙曲線方程可以設(shè)為2 xy20；aa22 b共軛雙曲線

3、：以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線同的漸近線 .等軸雙曲線： 實軸與虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線 .4、焦半徑雙曲線上任意一點P 到雙曲線焦點F 的距離稱為焦半徑. 如P x 0,y0為雙曲線x2y21a b0上的任意一點,2 ab2F 1c ,0,F 2 ,0為雙曲線的左、右焦點,就|PF 1|ex 0a,|PF 2|ex 0a ,其中ec a.5、通徑過雙曲線x2.y21a b0焦點 F 作垂直于虛軸的直線,交雙曲線于A 、 B 兩點,稱線段AB 為雙曲線的通徑,a22 b且AB2b2a6、焦點三角形P 為雙曲線2 xy21a b0上的任意一點,F 1

4、c ,0,F c 2 ,0為雙曲線的左右焦點,稱PF F 為雙曲線的焦點a22 b三角形 . 如F PF 2,就焦點三角形的面積為：SF PF 12b2 cot2.7、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b （虛半軸長） .a y08、雙曲線2 xy21a b0的焦點三角形的內(nèi)心的軌跡為x2 ab29、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線l:AxByC0,雙曲線：2 xy21a b0,就.a2b2l 與相交2 2a A2 b B22 C ；l 與相切2 2a A2 b B22 C ；l 與相離2 2a A2 b B22 C .10、平行于（不重合）漸近線的直線與雙曲線只有一個交點【注】 過平面內(nèi)肯定點作直線與雙

5、曲線只有一個交點,這樣的直線可以為 11、焦點三角形角平分線的性質(zhì)4 條、 3 條、 2 條,或者 0 條.點P x y , 是雙曲線x2y2aM 是F PF 的角平分線上一點,且21a b0上的動點,F F 是雙曲線的焦點,a2buuuur uuur F M MPa ,即動點 M 的點的軌跡為2 xy22 ax.0,就 OM12、雙曲線上任意兩點的坐標(biāo)性質(zhì)A x 1,y 1,B x 2,y 2為雙曲線x2y21a b0上的任意兩點,且x 1x 2,就2 y 12 y 2b2.222 x 1x2 22aba【推廣1】直線 l 過雙曲線x2y21a b0的中心,與雙曲線交于A x 1,y 1,B

6、 x 2,y2兩點, P 為雙曲線上的任a22 b意一點,就kAPk BP2 b（kAP,kBP均存在） .于 C、D兩點,交直線l2：yk x于點 E 如 E2 a【推廣 2】設(shè)直線l1：yk xm m0交雙曲線2 xy21a b0a2b2為 CD的中點,就k k22 b.a213、中點弦的斜率直線 l 過Mx 0,y0y00與雙曲線x2y21a b0交于A B 兩點,且 AMBM ,就直線 l 的斜率kAB2 b x 02 a y 0.a22 b14、點P x y , x0,y0是雙曲線x2y21a b0上的動點,過P 作實軸的平行線,交漸近線于M N 兩a2b2點,就 PM PN定值2

7、a .2 xy21a b0上的動點, 過 P 作漸近線的平行線,交漸近線于M N 兩15、點P x y , x0,y0是雙曲線a2b2點,就SYOMPN定值ab . 2【典型例題】例 1、 雙曲線的漸近線方程為yx2y0,焦距為 10 ,這雙曲線的方程為_.【變式 1】如曲線x2k121表示雙曲線,就k 的取值范疇是 _.4k【變式 2】雙曲線2 xy21的兩條漸近線的夾角為_._.48【變式 3】已知橢圓x2y21和雙曲線x22 y1有公共的焦點, 那么雙曲線的漸近線方程為3 m 25 n 22 m 23 n 2【變式4】如橢圓x2y21 mn0和雙曲線x2y21 a0,b0有相同焦點F 、

8、F , P 為兩曲線的一個交mnab點,就PF 1PF 2_.的圖像與曲線C x22 y4恰好有兩個不同的公共點,就實數(shù)的取值范疇是【變式5】假如函數(shù)yx2（）xB. 1,0C:x2C. , 1U0,1A,D. 1,0U1,A 1,1【變式6】 直線2與雙曲線y21的漸近線交于B兩點,設(shè)P 為雙曲線 C 上的任意一點,如4OP2a OAb OBa ,bR ,O為坐標(biāo)原點 ,就以下不等式恒成立的是（）B.a2b21A.ab222C.a2b22D.2 a2 b12【變式7】設(shè)連接雙曲線x2y21與y22 x1的四個頂點為四邊形面積為S , 連接其四個焦點的四邊形面積a2b2b22 a為S ,就S

9、1的最大值為 _.2 y1的 左 右 焦 點 , 如 點 P 在 雙 曲 線 上 , 且uuur uuuur PF PF 2=0, 就S 2例2 、 設(shè)F 1、F 2分 別 是 雙 曲 線x29uuur PF 1uuuur PF 2=_.y21的左焦點F 的弦AB6,就ABF （F 為右焦點）的周長為_.【變式 1】過雙曲線x2109【變式 2】雙曲線x2y21的左、右焦點F 、F , P 是雙曲線上的動點,且PF 19,就PF2_.1620例 3、設(shè)F 1、F2是雙曲線x22 y1的兩個焦點, 點 P 是雙曲線的任意一點,且F PF 23,求PF F 的面積 .4例 4、已知直線ykx1與雙

10、曲線3x2y21有 A、B兩個不同的交點,假如以AB 為直徑的圓恰好過原點O ,試求 k 的值 .例 5、已知直線ykx1與雙曲線3x2y21相交于 A、B兩點,那么是否存在實數(shù)k 使得 A、B兩點關(guān)于直線x2y0對稱？如存在,求出k 的值；如不存在,說明理由.求此直線的斜率例 6、已知雙曲線x 2y21的右焦點為 F , 如過點 F 的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,124的取值范疇為 _.【變式 1】已知曲線 C :2 xy y1x4；（1）畫出曲線 C 的圖像；（2）如直線 l ：ykx1與曲線 C 有兩個公共點,求k 的取值范疇；PQ 的最小值 .（3）如P0,pp0, Q 為曲線

11、 C 上的點,求【變式 2】直線 l ：axy10與曲線 C ：x22y21 .（1）如直線 l 與曲線 C 有且僅有一個交點,求實數(shù)a 的取值范疇；.（2）如直線 l 被曲線 C 截得的弦長PQ2 1a2,求實數(shù) a 的取值范疇；（3）是否存在實數(shù)a ,使得以 PQ 為直徑的圓經(jīng)過原點,如存在,求出a 的值；如不存在,請說明理由例 7、 已知 F 是雙曲線x2y211的左焦點,A , , P 是雙曲線右支上的動點,求和PF5PA 的最小值 .412【變式】P 是雙曲線x2y2的右支上一點,M N 分別是圓x52y24x2y21上的點,就916PMPN 的最大值等于 _.y21和x52y249

12、都外切,求動圓圓心P 的軌跡方程 .例 8、 已知動圓 P 與兩個定圓x52【變式1】ABC 的頂點為A5 0, ,B5,0,ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上,就頂點C 的軌跡方程是_.【變式 2】已知雙曲線的中心在原點,且一個焦點為F7,0,直線yx1與其相交于 M、N兩點,線段 MN的中點的橫坐標(biāo)為2 x2,求此雙曲線的方程._.3例 9、 已知雙曲線y21,如點 M 為雙曲線上任一點,就它到兩漸近線距離的乘積為916例 10、焦點在 x 軸上的雙曲線 C 的兩條漸近線經(jīng)過原點,且兩條漸近線均與以點P0,2為圓心,以1 為半徑的圓相切,又知雙曲線C 的一個焦點與P 關(guān)于直線 yx 對稱（1）

13、求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線ymx1 與雙曲線 C 的左支交于A B 兩點,另始終線l 經(jīng)過點M 2,0及 AB 的中點,求直線l 在軸上的截距 n 的取值范疇 .【變式】設(shè)直線l 的方程為ykx1,等軸雙曲線 C ：x2y22 a 右焦點為2,0.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線 l 與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B, 記 AB 中點為 M ,求實數(shù) k 的取值范疇, 并用 k 表示點 M 的坐標(biāo)；（3）設(shè)點Q1,0,求直線 QM 在 y 軸上的截距的取值范疇.例 11、已知雙曲線 C 方程為：2 x2 y1.2（1）已知直線xym0與雙曲線 C 交于不同的兩點A、B,且線段 AB 的中

14、點在圓x2y25上,求 m 的值；（2）設(shè)直線 l 是圓 O ：x2y22上動點P x0,y 0（x y00）處的切線, l 與雙曲線 C 交于不同的兩點A、B,證明AOB 的大小為定值 .例 12、已知中心在原點,頂點A 1、A 2在 x 軸上,其漸近線方程是y2 3x ,雙曲線過點P6,6.3（1）求雙曲線的方程；（2）動直線 l 經(jīng)過A PA 的重心 G ,與雙曲線交于不同的兩點M、N,問：是否存在直線 l ,使 G 平分線段 MN ,證明你的結(jié)論 .例13、已知點F 、F 為雙曲線 C ：x2y21b0的左、右焦點,過F 作垂直于 x 軸的直線,在x 軸上方交雙b2曲線 C 于點 M ,且MF1F 230圓 O 的方程是x2y2b2（1）求雙曲線 C 的方程；（2）過雙曲線 C 上任意一點 P 作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為P 、P ,求PP 1PP 2的值；（3）過圓 O 上任意一點Qx 0y 0作圓 O 的切線 l 交雙曲線 C 于 A 、B兩點, AB 中點為 M ,求證：