初中數(shù)學(xué)北師大九年級下冊（2023年新編） 直角三角形的邊角關(guān)系 正切與坡度1

1、11銳角三角函數(shù)第1課時正切與坡度1理解正切的意義，并能舉例說明；(重點)2能夠根據(jù)正切的概念進行簡單的計算；(重點)3能運用正切、坡度解決問題(難點)一、情境導(dǎo)入觀察與思考：某體育館為了方便不同需求的觀眾，設(shè)計了不同坡度的臺階問題1：圖中的臺階哪個更陡？你是怎么判斷的？問題2：如何描述圖中臺階的傾斜程度？除了用A的大小來描述，還可以用什么方法？方法一：通過測量BC與AC的長度算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度；方法二：在臺階斜坡上另找一點B1，測出B1C1與AC1的長度，算出它們的比，也能說明臺階的傾斜程度你覺得上面的方法正確嗎？二、合作探究探究點一：正切【類型一】 根據(jù)正切的概念求正切值

2、分別求出圖中A、B的正切值(其中C90)由上面的例子可以得出結(jié)論：直角三角形的兩個銳角的正切值互為_解析：根據(jù)勾股定理求出需要的邊長，然后利用正切的定義解答即可解：如圖，tanAeq f(16,12)eq f(4,3)，tanBeq f(12,16)eq f(3,4)；如圖，BCeq r(732552)48，tanAeq f(48,55)，tanBeq f(55,48).因而直角三角形的兩個銳角的正切值互為倒數(shù)方法總結(jié)：求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用勾股定理求出需要的邊長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出對應(yīng)三角函數(shù)值即可變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課后鞏固提升” 第1題【類型二】 在網(wǎng)格中求正切

3、值 已知：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D、E都在小正方形的頂點上，求tanADC的值解析：先證明ACDBCE，再根據(jù)tanADCtanBEC即可求解解：根據(jù)題意可得ACBCeq r(1222)eq r(5)，CDCEeq r(1232)eq r(10)，ADBE5，ACDBCE(SSS)ADCBEC.tanADCtanBECeq f(1,3).方法總結(jié)：三角函數(shù)值的大小是由角度的大小確定的，因此可以把求一個角的三角函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為另一個與其相等的角的三角函數(shù)值變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課后鞏固提升” 第3題【類型三】 構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值 如圖，在RtA

4、BC中，C90，BCAC，D為AC的中點，求tanABD的值解析：設(shè)ACBC2a，根據(jù)勾股定理可求得AB2eq r(2)a，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得DE與AE的長，根據(jù)線段的和差，可得BE的長，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，可得答案解：如圖，過D作DEAB于E.設(shè)ACBC2a，根據(jù)勾股定理得AB2eq r(2)a.由D為AC中點，得ADa.由AABC45，又DEAB，得ADE是等腰直角三角形，DEAEeq f(r(2)a,2).BEABAEeq f(3r(2)a,2)，tanABDeq f(DE,BE)eq f(1,3).方法總結(jié)：求三角函數(shù)值必須在直角三角形中解答，當(dāng)所求的角不在直角三角形

5、內(nèi)時，可作輔助線構(gòu)造直角三角形進行解答變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題探究點二：坡度【類型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比) 堤的橫斷面如圖堤高BC是5米，迎水斜坡AB的長是13米，那么斜坡AB的坡度是()A13 B1 C1 D12解析：由勾股定理得AC12米則斜坡AB的坡度BCAC5121.故選C.方法總結(jié)：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i1m的形式變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型二】 利用坡度解決實際問題 已知一水壩的橫斷面是梯形ABCD，下底BC長14m，斜坡AB

6、的坡度為3eq r(3)，另一腰CD與下底的夾角為45，且長為4eq r(6)m，求它的上底的長(精確到，參考數(shù)據(jù)：eq r(2)，eq r(3)解析：過點A作AEBC于E，過點D作DFBC于F，根據(jù)已知條件求出AEDF的值，再根據(jù)坡度求出BE，最后根據(jù)EFBCBEFC求出AD.解：過點A作AEBC，過點D作DFBC，垂足分別為E、F.CD與BC的夾角為45，DCF45，CDF45.CD4eq r(6)m，DFCFeq f(4r(6),r(2)4eq r(3)(m)，AEDF4eq r(3)m.斜坡AB的坡度為3eq r(3)，tanABEeq f(AE,BE)eq f(3,r(3)eq r(3)，BE4m.BC14m，EFBCBECF1444eq r(3)104eq r(3)(m)ADEF，AD104eq r(3)(m)所以，它的上底的長約為.方法總結(jié)：考查對坡度的理解及梯形的性質(zhì)的掌握情況解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題三、板書設(shè)計正切與坡度1正切的概念在直角三角形ABC中，tanAeq f(A的對邊,A的鄰邊).2坡度的概念坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也就是坡角的正切值在教學(xué)中，要注重對學(xué)生進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，