北大力學(xué)課件07振動和波

1、第七章 振動和波1振動與波無所不在振動與波是橫跨物理學(xué)各分支學(xué)科的最基本的運動形式。盡管在各學(xué)科里振動與波的具體內(nèi)容不同，但在形式上卻有很大的相似性。27.1 簡諧振動的運動學(xué)描述7.1.1 運動方程簡諧振動：勻速圓周運動在任意直徑方向的分運動振動：物體在平衡位置附近的往返運動3簡諧振動的運動方程周期頻率角頻率振幅相位初相位47.1.2 同方向同頻率簡諧振動的合成合振動一個質(zhì)點同時參與兩個同方向、同頻率的簡諧振動合振動的振幅與相位差有關(guān)57.1.3 同方向不同頻率簡諧振動的合成考慮下列兩個頻率不同、但振幅和初相位相同的振動合振動包含一個隨 t變化較慢的余弦因子和一個隨 t變化較快的余弦因子當兩

2、個振動的頻率非常接近時6合成的振動相當于振幅隨時間緩慢變化的簡諧振動振動的強弱與振幅的平方相關(guān)，這種周期變化的現(xiàn)象稱為拍。拍是一個重要的現(xiàn)象，有許多應(yīng)用。拍頻-只與振幅的大小有關(guān)，例如從零再變到零。77.1.4 方向互相垂直、同頻率簡諧振動的合成如果兩個振動頻率相同，但一個沿x方向、一個沿y方向這是以t為參量的軌道方程；消去t，可得顯式的軌道方程為橢圓軌道方程（包括圓，直線段）-橢圓振動8特例1特例2特例3其它情況為斜橢圓97.1.5 方向互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成 當兩個互相垂直的簡諧振動頻率不同時，合成的軌道與頻率之比和兩者的相位都有關(guān)系，圖形一般較為復(fù)雜，很難用數(shù)學(xué)式子表達。 當兩

3、者的頻率之比是有理數(shù)時合運動是周期運動，軌道是閉合的曲線或有限的曲線段這種圖形稱為李薩如圖形（Lissajous figure）10 x、y兩垂直方向的簡諧振動時，對應(yīng)不同初相位差的李薩如圖形相鄰的李薩如圖形初相位差為1211相鄰的李薩如圖形初相位差為1212相鄰的李薩如圖形初相位差為12137.1.6 非簡諧振動的簡諧分解非簡諧振動分為周期性的和非周期性的第一類可以用傅里葉（Fourier）展開第二類可以作傅里葉（Fourier）變換因而非簡諧振動都可分解為簡諧振動設(shè)振動的周期為T，周期函數(shù)滿足引入稱為基頻率，簡稱基頻n次諧頻（n = 2為二次諧頻，其它依此類推）14傅里葉級數(shù)：它們都具有周

4、期 T，且有正交性和完備性正交性15一般的周期性函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)展開 x(t) 被分解為（除常數(shù)項A0/2之 外）頻率為 n的一系列簡諧振動，2，3，構(gòu)成離散的傅里葉頻譜An，Bn為相應(yīng)簡諧振動的振幅 16例6 方波1718例7 鋸齒波1920簡諧振動的復(fù)數(shù)表示法傅里葉變換構(gòu)成連續(xù)的傅里葉頻譜非周期性振動的傅里葉分解非周期性的振動，可理解成T 的周期振動，基頻0，分解出的簡諧振動頻率間距0 ，對應(yīng)的振動頻譜是連續(xù)譜。21例8 函數(shù)定義另一種形式的函數(shù)性質(zhì)2223簡諧振動的矢量圖象法7.1.7 簡諧振動的矢量表述和復(fù)數(shù)表述簡諧振動用旋轉(zhuǎn)矢量表示24簡諧振動的復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示的優(yōu)越之處：求導(dǎo)

5、、積分很方便。復(fù)數(shù)的實部對應(yīng)真實的振動量25例 已知簡諧振動的角頻率，并且已測得在某時刻的振動量和振動速度 試求振幅和初相位。簡諧振動一般表述代入已知條件解得考慮到26第七章作業(yè)題A組1、6、7、9、10、12、15、18、21、25、28、33、37、39、45、46、47B組48、52、55277.2 簡諧振動的動力學(xué)性質(zhì)7.2.1 動力學(xué)方程勻速圓周運動的質(zhì)點在直徑 x 方向上的分運動是簡諧振動向心力x 方向上的分力線性回復(fù)力：力的大小與偏離平衡位置的位移大小成正比， 方向指向平衡位置。動力學(xué)方程28例1兩個相同的固定點電荷Q之間有一個同性的點電荷q為線性回復(fù)力29例2兩個相同彈簧拉一個

6、小球，求橫向小位移時小球的受力不是線性回復(fù)力30線性回復(fù)力水平彈簧振子xk動力學(xué)方程31豎直彈簧振子Oy合力：動力學(xué)方程平衡位置32復(fù)擺（剛體擺）剛體定軸轉(zhuǎn)動定理小角度近似33動力學(xué)方程（二階常系數(shù)線性齊次微分方程）雖然振動的物理量不同，但它們都滿足相同的微分方程34動力學(xué)方程及其解x 的通解形式為通解中包含兩個待定的積分常量，它們?nèi)Q于振動的初始運動狀態(tài)，描述簡諧振動的三個特征參量：振幅、初相位和頻率35振幅 A 和初相位0 的確定由振動的初始條件0所在的象限則由sin0 或cos0 的符號確定36固有頻率0彈簧振子單擺復(fù)擺任一振動系統(tǒng)的固有頻率由振子的固有參量決定，與初始條件無關(guān)。37例

7、圓柱形冰塊輕輕按入海水中，讓它豎直方向上自由運動，略去所有阻力，求冰塊運動周期。第一階段：冰塊頂部勻加速上升至水面水中冰塊所受合力上升的加速度冰塊頂部到達水面的時間和速度38平衡位置第二階段：簡諧振動平衡位置冰塊受力冰塊作簡諧振動由振動的初始條件確定振幅和初相位39冰塊頂部上升到平衡位置上方y(tǒng) = A處，速度降為零，所用時間滿足豎直向上運動時間冰塊運動周期40例 小球A，B，B在光滑的水平面上沿一直線靜止放置。 B，B質(zhì)量相同，中間用輕彈簧連接，彈簧處于自由長度狀態(tài)。讓A對準B勻速運動，彈性碰撞后，接著又觀測到A和B兩球發(fā)生一次相遇不相碰事件，試求A和B兩球的質(zhì)量比。設(shè)B的質(zhì)量為m，A的質(zhì)量便

8、是m第一階段是彈性碰撞第二階段：A做勻速直線運動；B，B 的質(zhì)心做勻速直線運動， B，B 相對質(zhì)心作簡諧振動。 彈性碰撞41B的直線運動=勻速運動+簡諧振動B，B的質(zhì)心做勻速直線運動B相對質(zhì)心的初速度簡諧振動的頻率簡諧振動的初始條件B相對質(zhì)心的簡諧振動42B的運動A做勻速直線運動在某時刻，A和B相遇不相碰的條件：整理后得到數(shù)值計算43例 復(fù)擺小角度近似復(fù)擺的等時擺長44的點O 保持周期不變，稱為O的倒逆點過C的任一直線上存在四個點周期相同在C點下方，滿足保持等時擺長不變，rC有兩個解 45動能勢能機械能振子的動能和勢能都隨時間周期性地變化，且幅值相同振子的機械能則保持不變7.2.2 諧振子的能

9、量46例平衡位置 U形管截面面積 S，管中流體的質(zhì)量 m、密度，求液體振蕩周期 T設(shè)偏離平衡位置的液柱高度 y液柱作簡諧振動機械能守恒兩邊求導(dǎo)分析受力47例4 半徑為 r 的小球在半徑為R的半球形大碗內(nèi)作純滾動，這種運動是簡諧振動嗎？如果是，求出它的周期。設(shè)小球質(zhì)心速度vC，角速度機械能守恒兩邊對t求導(dǎo)其中小角度時的周期48思考題 在小角度近似下，求半圓環(huán)在水平面上的擺動周期，（a）摩擦力足夠大；（b）無摩擦力。R答案：497.3 保守系的振動7.3.1 一個自由度保守系的振動機械振動 （例如，彈簧振子、單擺）非機械振動 （交流電路中的電壓、電流）物理量的振動：物理量在其基準值附近的往返變化。

10、50振動的分類受迫振動：回復(fù)性保守力+阻尼力+周期性策動力自激振動: 回復(fù)性保守力+阻尼力+單向策動力51無阻尼振動：無能量耗散，亦無能量補充從能量的角度分析各類振動阻尼振動：有能量耗散，但無能量補充受迫振動：有能量耗散，但也有能量補充自激振動：有能量耗散，但也有能量補充保守系統(tǒng)非保守系統(tǒng)52一個自由度保守系的振動將空間位置參量抽象地記作廣義的保守力不穩(wěn)定平衡：P1、P3穩(wěn)定平衡：P2、P4隨遇平衡：P553系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡位置附近時，可形成振動。能量E能量能量形成振動，一個平衡點形成振動，兩個平衡點不形成振動54穩(wěn)定平衡位置A左：左振幅 A右：右振幅單一穩(wěn)定平衡位置附近的振動振動周期動力學(xué)方

11、程機械能守恒55以 = 0為力平衡點，回復(fù)性保守力的定性分析保守力一般是非線性的，但在平衡點附近的小范圍內(nèi)，一般可作線性展開。例如56將保守力 F在力平衡點附近展開為泰勒級數(shù)57小量展開公式：587.3.2 多自由度保守系的振動在小角度近似下，耦合擺的動力學(xué)方程為12用輕彈簧連在一起的耦合擺分別以懸掛點為參考點，根據(jù)角動量定理59小角度耦合擺的振動是兩個簡諧振動的疊加簡正模normal node引入兩個新的參量方程變換為60兩個自由度三個自由度四個自由度多自由度的簡正模61苯基的簡正振動苯的簡正振動前六個基態(tài)前六個激發(fā)態(tài)627.4 阻尼振動 受迫振動7.4.1 阻尼振動當沒有外界的能量補充時，

12、實際振動系統(tǒng)的振幅都要隨時間逐漸衰減。振幅衰減的原因，一是存在阻尼力 二是振動能量以波的形式向周圍傳播63保守力引入阻尼力阻尼因子阻尼振動的微分方程固有頻率64n階線性微分方程n階線性微分方程解的存在唯一性定理65n階齊線性微分方程齊線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)齊線性方程的解滿足疊加原理n階齊線性方程一定存在n個線性無關(guān)的解n階齊線性方程的通解可表為這n個線性無關(guān)解的線性疊加n階齊線性方程的所有解構(gòu)成一個n維線性空間n階齊線性方程的n個線性無關(guān)解不是唯一的66二階常系數(shù)線性齊微分方程的解猜測解r待定r的兩個根方程的解：系數(shù)由振動的初始條件確定67（1）過阻尼68（2）低阻尼初始條件決定新的線性無

13、關(guān)解通解69對數(shù)減縮：相隔一個周期前后兩振幅之比的自然對數(shù)吸引子(attractor)振子機械能的耗散機械能的減少是由于阻尼力提供了負的功率70品質(zhì)因數(shù)t 時刻振子能量為E，經(jīng)過一個周期振子損失的能量為E在低阻尼情況下在阻尼很小的情況下描述阻尼能耗的品質(zhì)因數(shù)與固有頻率成正比，與阻尼系數(shù)成反比71（3）臨界阻尼臨界阻尼過阻尼低阻尼在臨界阻尼條件下，振動系統(tǒng)回到平衡位置用時最短。727.4.2 受迫振動沒有外部不斷供給能量，耗散系統(tǒng)的振動是不能持久的激勵振動的方式主要有兩種：周期力和單向力。受迫振動：用周期力驅(qū)動的振動。周期力中簡諧策動力最重要： （1）簡諧策動力最簡單，也最普遍 （2）非簡諧策動

14、力都可以看作簡諧策動力的線性疊加73保守力阻尼力簡諧策動力其中74方程的通解可分解為下列兩個方程的通解與特解之和方程的通解= 齊次方程的通解 + 方程的特解75受迫振動的微分方程的求解問題就轉(zhuǎn)化為尋找方程的特解猜測代入方程兩邊對應(yīng)項的系數(shù)相等76受迫振動的微分方程的通解第一項即阻尼振動，隨時間衰減，故稱暫態(tài)解第二項不隨時間衰減，稱為穩(wěn)態(tài)解思考題：策動力換為 試求受迫振動方程的特解77暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解78從靜止開始的受迫振動黑線代表策動力，藍線代表從靜止開始的受迫振動79振幅隨的變化根據(jù)共振振幅共振頻率800.01281速度隨的變化根據(jù)共振速度共振頻率我們周圍的世界充滿了各種振動8283從能量的角

15、度分析受迫振動穩(wěn)定受迫振動的速度策動力的功率阻尼力耗散的功率速度共振時瞬時功率相等84一個周期中策動力和阻尼力的平均功率平均功率857.5 波的運動學(xué)描述7.5.1 波動現(xiàn)象波的產(chǎn)生需要兩個條件：波源和介質(zhì)波源在介質(zhì)中振動，與介質(zhì)發(fā)生相互作用，這種影響由近及遠，以波的形式向周圍傳播波是振動狀態(tài)的傳播。波的產(chǎn)生、波在彈性介質(zhì)中的傳播86輻射的方向性單極輻射輻射的相位87偶極輻射輻射的方向性輻射的相位簡諧振動88平面四極輻射輻射的方向性輻射的相位89線性四極輻射輻射的方向性輻射的相位音叉近場遠場90橫波：波的傳播方向與振動方向垂直縱波：波的傳播方向與振動方向平行一維空間傳播的波：弦波二維空間傳播的

16、波：水面的波三維空間傳播的波：聲波、電磁波91平面波：波陣面為平面球面波：波陣面為球面柱面波：波陣面為柱面波陣面（波前）：振動狀態(tài)相同的點組成的面波線：波的傳播方向線927.5.2 平面簡諧波空間每一點都作簡諧振動，不同點之間有確定的相位差相位以一定的速度傳播，此即波的相速，簡稱波速 u。對于波包來說，波包中心前進的速度稱為群速 ug。93先假設(shè)波向右傳播，波速 u，考慮 x = 0 點的振動 x 點、t 時刻的振動，是 x = 0 在 t - x/u 時刻的振動傳播而得到的94相的傳播速度相位保持不變，上式兩邊對時間求導(dǎo)向左傳播的簡諧波的表達式95波長：空間周期平面簡諧波波數(shù)96三維空間的平

17、面簡諧波其中球面簡諧波977.5.3 波的干涉 兩列相同性質(zhì)、同頻率、同振動方向的波的疊加9899假設(shè)相長干涉相消干涉100相長和相消干涉都形成雙曲線1017.5.4 波的衍射、反射、折射和駐波波通過小孔或遇到障礙物時會發(fā)生衍射現(xiàn)象 在波的傳播過程中，波前上的每一點都可以看作是一個子波源，這些子波源發(fā)出子波（球面波），經(jīng)過一定時間后它們的包絡(luò)面即為該時刻的波前?；莞乖碛没莞乖砜梢詫?dǎo)出反射和折射定律，解釋衍射現(xiàn)象波從一種介質(zhì)傳到另一種介質(zhì)時，在兩種介質(zhì)的分界面上，傳播方向要發(fā)生改變，產(chǎn)生反射和折射現(xiàn)象，102只考慮垂直入射情況下，介質(zhì)1、2分界面上波的反射下面以弦上從左向右傳播的橫波為例

18、，說明各種不同介質(zhì)的分界面上波的反射情況。弦上橫波的波速依賴于弦的張力 T 和線密度 :103首先考慮兩種極端情況（a）固定端的反射因為弦的端點不動，它所受的合力為零。波傳播到固定端時，對端點施加一個作用力，墻要施加一個等值、反向的作用力，從而產(chǎn)生一個從右向左傳播的反射波：振幅相同、反相104駐波如果弦的兩端都固定，形成穩(wěn)定波形的條件是什么？設(shè)有兩列波，振幅相同，在左端點（原點）反相：合成的波105在右端點 x = l 處要求 y = 0，即設(shè)波速為 u，相應(yīng)的頻率為最低的頻率稱為基頻，其它依次稱為二次、三次諧頻106基頻二次諧頻三次諧頻駐波的形成107有關(guān)駐波的幾個概念駐波的頻率波節(jié)波腹波腹

19、波腹波節(jié)相鄰波節(jié)或波腹的間距為半波長108二維駐波矩形薄膜（a，b）駐波的頻率109正方形薄膜110圓形薄膜2.40483 is the first root of the zero-th order Bessel function J0(x)5.52008 is the second root of J0(x)3.83171 is the first root of J1(x)Ts: 膜的表面張力s: 膜的面密度a: 膜的半徑111（b）柔軟端的反射柔軟端不受作用力，這種情況對應(yīng)柔軟端沒有拉伸波發(fā)生全反射112垂直懸掛的弦上的駐波垂直懸掛的弦是典型的非均勻彈性介質(zhì)113聲波在管中形成的駐波1

20、14在波導(dǎo)中傳播的微波Microwaves are electromagnetic waves with wavelengths ranging from 1 mm to 300 mm, or frequencies between 300 megahertz and 300 gigahertz.115用激光聚焦沉積原子的二維陣列納米制備Nanofabrication of a two-dimensional array using laser-focused atomic depositionLaser-Focused Atomic Deposition of Nanodots. In th

21、is new form of nanofabrication, a laser standing wave propagates across a Si surface, concentrating atoms into its nodes as they deposit. Here, a two-dimensional standing wave creates an array of dots on the surface, spaced at exactly half the laser wavelength. The image is taken with an atomic forc

22、e microscope on an array of Cr features on a Si surface. For this sample, the dots are spaced at 212.78 nm, and have height and width of 13 and 80 nm, respectively.參考文獻：R. Gupta et al., Appl. Phys. Lett. 67, 1378 (1995).One-dimensional schematic of laser-focused atomic deposition process, showing ch

23、romium atoms being focused by a laser standing wave into its nodes. The trajectories and the deposited peaks represent the results of actual calculations of the focusing process, though the relative vertical scales are highly distorted for clarity.116光晶格Optical latticeOptical lattices are crystals m

24、ade of light periodic potentials that confine ultracold atoms. Atoms in optical lattices are almost perfect analogies of electrons trapped in crystals, but our optical lattices are defect and impurity free, unlike real world solid-state materials. We will use coherent atoms from a Bose-Einstein cond

25、ensate to study the wave-like properties of atoms trapped in these potentials, adding in controlled amounts of disorder. We can study exotic states of matter such as a “Bose glass”, phase transitions that rely on the graininess of quantum mechanics rather than thermal fluctuations, and the question

26、of just why the world seems so classical when we believe quantum mechanics is the correct microscopic description.光晶格是由一束激光與它的反射波形成的，具有空間的周期結(jié)構(gòu)，可以用來模擬晶體中的離子實，束縛在光晶體中的原子類似于晶體中的電子。117例9 光在高速運動鏡面上的反射1187.5.5 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)探測器所接受到的波的頻率依賴于波源和探測器相對介質(zhì)的運動在無色散的介質(zhì)中, 波速與波源和探測器的運動與否無關(guān)波源頻率 探測器119（1）波源靜止觀察者運動波源波速 u探測器

27、先討論波源或探測器的運動都在二者的連線上波相對觀察者的傳播速度波長未變，觀察者感受到的頻率120（2）波源運動觀察者靜止波源波速 u探測器波相對觀察者的有效波長波速未變，觀察者感受到的頻率121（3）波源和觀察者都運動波源波速 u探測器波相對觀察者的有效波長觀察者感受到的頻率波相對觀察者的傳播速度122波源和觀察者作任意運動波源觀察者相位增量觀測到同樣的相位增量波源觀察者123例10 警車警笛的頻率聲速車速聲音經(jīng)前面墻的反射向后傳播，求人聽到的拍頻。1247.5.6 沖擊波當波源運動的速度接近波速時，在波源前產(chǎn)生聲壘（sound barrier）和轟聲（sonic boom）。超音速飛行125

28、當波源運動的速度大于波速時，波前的包絡(luò)面呈錐形，這種形式的波稱為沖擊波（shock wave）。馬赫錐（Mach cone）馬赫數(shù)馬赫角馬赫數(shù)為1.5126波源的運動從亞音速到超音速127當物體在介質(zhì)中運動的速度大于聲速時，就會發(fā)出聲音電磁波同樣存在這種現(xiàn)象。玻璃中光的速度僅為真空中光速的2/3，高能粒子以接近光速的速度穿過這種介質(zhì)時，就會產(chǎn)生輻射切倫科夫（Cerenkov）輻射。1287.6 一維線性波動方程7.6.1 波動方程波在介質(zhì)中如何傳播，是由介質(zhì)的性質(zhì)決定的。當介質(zhì)的形變較小時，介質(zhì)可當作彈性介質(zhì)：介質(zhì)中各點的相對位移與力成正比介質(zhì)的彈性行為由彈性模量描述，根據(jù)形變類型的不同，彈性

29、模量分為：楊氏模量、剪切模量和體積彈性模量。129楊氏模量 E剪切模量 G體積模量K一般情況下，E 2G彈性介質(zhì)的基本性質(zhì)130波動方程可能的形式？平面簡諧波第一項：質(zhì)元的加速度第二項：質(zhì)元的受力131波的傳播方向橫波位移縱波位移質(zhì)元dm質(zhì)元dm所受合力正比于二階導(dǎo)數(shù)平衡位置橫波和縱波偏離平衡位置的位移為 y質(zhì)元dm兩端位移量相同代表沒有拉伸，對應(yīng) y 的一階導(dǎo)數(shù)為零y 的一階導(dǎo)數(shù)為正，介質(zhì)處于拉伸狀態(tài)，為負則為壓縮狀態(tài)。一階導(dǎo)數(shù)代表相對拉伸的程度，正比于應(yīng)力132(a) 弦的波動方程弦的張力 T，密度分析一小段弦的受力弦在 x 位置，偏離平衡位置的位移弦沿 x 方向無位移133弦所受合力牛頓

30、第二定律弦的波動方程波速134(b) 均勻彈性棒中橫波和縱波的波動方程均勻彈性棒的橫截面積為 S，密度，沿棒取為 x 方向。設(shè)沿縱向（橫向）偏離平衡位置的位移為分析其中一小段135在 x 處的縱向（橫向）彈力為同樣在 x+x 處的縱向（橫向）彈力為136式中偏導(dǎo)數(shù)為正值時，對應(yīng)的是拉伸狀態(tài)所以左端為負，右端為正。這一小段所受合力為這一小段的縱向（橫向）加速度為137這一小段的運動方程為縱波和橫波的波動方程三維波動方程與一維的形式相同，只是縱波的波速略有不同縱波波速橫波波速138(c) 聲波的波動方程聲波的物理內(nèi)容包含了三個特征： I 氣體的位移使密度發(fā)生變化 II 密度的變化對應(yīng)著壓強的變化

31、III 壓強的不相等導(dǎo)致氣體的運動聲波是縱波，表現(xiàn)為疏密狀態(tài)的移動，空氣的壓強在平衡壓強（大氣壓）附近有起伏，聲波也表現(xiàn)為這種壓強起伏的傳播。139空氣中熱量傳播非常慢，并且聲波傳播很快，空氣來不及與外界交換熱量，過程實際上是絕熱的。氣體的壓強 p 和體積 V 滿足絕熱方程。首先考慮第二個特征Cp,m是定壓摩爾熱容， CV,m是定體摩爾熱容。140設(shè)沿縱向偏離平衡位置的位移為考慮第一個特征分析橫截面積為 S 的其中一小段在 x 點附近，體積的相對變化為上式中偏導(dǎo)數(shù)為正，對應(yīng)氣體的膨脹，故壓強減小。141左端的壓強右端的壓強這一小段所受的壓強差142最后考慮第三個特征牛頓第二定律聲波的波動方程對理想氣體，聲速R是氣體普適常量，T是絕對溫度，M是氣體的摩爾質(zhì)量1437.6.2 一維波動方程的通解一維波動方程的一般形式偏微分方程的通解不同于二階常微分方程，通解中出現(xiàn)的是兩個待定的函數(shù)，而不是兩個待定的常數(shù)144首先驗證兩個獨立的解滿足波動方程同理，另一個獨立的解也滿足方程。145驗證波的疊加原理疊加原理的成立是建立在波動方程是線性的這個性質(zhì)上146初始條件給定