高數(shù)定積分的運(yùn)用

1、高數(shù)定積分的運(yùn)用第1頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四先回顧定積分概念的引入 ：曲邊梯形面積的求法定積分所要解決的問(wèn)題是求一些非均勻分布的整體量解決的方法是以下四個(gè)步驟（設(shè)整體量為 ）：一、“分割”：把所要求的整體量 分割成許多部分量 。這里先要選擇一個(gè)被分割的變量 和被分割的區(qū)間 。二、“近似代替”：求任一小區(qū)間 上 的部分量 的近似值，得 。三、“求和”：得 。四、“取極限”：得 。第一節(jié) 定積分的微元法第2頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四實(shí)用中我們通常把上述四個(gè)步驟簡(jiǎn)化成以下的三步：一、“選變量”：選取某個(gè)變量 （或 等）作為被分割的變量

2、，它就是積分變量；并確定 的變化范圍 ,它就是被分割的區(qū)間，也就是積分區(qū)間。二、“求微元”：設(shè)想把區(qū)間 分成 個(gè)小區(qū)間，其中任意一個(gè)小區(qū)間用 表示,小區(qū)間的長(zhǎng)度 , 所求的量對(duì)應(yīng)于小區(qū)間 的部分量記作 .并取 ，求出部分量 的近似值 。第3頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四 注：這里須指出， 作為 的近似值，即應(yīng)滿足三、“列積分”：以整體量 的微元 為被積表達(dá)式，在 上積分，即得所求量 。上述把某個(gè)量表達(dá)為定積分的方法稱為定積分的微元法（或元素法）。近似值 稱為整體量 的微元(或元素),記作 ，即第4頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四曲邊梯形的面

3、積第5頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四第二節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用第6頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四一、平面圖形的面積 直角坐標(biāo)系情形 極坐標(biāo)系情形第7頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四 面積增量的近似值為 f上(x) f下(x)dx,它也就是面積元素. 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成. 因此平面圖形的面積為 考慮在x處面積增量的近似值. y=f上(x) y=f下(x) y=f上(x) y=f下(x)f上(x) f下(x)dx.X-型區(qū)域一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情

4、形第8頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四f上(x) f下(x)dx.xj左(y)xj右(y) 由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成的平面圖形的面積為 由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？j右(y)j左(y)dy. 面積為 面積元素為j右(y)j左(y)dy,xj左(y)xj右(y)Y-型區(qū)域第9頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四解兩曲線的交點(diǎn)面積元素選 為積分變量第10頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四選 為積分變量解兩曲

5、線的交點(diǎn)第11頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四第12頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四面積元素曲邊扇形的面積在,中取典型小區(qū)間,+d ，小曲邊扇形的面積近似為dA=1/2r2()d. 2、極坐標(biāo)系情形第13頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四解由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積第14頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四二、 體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 已知平行截面面積的立體體積第15頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直

6、線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺(tái)1、旋轉(zhuǎn)體的體積第16頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為第17頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四解直線 方程為第18頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四第19頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四第20頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四解第21頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四第22頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)48分，星期四2、平行截面面積為已知的立體的體積 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可