高數(shù)定積分的運用

1、高數(shù)定積分的運用第1頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四先回顧定積分概念的引入 ：曲邊梯形面積的求法定積分所要解決的問題是求一些非均勻分布的整體量解決的方法是以下四個步驟（設整體量為 ）：一、“分割”：把所要求的整體量 分割成許多部分量 。這里先要選擇一個被分割的變量 和被分割的區(qū)間 。二、“近似代替”：求任一小區(qū)間 上 的部分量 的近似值，得 。三、“求和”：得 。四、“取極限”：得 。第一節(jié) 定積分的微元法第2頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四實用中我們通常把上述四個步驟簡化成以下的三步：一、“選變量”：選取某個變量 （或 等）作為被分割的變量

2、，它就是積分變量；并確定 的變化范圍 ,它就是被分割的區(qū)間，也就是積分區(qū)間。二、“求微元”：設想把區(qū)間 分成 個小區(qū)間，其中任意一個小區(qū)間用 表示,小區(qū)間的長度 , 所求的量對應于小區(qū)間 的部分量記作 .并取 ，求出部分量 的近似值 。第3頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四 注：這里須指出， 作為 的近似值，即應滿足三、“列積分”：以整體量 的微元 為被積表達式，在 上積分，即得所求量 。上述把某個量表達為定積分的方法稱為定積分的微元法（或元素法）。近似值 稱為整體量 的微元(或元素),記作 ，即第4頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四曲邊梯形的面

3、積第5頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四第二節(jié) 定積分的幾何應用第6頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四一、平面圖形的面積 直角坐標系情形 極坐標系情形第7頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四 面積增量的近似值為 f上(x) f下(x)dx,它也就是面積元素. 設平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成. 因此平面圖形的面積為 考慮在x處面積增量的近似值. y=f上(x) y=f下(x) y=f上(x) y=f下(x)f上(x) f下(x)dx.X-型區(qū)域一、平面圖形的面積1、直角坐標系情

4、形第8頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四f上(x) f下(x)dx.xj左(y)xj右(y) 由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成的平面圖形的面積為 由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？j右(y)j左(y)dy. 面積為 面積元素為j右(y)j左(y)dy,xj左(y)xj右(y)Y-型區(qū)域第9頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四解兩曲線的交點面積元素選 為積分變量第10頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四選 為積分變量解兩曲

5、線的交點第11頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四第12頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四面積元素曲邊扇形的面積在,中取典型小區(qū)間,+d ，小曲邊扇形的面積近似為dA=1/2r2()d. 2、極坐標系情形第13頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積第14頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四二、 體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 已知平行截面面積的立體體積第15頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直

6、線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺1、旋轉(zhuǎn)體的體積第16頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為第17頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四解直線 方程為第18頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四第19頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四第20頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四解第21頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四第22頁，共24頁，2022年，5月20日，20點48分，星期四2、平行截面面積為已知的立體的體積 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可