7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（教案）- 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

1、第七章 復(fù)數(shù)7.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.在問(wèn)題情境中了解實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)實(shí)際要求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的層次.2.理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，達(dá)到邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的層次.3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，掌握實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的層次二、教學(xué)重難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念理解.2. 教學(xué)難點(diǎn)復(fù)數(shù)相等的理解和虛數(shù)、純虛數(shù)的判斷.三、教學(xué)過(guò)程（一）新課導(dǎo)入在初中的時(shí)候，我們學(xué)習(xí)了實(shí)系數(shù)一元二次方程，

2、當(dāng)時(shí)方程的求解已經(jīng)很熟練了，但是當(dāng)，當(dāng)時(shí)得到的結(jié)論是無(wú)實(shí)數(shù)解.那同學(xué)們想一下，我們能否像引進(jìn)無(wú)理數(shù)進(jìn)而把有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集那樣，通過(guò)引進(jìn)新的數(shù)而是實(shí)數(shù)集得到擴(kuò)充，從而使方程變得可解呢？（二）探索新知探究一：數(shù)系的擴(kuò)充從方程的角度看，負(fù)實(shí)數(shù)能不能開(kāi)平方，就是方程有沒(méi)有解，進(jìn)而可以歸結(jié)為方程有沒(méi)有解.（因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，只有時(shí)，才有意義；當(dāng)時(shí)，是沒(méi)有意義的.）老師提問(wèn)想一想，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出相對(duì)規(guī)范的描述，最后在給予補(bǔ)充探究：我們知道，方程在實(shí)數(shù)集中無(wú)解.聯(lián)系從自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程，你能給出一種方法，適當(dāng)擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，使這個(gè)方程有解嗎？答案：回顧已有的數(shù)集擴(kuò)充過(guò)程，可以看到，每一次擴(kuò)充都與實(shí)際需求

3、密切相關(guān).依照這種思想，為了解決這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問(wèn)題，我們?cè)O(shè)想引入一個(gè)新數(shù)，使得是方程的解，即使得.老師讓學(xué)生思考數(shù)系擴(kuò)充的一般原則，并總結(jié)歸納【數(shù)系擴(kuò)充時(shí)，一般要遵循以下原則：增添新元素，新舊元素在一起構(gòu)成新數(shù)集；在新數(shù)集里，定義一些基本關(guān)系和運(yùn)算，使原有的一些主要性質(zhì)（如運(yùn)算定律）依然適用；舊元素作為新數(shù)集里的元素，原有的運(yùn)算關(guān)系保持不變；新的數(shù)集能夠解決舊的數(shù)集不能解決的問(wèn)題】老師提出問(wèn)題，讓學(xué)生思考，把新引入的數(shù)添加到實(shí)數(shù)集中，我們希望數(shù)和實(shí)數(shù)之間仍然能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法滿足分配律.那么，實(shí)數(shù)系經(jīng)過(guò)擴(kuò)充后，得到的

4、新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢？依照以上設(shè)想，把實(shí)數(shù)與相乘，結(jié)果記作；把實(shí)數(shù)與相加，結(jié)果記作的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中.探究二：復(fù)數(shù)的概念1.相關(guān)概念：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程在復(fù)數(shù)集中就有解了.（還有另一個(gè)解）復(fù)數(shù)通常用字母表示，即.以后不作特殊說(shuō)明時(shí)，復(fù)數(shù)都有，其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，我們規(guī)定：與相等當(dāng)且僅當(dāng)且.2.由實(shí)數(shù)的分類啟發(fā)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)嘗試分類，教師總結(jié)補(bǔ)充.討論復(fù)數(shù)的構(gòu)成，明確兩要素：實(shí)部，虛部.復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)可以如下分類：注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限：設(shè)（1）；（2）是虛數(shù)；（3）且.教師提問(wèn)：

5、實(shí)部、虛部一定為實(shí)數(shù)嗎？什么時(shí)候兩復(fù)數(shù)相等？學(xué)生思考后回答，教師補(bǔ)充.【復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是實(shí)數(shù)；兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們實(shí)部和虛部分別相等.】由于實(shí)數(shù)可以表示在數(shù)軸上，所以兩實(shí)數(shù)可以比較大小.教師提問(wèn)：兩復(fù)數(shù)間能比較大小嗎？為什么？學(xué)生小組討論后，舉手發(fā)言，教師提煉總結(jié).【不能比較大小，如和0.若，則，即，不成立.若，則，即，不成立.】思考：復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集之間有什么關(guān)系？顯然，實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，即.例1 當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).在審?fù)觐}后教師提問(wèn)：復(fù)數(shù)分類的依據(jù)是什么？學(xué)生討論回答，獨(dú)立完成例1.教師拓展：0是復(fù)數(shù)，因?yàn)?是實(shí)數(shù)，所以0也

6、是復(fù)數(shù).將0寫成的形式為，即其實(shí)部和虛部都是0.分析：因?yàn)?，所以都是?shí)數(shù).由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定的取值.解：（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù).（3）當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).（三）課堂練習(xí)1.說(shuō)出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：.解：的實(shí)部分別為；虛部分別為.類題通法：對(duì)于復(fù)數(shù)，以后不作特殊說(shuō)明都有，其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.2.指出下列各數(shù)中，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).為什么？.解：實(shí)數(shù)有；虛數(shù)有；純虛數(shù)有類題通法：復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù).3.求滿足下列條件的實(shí)數(shù)的值：（1）；（2）.解：（1）由解得（2）由解得.類題通法：與相等的充要條件是且.（四）小結(jié)作業(yè)小結(jié)：1.本節(jié)課我們主要學(xué)