三垂線定理以及應(yīng)用課件

1、三垂線定理以及應(yīng)用課件三垂線定理以及應(yīng)用課件復(fù)習(xí)：平面的斜線、垂線、射影 如果a , aAO，思考a與PA的位置關(guān)系如何？aOPA PA是平面的斜線, A為斜足; PO是平面的垂線, O為垂足; AO是PA在平面內(nèi)的射影.三垂線定理復(fù)習(xí)：平面的斜線、垂線、射影 如果a , aA性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直線線垂直線面垂直線線垂直PA 平面PAOaPAaPA 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。為什么呢？POa POaAOaa平面PAOPaoA三垂線定理POAO=O性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直線線垂直線面垂直線線垂三垂線定理包含幾種

2、垂直關(guān)系？線射垂直線面垂直 線斜垂直直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直AaOPPAaOAaOP三垂線定理三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？線射垂直線面垂直 線斜垂直 1.三垂線定理描述的是斜線(PA)、射影(AO)、直線(a)之間的垂直關(guān)系。 2.三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。其中直線a與PA可以相交，也可以異面。 對三垂線定理的說明： 3. 三垂線定理中垂線、斜線、射影、直線都是相對于一個平面而言，即四線一面，所以把該平面稱為基準(zhǔn)平面。PaOA但基準(zhǔn) 平面不一定是水平的。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平

3、面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 1.三垂線定理描述的是斜線(PA)、射影(AO)、直POAab三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是： 相交直線 異面直線三垂線定理cPOAab三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 直線 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線AB 直線 b面BB1 C1C 面練習(xí)：判斷下列命題的真假：三垂線定理面ABCD 面ADCBA1D1C1B1面ABCD POA三垂線定理bcPPOA三垂線定理bcPPMCAB例1.已知：PA平面PBC，PB=

4、PC，M是BC的中點. 求證：BCAM.BCAM證明: PB=PCM是BC的中點PM BCPA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影三垂線定理PMCAB例1.已知：PA平面PBC，PB=PC，BCA例2.已知：如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點. 求證：BCPC. 證明: AB是圓的直徑,C是圓上任一點, BCAC. PA圓所在的平面, AC是斜線PC在平面內(nèi)的射影. BCPC.PCBAO三垂線定理例2.已知：如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是 關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)以及垂線。射影就可以由垂足、斜足來確定。 從三垂線定理的證明中

5、得到證明ab的一個程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線。 第二、找射影線，這時a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。 第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。解題回顧三垂線定理 關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)以及垂例4. 在正方體AC1中，求證：A1CBC1 ， A1CB1D1. 在正方體AC1中, A1B1面BCC1B1且BC1 B1C, B1C是A1C在面BCC1B1上的射影.證明：同理可證， A1CB1D1.由三垂線定理知 A1CBC1 ,三垂線定理A1B 1C1D1ADCBA1B 1C1BC例4. 在正方體AC1中， 在線射垂直線斜垂直P

6、OAaPOAa平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直.三垂線定理的逆定理？三垂線定理線射垂直線斜垂直POAaPOAa平面內(nèi)的一條直線和平面的 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。POAa 已知：PO，PA分別是平面 的垂線和斜線，AO是PA在平面內(nèi)的射影,a ,a PA. 求證：a AO.三垂線定理的逆定理三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一POA三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和

7、這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理三垂線定理三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個例4. 在四面體ABCD中，AO平面BCD，O為BCD的垂心.求證：ABCD，ACBD，ADBC.ADCBo證明：連結(jié)BO，CO，DO.AO平面BCD, BO為AB在面BCD內(nèi)的射影.又O為BCD的垂心, BO CD, ABCD.同理可證ACBD，ADBC.思考:AO平面BCD ，ABCD，ACBD，ADBC ？ O為BCD的垂心.三垂線定理例4. 在四面體ABCD中，AO平面BCD，O為BC例5. 在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBD求證：ADB

8、C.DOBC，于是ADBC.證明：作AO平面BCD于點O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影.OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，三垂線定理例5. 在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBDDO 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 小 結(jié)3操作程序分三個步驟“一垂二射三證”。1定理中四條線均針對同一平面而言。2應(yīng)用定理關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”和垂線。三垂線定理 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果小 結(jié)3思考題:如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)BD1，AC，CB1，B1A.求證：BD1平面AB1C. ABCD是正方形，ACBD 又DD1平面ABCD , BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影 . AC在平面AC內(nèi)，BD1AC . A1D1C1B1ADCB而AB1， AC相交于點A且都在平面AB1C內(nèi) BD1平面AB1C.證明：連結(jié)BD， 請同學(xué)思考：如何證明D1BAB1 連結(jié)A1B.三垂線定理思考題:如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中