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1、三垂線定理以及應(yīng)用課件三垂線定理以及應(yīng)用課件復(fù)習(xí):平面的斜線、垂線、射影 如果a , aAO,思考a與PA的位置關(guān)系如何?aOPA PA是平面的斜線, A為斜足; PO是平面的垂線, O為垂足; AO是PA在平面內(nèi)的射影.三垂線定理復(fù)習(xí):平面的斜線、垂線、射影 如果a , aA性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直線線垂直線面垂直線線垂直PA 平面PAOaPAaPA 三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。為什么呢?POa POaAOaa平面PAOPaoA三垂線定理POAO=O性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直線線垂直線面垂直線線垂三垂線定理包含幾種
2、垂直關(guān)系?線射垂直線面垂直 線斜垂直直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直AaOPPAaOAaOP三垂線定理三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系?線射垂直線面垂直 線斜垂直 1.三垂線定理描述的是斜線(PA)、射影(AO)、直線(a)之間的垂直關(guān)系。 2.三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。其中直線a與PA可以相交,也可以異面。 對三垂線定理的說明: 3. 三垂線定理中垂線、斜線、射影、直線都是相對于一個平面而言,即四線一面,所以把該平面稱為基準(zhǔn)平面。PaOA但基準(zhǔn) 平面不一定是水平的。三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平
3、面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。 1.三垂線定理描述的是斜線(PA)、射影(AO)、直POAab三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理,這兩條直線可以是: 相交直線 異面直線三垂線定理cPOAab三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 直線 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線AB 直線 b面BB1 C1C 面練習(xí):判斷下列命題的真假:三垂線定理面ABCD 面ADCBA1D1C1B1面ABCD POA三垂線定理bcPPOA三垂線定理bcPPMCAB例1.已知:PA平面PBC,PB=
4、PC,M是BC的中點. 求證:BCAM.BCAM證明: PB=PCM是BC的中點PM BCPA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影三垂線定理PMCAB例1.已知:PA平面PBC,PB=PC,BCA例2.已知:如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上任一點. 求證:BCPC. 證明: AB是圓的直徑,C是圓上任一點, BCAC. PA圓所在的平面, AC是斜線PC在平面內(nèi)的射影. BCPC.PCBAO三垂線定理例2.已知:如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是 關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)以及垂線。射影就可以由垂足、斜足來確定。 從三垂線定理的證明中
5、得到證明ab的一個程序:一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線。 第二、找射影線,這時a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。 第三、證明射影線與直線a垂直,從而得出a與b垂直。解題回顧三垂線定理 關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)以及垂例4. 在正方體AC1中,求證:A1CBC1 , A1CB1D1. 在正方體AC1中, A1B1面BCC1B1且BC1 B1C, B1C是A1C在面BCC1B1上的射影.證明:同理可證, A1CB1D1.由三垂線定理知 A1CBC1 ,三垂線定理A1B 1C1D1ADCBA1B 1C1BC例4. 在正方體AC1中, 在線射垂直線斜垂直P
6、OAaPOAa平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直.三垂線定理的逆定理?三垂線定理線射垂直線斜垂直POAaPOAa平面內(nèi)的一條直線和平面的 在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。POAa 已知:PO,PA分別是平面 的垂線和斜線,AO是PA在平面內(nèi)的射影,a ,a PA. 求證:a AO.三垂線定理的逆定理三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一POA三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果和
7、這個平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理三垂線定理三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個例4. 在四面體ABCD中,AO平面BCD,O為BCD的垂心.求證:ABCD,ACBD,ADBC.ADCBo證明:連結(jié)BO,CO,DO.AO平面BCD, BO為AB在面BCD內(nèi)的射影.又O為BCD的垂心, BO CD, ABCD.同理可證ACBD,ADBC.思考:AO平面BCD ,ABCD,ACBD,ADBC ? O為BCD的垂心.三垂線定理例4. 在四面體ABCD中,AO平面BCD,O為BC例5. 在四面體ABCD中,已知ABCD,ACBD求證:ADB
8、C.DOBC,于是ADBC.證明:作AO平面BCD于點O,連接BO,CO,DO,則BO,CO,DO分別為AB,AC,AD在平面BCD上的射影.OADCBABCD,BOCD,同理COBD,于是O是BCD的垂心,三垂線定理例5. 在四面體ABCD中,已知ABCD,ACBDDO 三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。 小 結(jié)3操作程序分三個步驟“一垂二射三證”。1定理中四條線均針對同一平面而言。2應(yīng)用定理關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”和垂線。三垂線定理 三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果小 結(jié)3思考題:如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,連結(jié)BD1,AC,CB1,B1A.求證:BD1平面AB1C. ABCD是正方形,ACBD 又DD1平面ABCD , BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影 . AC在平面AC內(nèi),BD1AC . A1D1C1B1ADCB而AB1, AC相交于點A且都在平面AB1C內(nèi) BD1平面AB1C.證明:連結(jié)BD, 請同學(xué)思考:如何證明D1BAB1 連結(jié)A1B.三垂線定理思考題:如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中
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