中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：《三角形》經(jīng)典考點(diǎn)專題點(diǎn)評

1、三角形經(jīng)典考點(diǎn)專題點(diǎn)評 三角形在平面圖形中是最簡單也是最基本的圖形，一切多邊形都可以分成若干個(gè)三角形，三角形在我們生活中無處不在從本專題開始，中學(xué)對幾何的學(xué)習(xí)就正式開始了7年級對三角形的學(xué)習(xí)主要包含等腰（邊）三角形與三角形的全等當(dāng)然，我們也引入了一些直角三角形的知識點(diǎn)作為擴(kuò)展內(nèi)容三角形的學(xué)習(xí)除了最基礎(chǔ)的點(diǎn)（特殊點(diǎn)）、線（角度）、面（面積）以外，還要學(xué)習(xí)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折，當(dāng)然也需要掌握一些圖形的構(gòu)建方法因此，學(xué)習(xí)好三角形能大幅提高我們對于基本圖形的判斷、復(fù)雜圖形的分解與轉(zhuǎn)化能力，以及輔助線的添加意識 本專題的編排順序是由二次全等、中線倍長的證明引出，接著通過截長補(bǔ)短以及平移、旋轉(zhuǎn)和翻折等其

2、他常用方法和技巧來加深學(xué)生對三角形學(xué)習(xí)的理解經(jīng)典拉分題思維點(diǎn)評題1如圖71所示，已知A90，ABAC，M是AC的中點(diǎn)，ADBM交BC于點(diǎn)D，交BM于點(diǎn)E求證：AMBDMC滿分證明(1)如圖72所示，作BAC的平分線AG交BM于點(diǎn)G (2)由條件ABAC、BAGACD45、ABGCAD，可證得BGAADC，從而得到AGCD (3)由條件AGCD、AMCM，MAGMCD45，可證得AMGCMD(4)因此AMBDMC技巧貼士本題要求證的是兩個(gè)角相等，一般采用證明兩角所在的兩個(gè)三角形全等的方法從圖中觀察到AMB與DMC所在的兩個(gè)三角形AME與CMD顯然不全等，但是這兩個(gè)三角形中有其他相等元素：AMCM

3、結(jié)合本條件，加上結(jié)論，全等三角形條件有兩個(gè)，因此我們想到通過添加輔助線，構(gòu)造兩個(gè)全等三角形AMG、CMD，從而得到AMBDMC題2如圖73所示，已知在ABC中，ABAC，延長AB至D使BDAB，E為AB中點(diǎn)求證：CD2EC滿分證明(1)如圖74所示，延長CE至F使CEEF，再連接BF (2)易證ACEBFE，從而可得ACBF、CAEFBE (3)由CBDCAEACB、CBFFBEABC，可得CBDCBF (4)由條件BDABACBF，BCBC，易證CBFCBD(5)因此CDCF2EC技巧貼士本題還可用三角形中位線定理解答（三角形中位線是指連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，即三角形的中位線平行于第三邊并

4、且等于它的一半）取AC的中點(diǎn)G，連接EG、BG，由ABAC，E、G分別為AB、AC中點(diǎn)，得出BECG，從而BECCGB故CEBG由中位線定理可知BGCD，所以CECD題3如圖75所示，已知在ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中點(diǎn)求證：AMEF滿分解答(1)如圖76所示，延長AM至N，使MNAM，連接BN (2)易證ACMNBM，從而可得ACBNBC (3)由ABCACBBAC180，可得ABCNBCBAC180，即ABNBAC180 (4)再由EAFEABBACCAF360，得到EAFBAC180，即ABNEAF (5)結(jié)合條件EAAB，BNCAAF，易證ABNEAF (6)因此E

5、FAN2AM，即AMEF技巧貼士已知條件中出現(xiàn)了中點(diǎn)以及AMEF形式，這暗示了可使用“中線倍長”的方法通過將中線AM延長一倍后，證明ANEF，找到AN、EF所在的ABN、EAF，證明兩個(gè)三角形全等即可思維點(diǎn)評 二次全等，就是通過兩次三角形全等，解決題目中涉及的角度、線段間的關(guān)系7年級學(xué)習(xí)了全等三角形，自然全等三角形是一種手段與工具它能用于證明角、邊的等量關(guān)系，因此證明邊、角相等，往往就是證明邊、角所在三角形全等所以，對于角、邊的關(guān)系，一定要將其置于某個(gè)載體，如兩個(gè)全等三角形中，此外，解決二次全等往往使用逆推的思路，在題1貼士中所構(gòu)造的AMGCMD所缺少的條件是AGCD，通過BGAADC來提供

6、中線倍長，是初中數(shù)學(xué)幾何中常見的一種添加輔助線的方法若題目出現(xiàn)中點(diǎn)、中線，要求證或出現(xiàn)“A2B”，一般延長一倍的中線如圖77所示，通過ACMBNM，從而實(shí)現(xiàn)“A2B”題4如圖78所示，在ABC中，ABAC，BD為邊AC上的高，P為線段BC邊上的動點(diǎn)（且不與B、C兩點(diǎn)重合），過P點(diǎn)分別作AB、AC邊上的垂線且與AB、AC分別交于M、N兩點(diǎn)，求證：BDPMPN滿分證明(1)如圖79所示，在NP的延長線上截取PEPM，連接BE (2)由條件PEPM、MPBEPB（在RtBMP與RtPNC中，由于MBPC，因此MPBNPC又BPE與NPC為對頂角，因此MPBEPB)，BPBP，易證BPMBPE，從而可

7、得BEP90 (3)因此四邊形BEND為矩形，可得ENBD(4)由ENEPPN得BDPMPN技巧貼士本題是運(yùn)用“補(bǔ)短法”，把所要求的BDPMPN中的PM“補(bǔ)”到PN所在的直線上，接著，只需證明四邊形BEND為矩形，結(jié)合已有的兩個(gè)直角，只需證明一個(gè)BEP90，從而便有證明BPMBPE(本分析思路仍為逆向思維，可見在證明幾何問題中，逆向思維出現(xiàn)較多)當(dāng)然，本題還可用“截長法”（詳見本專題思維點(diǎn)評）和“面積法”來做，“面積法”思路如下：連接AP，由于ABC為等腰三角形，再運(yùn)用SABCSABPSAPC，即可得證題5如圖710所示，在等腰ABC中，ABAC，頂角A100，B的平分線BE交AC于E，求證：

8、BCAEEB滿分證明(1)如圖711所示，在BC上取BDBE，BFAB(2)由條件ABBF、BEBE、ABEEBC20，易證ABEFBE(3)因此BFE100故BEF60，EFD80 (4)又由于BDBE，可得BEDBDE80，F(xiàn)EDBEDBEF20，故EFDEDF，EFED (5)由于DEC180BEABED40C，所以EDCD，即CDEFAE (6)由BCBDCD，BDEB，得BCAEEB技巧貼士本題運(yùn)用“截長法”，把最長的BC截取題中所要求的其中一段，如BDBE至于BFAB的出現(xiàn)則在于從B的角平分線得到啟示，看到角平分線，往往意味著三角形翻折，ABFFBE也可認(rèn)為兩三角形翻折（相等會為全

9、等提供可能性），并且出現(xiàn)等腰三角形往往還意味著存在等量代換題6如圖712所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC的延長線上，點(diǎn)F在CB的延長線上，EAF45，求證：DEBFEF滿分證明(1)如圖713所示，在DC上截取DG，使得DGBF，連接AG (2)由四邊形ABCD是正方形，可得ADGABF90，ADAB (3)又由于DGBF，可得ADGABF，故GADFAB，AGAF (4)DAB90DAGGABBAFGABGAF，即GAEGAFEAF45，GAEFAE45 (5)又因?yàn)锳GAF、AEAE，故EAGEAF，即得EFEGEDGDDEBF技巧貼士本題運(yùn)用“截長法”，在DC上截取DGBF，可得AD

10、GABF而在有正方形的題目中看到EAF，即使EAF45，也要反應(yīng)出存在一對含該角度EAF的全等三角形，即題中的EAGEAF思維點(diǎn)評 一般問題中出現(xiàn)“ABC”，且B、C不在同一直線上的形式，就可以考慮“截長補(bǔ)短”，即把不同的線段通過輔助線聯(lián)系起來，最終得到所要求的等量關(guān)系事實(shí)上，“截長補(bǔ)短”意味著兩種方法：一是“截長”（在A上截取B或C），二是“補(bǔ)短”（在B上延長C得A或在C上延長B得A）這兩種方法在三角形中基本上是互補(bǔ)的，截長補(bǔ)短不適用的情況主要在圓中才有體現(xiàn)（詳見9年級與“圓”相關(guān)的專題） 還有以下幾點(diǎn)在證明三角形全等中需要特別注意 (1)三角形中，大量存在“等量代換”的技巧，即使沒有告訴我

11、們“AB” (2)即使只告訴一般的三角形，通過輔助線，通過角、邊的關(guān)系，中間往往會存在大量等腰三角形、等邊三角形（這里隱含了“一般與特殊”的思想方法，通常聯(lián)系等腰三角形、等邊三角形，一般三角形的情況比較少） (3)相等會為全等提供可能性：只要出現(xiàn)“AB”，A和B都屬于某個(gè)三角形，通過各種方式證明A和B所在的兩個(gè)三角形全等就可以解決部分問題 再對題4的“截長法”做如下簡述：在BD上截取線段BF，使BFPM，可證得BPFPBM，從而得到BFPM，PFBD，即可求得四邊形PFDN為矩形，得到PNDF，即可得證題7如圖714所示，在ABC中，ACB90，BCAC，D、E為AB上兩點(diǎn)，且DCE45，求證

12、：AD2BE2DE2滿分證明(1)如圖715所示，將ADC繞C旋轉(zhuǎn)到如圖位置，則CADCBF (2)由AABC45，可得EBFABCCBFABCA90，故BEF為直角三角形，且BFAD (3)又因ACDECB45，且ACDFCB，故ECBFCBFCE45DCE (4)由DCCF，CECE，可得CDECFE，DEFE，即BE2AD2DE2技巧貼士勾股定理及其逆定理：在ABC中，C90a2b2c2（a、b為直角邊，c為斜邊）根據(jù)本題結(jié)論，通過等量代換，要將AD、BE、DE置于一個(gè)直角三角形中先由BCAC這一信息，想到若將ADC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，即可得到兩對全等的三角形，同時(shí)也構(gòu)建出了一個(gè)直角三角形，從而通

13、過三角形的全等，可將所求邊轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中，從而得到結(jié)論題8如圖716所示，P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP3，PB4，PC5，求APB的度數(shù)滿分解答(1)如圖717所示，過B作PBP60，BPBP，連接PP、AP (2)由于么PBP60，BPBP4，可得PP4，PPB60 (3)又因PBA PCA，得PCAP5，且AP2PP2AP2，故APP90(4)即得APBPPBAPP150技巧貼士本題的考點(diǎn)在于3、4、5這三條邊長熟悉直角三角形性質(zhì)的同學(xué)不難發(fā)現(xiàn)，若三角形的三邊長存在3：4：5的關(guān)系時(shí)，此三角形便是一個(gè)直角三角形同樣常見的例子還有5：12：13等因此，只要發(fā)現(xiàn)這類邊長中存在的特殊比例

14、關(guān)系，我們便能通過之前所學(xué)習(xí)過的三角形“平移”、“旋轉(zhuǎn)”、“翻折”的一系列變化方法，得到我們所需要的答案題9如圖718所示，在四邊形ABCD中，BD平分ABCDPBC于點(diǎn)P，ABBC2BP求證：BADC180滿分證明(1)如圖719所示，過點(diǎn)D作DEBA交BA延長線于點(diǎn)E (2)由于BD平分ABC，故DEDP（角平分線定理），可得RtBEDRtBPD，故BEBP (3)由于ABBC2BP，得到ABBPPCBPBE，所以ABPCBE，即得PCBEABAE (4)又由于DEDP，DEADPC90，且AECP，可得DEADPC，得到EADC(5)由于BADEAD180，即得BADC180技巧貼士在看到角平分線時(shí)，要想到角平分線上任一點(diǎn)到兩邊的垂直距離相等（角平分線定理）本題往往還會以另一種形式出現(xiàn)：已知BD平分ABC，DP上BC于點(diǎn)P，BADC180，求證ABBC2BP，解題思路類似思維點(diǎn)評 旋轉(zhuǎn)是圖形的基本運(yùn)動，是初中數(shù)學(xué)幾何中比較常見的解題技巧在一些特殊的幾何圖形（如等邊三角形、正方形等）中經(jīng)常出現(xiàn)，我們往往將這些圖