高考數(shù)學(xué)壓軸題解法策略研究

1、第第 頁(yè) 高考數(shù)學(xué)壓軸題解法策略研究專題一. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(一) 關(guān)于結(jié)構(gòu)圖知識(shí)，方法，思維，易錯(cuò)點(diǎn).1.高中函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖2. 導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖3. 函數(shù)的思維方法4. 函數(shù)的思維特征 (二)典型例題例題1.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為. () 求； （）證明：.分析：第一問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，面向全體考生；注意函數(shù)問(wèn)題定義域優(yōu)先的原則！解：（）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意可得故. （）分析：常規(guī)方法證明， 即證： 所以 所以，太復(fù)雜了！無(wú)從下手！再次分析：證明 難點(diǎn)在哪里？困難在于存在，求導(dǎo)后還存在，麻煩！初步思考必須把與分離，怎么分離？不外乎加減乘除！仔細(xì)觀察：，其中，定義域別忘了，還有；(1) (

2、2) (3) .（）方法一：由（）知，從而等價(jià)于 設(shè)，. 若，是否可行？試一試吧！ ,. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. , 注意“” ,. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. . 綜上，時(shí)，,而兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)取到，所以，即.方法二：分析：等價(jià)于. 等價(jià)于. 即可. ， . 令，. 知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； . ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 令，. 知. ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 綜上所述，當(dāng)時(shí)， ，即方法三： 分析：題目中有，應(yīng)該聯(lián)想到重要熟知的不等式，就能得到下面流暢的證明.用導(dǎo)數(shù)易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).于是方法二中，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). ，

3、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). (也可以用證明)即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).于是證法2中的，.總結(jié)： 公式關(guān)系清晰，一氣呵成！方法四：分析：欲證.即證即可.由方法三，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).又 = 1 * GB3 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào). = 2 * GB3 由 = 1 * GB3 和 = 2 * GB3 可得：，這里關(guān)鍵是等號(hào)不能同時(shí)成立.方法五：（與方法四證明類似），當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào). = 1 * GB3 .，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào). . = 2 * GB3 由 = 1 * GB3 、 = 2 * GB3 可知.（注意：兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立）即.方法六：欲證即證. 主要還是等價(jià)變形.設(shè).則.（這里關(guān)鍵是注意

4、到與之間隱含著復(fù)合函數(shù)的關(guān)系）只需證明.由方法一可知，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).，（兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立）.點(diǎn)評(píng)：這種方法實(shí)在很難想！基于上述7種方法的思考：看來(lái)我們有必要梳理一下，其中重要的不等式：泰勒展開式及其變形. 這個(gè)式子也叫麥克勞林公式.當(dāng)時(shí)，有 = 1 * GB3 即 = 2 * GB3 ，其中用替換. = 3 * GB3 由 = 2 * GB3 = 3 * GB3 得： = 4 * GB3 還有，. = 5 * GB3 注意等號(hào)成立條件. = 6 * GB3 加強(qiáng) = 4 * GB3 可得 = 7 * GB3 還有： = 8 * GB3 ，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)） = 9 *

5、GB3 ，等等.基于上面的思考:證法7:,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào). ，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)即成立.是否很帥！最后，關(guān)注以下函數(shù)，課下練習(xí)鞏固.1、， ， ， 2、， ， ， ， 3、， ， 4、， ， 例2. (2013全國(guó)2理科21)已知函數(shù)(1)設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明.解：(1)f(x)exeq f(1,xm)由x0是f(x)的極值點(diǎn)得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域?yàn)?1，)，f(x)exeq f(1,x1).函數(shù)f(x)exeq f(1,x1)在(1，)單調(diào)遞增，且f(0)0，因此當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(1，0)單調(diào)遞減，在

6、(0，)單調(diào)遞增(2)證明：方法一：當(dāng)m2，x(m，)時(shí)，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)f(x)exeq f(1,x2)在(2，)單調(diào)遞增又f(1)0，故f(x)0在(2，)有唯一實(shí)根x0，且x0(1，0)當(dāng)x(2，x0)時(shí)，f(x)0，從而當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0eq f(1,x02)，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)eq f(1,x02)x0eq f(（x01）2,x02)0. 綜上，當(dāng)m2時(shí)，f(x)0.方法二：時(shí)，. , 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào). 又,又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).不等式中前兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)取得.即成立.(上

7、式中，時(shí)，時(shí)，均可以用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明)總結(jié)一：常規(guī)方法遇阻礙，分而治之顯神奇泰勒公式藏天機(jī)！總結(jié)二：分離分類尋零點(diǎn)，對(duì)數(shù)平均愛(ài)偏移數(shù)形結(jié)合顯神通！1. 降龍十八掌分類討論，不重不漏！例題3.已知函數(shù), .()當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線；()用表示中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).分析：（）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的值；（）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)， 若零點(diǎn)不容易求解，則對(duì)再分類討論.解：（）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，即，解得.因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線. （）當(dāng)時(shí)，從而， 在（1，+）無(wú)零點(diǎn). 當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若

8、，則，,故=1不是的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).()若或，則在（0,1）無(wú)零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無(wú)零點(diǎn). ()若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=. = 1 * GB3 若0，即0，在（0,1）無(wú)零點(diǎn). = 2 * GB3 若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)； = 3 * GB3 若0，即，由于,，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn) 綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn). 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對(duì)新概念的理解

9、；分段函數(shù)的零點(diǎn)；分類整合思想.上面是我們?cè)诟鞣N途徑中可以看到的答案！但是同學(xué)們，通過(guò)閱讀答案可能還是一頭霧水，如何分類討論，如何準(zhǔn)確的找到分類討論點(diǎn)，才能做到不重不漏，輕松應(yīng)對(duì)呢？研究函數(shù)，的圖像.可以詳細(xì)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值情況，方程的根的情況！因?yàn)?，所以這里，(1) 當(dāng)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)， 單調(diào)性：在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 極 值：當(dāng)，當(dāng)，(2)方程根的情況，如圖：方法二：因?yàn)? . 所以， (1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，如圖(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，如圖 圖（1） 圖（2） (3) 當(dāng)時(shí)，有， 可作如下5種情況思考！例題4. 已知函數(shù)()當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f(

10、x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程；()求f(x)的單調(diào)區(qū)間解：（I）當(dāng)k=2時(shí)，f(x)=ln(1+x)x+x2， 由于f(x)=ln2， 所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為 即 QUOTE .（II） 依題意，x(1，+)，當(dāng)k=0時(shí)，.所以，在區(qū)間(1，0)上，f(x)0；在區(qū)間(0，+)上，f(x)0.故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，+).當(dāng)0k0；在區(qū)間(0， )上，f(x)0故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1，+).當(dāng)k1時(shí)， 在區(qū)間(1，)和(0，+)上，f(x)0; 在區(qū)間(，0)上，f(x)0; 故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間(1，)和(

11、0，+)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，0).當(dāng)k=0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，+).當(dāng)0k1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(1，)和(0，+)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，0).例題4變式1：已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間解：依題意，函數(shù)定義域?yàn)椋?令 即，所以有 （1）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； （2）當(dāng)時(shí)，方程的二根為 ， （考慮當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根是否在定義域里） 所以在區(qū)間上， 在區(qū)間上， 在區(qū)間上， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（3）當(dāng)時(shí)，方程的二根為 ， （考慮當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根是否在定義域里） 所以在區(qū)間上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)

12、間為. 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.例題4變式2：已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間解：依題意，函數(shù)定義域?yàn)椋?令，即， （1）當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； （2）當(dāng)時(shí)，方程的二根為， = 1 * GB3 當(dāng)時(shí)， 所以在區(qū)間上， 在區(qū)間上， 在區(qū)間上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為. = 2 * GB3 當(dāng)時(shí)， 所以在區(qū)間上， 在區(qū)間上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為. = 3 * GB3 當(dāng)時(shí), 所以在區(qū)間上， 在區(qū)間上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

13、 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.2. 乾坤大挪移分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化劃歸.例題5. (2016全國(guó)1理21) 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.解：（）方法一：(分類討論)（i）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，如圖：我們希望能夠找到，并且有，任務(wù)就完成了！方法一：靜態(tài)取點(diǎn)，附近嘗試！ 這種情況下，不妨就近取值進(jìn)行嘗試，滿足題意！，完成.而，等等都依賴于，怎么辦？麻煩在于身上，我們有什么辦法把它“干掉”呢？ 方法二：動(dòng)態(tài)找點(diǎn)，適當(dāng)放縮！我們不妨向負(fù)方向走遠(yuǎn)一點(diǎn)，在內(nèi)找找看！

14、分析的結(jié)構(gòu)特征，因?yàn)?，所以?“干掉”！所以令，即，解得， 我們的，完成. 方法三：極限思想很重要！ ，此時(shí)一定有我們的，完成 此處應(yīng)該用左手猛拍右手吧?。╥ii）設(shè)，由得或若，則，故當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn) 若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，的取值范圍為方法二：參變量分離函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.所以，又因?yàn)椴皇欠匠痰母?，所以有，設(shè)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)求的取值范圍.因?yàn)?，這里的導(dǎo)數(shù)千萬(wàn)不能出錯(cuò)！不用睜大眼睛就能發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且恒有;當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；下面我們要結(jié)合函數(shù)增長(zhǎng)速度快慢，分析函

15、數(shù)的值域：(1)當(dāng)時(shí)， 當(dāng)(從的負(fù)方向趨近于)，；(2) 當(dāng)(從的負(fù)方向趨近于)，； 當(dāng)時(shí)，; 由上可知：當(dāng)時(shí)，的值域是；當(dāng)時(shí)，的值域是； 綜上所述，的取值范圍為（）設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.分析：對(duì)于雙變量問(wèn)題，利用已知條件統(tǒng)一變量這招往往非常有效！已知條件：(1)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)(由第1問(wèn)可知)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(由第1問(wèn)可知)(3)要證明，只需證明，所以只需證明，(4) 又因?yàn)?，是的兩個(gè)零點(diǎn)，所以有； 所以只需證明或者證明方法一：依題意，不妨設(shè)，要證明，只需證明， 又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減， 所以只需證明， 又因?yàn)?，是的兩個(gè)零點(diǎn)，所以有； 所以只需證明，(本質(zhì)上

16、是比較大?。」麛嘧鞑罘?！) 構(gòu)造差函數(shù)：， 所以， 當(dāng)時(shí)， 所以，在單調(diào)遞增，所以， 所以有，即成立， 所以得證.方法二：不妨設(shè)，由（）知，在上單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即由于，此處含有參數(shù)，很麻煩，怎么消去呢？而，所以設(shè)，則所以當(dāng)時(shí)，而，故當(dāng)時(shí)，從而，故事實(shí)上，這個(gè)題目所考核的內(nèi)容就是近幾年數(shù)學(xué)江湖紅人“極值點(diǎn)偏移問(wèn)題”，什么是“極值點(diǎn)偏移問(wèn)題”呢？設(shè)函數(shù)是圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且，由于函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不同，所以函數(shù)圖象不關(guān)于對(duì)稱，即，這種現(xiàn)象稱之為“極值點(diǎn)偏移問(wèn)題”.本題中的極值點(diǎn)是，要證，即證，也就是要證明極值點(diǎn)在兩個(gè)零點(diǎn)，的中點(diǎn)的右側(cè)偏移，而解決這種問(wèn)題常見(jiàn)

17、的方法有兩種：構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)與對(duì)數(shù)平均不等式！套路一：先構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)，其中為函數(shù)的極值點(diǎn)，然后求導(dǎo)確定的單調(diào)性，結(jié)合確定的符號(hào)，最后通過(guò)的單調(diào)性得到結(jié)論！證明：依題意，設(shè)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增且，所以恒成立.由(1)可知，所以，即 所以即成立， 結(jié)合單調(diào)性，證明結(jié)束！怎們樣！有沒(méi)有一種暢快淋漓的感覺(jué)！套路二：對(duì)數(shù)平均不等式 所謂對(duì)數(shù)平均不等式，是指對(duì)于，有. 證明：不妨設(shè)，則不等式變?yōu)?，即可證明. 下面我們來(lái)試試！ 首先，簡(jiǎn)化問(wèn)題，將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，所以原題等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.證明：由(1)知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，設(shè)，由(1)知0是函數(shù)的極

18、值點(diǎn)，又，則，由得，兩邊分別取對(duì)數(shù)得：兩式相減得根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式：因?yàn)椋?所以等價(jià)于 所以.利用對(duì)數(shù)平均不等式解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的步驟如下：(1) 根據(jù)建立等式；(2) 如果含有參數(shù)，則消參；如果等式中含有指數(shù)式，則兩邊取對(duì)數(shù)；(3) 通過(guò)恒等變形改變結(jié)構(gòu)，利用對(duì)數(shù)平均不等式得到需要的結(jié)論. 綜上不論是構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)還是對(duì)數(shù)平均不等式，共同點(diǎn)都是構(gòu)造函數(shù)把二元問(wèn)題化歸為一元問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想！我們?cè)倏?017年的考題：例題6(2017 全國(guó)1理21)已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，（）若，則，所以在單調(diào)遞減.（）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即.又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.對(duì)于第（2）問(wèn)我們不妨這樣思考： 由（1）知時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 若有兩個(gè)零點(diǎn)，需要具備滿足三個(gè)條件： (1) (2) 找到，使得；(3) 找到，使得.此題與2016全國(guó)1理21第(1)問(wèn)的方法是一致的！因?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又