金融市場學第五章債券課件

1、金融市場學第五章債券課件金融市場學第五章債券課件學習目標掌握股息 (或利息) 貼現(xiàn)法在債券價值分析中的運用掌握債券定價的五個基本原理了解債券屬性與債券價值分析了解久期、凸度及其在利率風險管理中的運用學習目標本章框架收入法在債券價值分析中的運用債券定價原理債券價值屬性久期、凸度與免疫本章框架 第一節(jié) 收入資本化法在債券價值分析中的運用收入資本化方法認為任何資產(chǎn)的內(nèi)在價值（intrinsic value）決定于投資者對持有該資產(chǎn)預期的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值根據(jù)資產(chǎn)的內(nèi)在價值與市場價格是否一致 ，可以判斷該資產(chǎn)是否被低估或高估，從而幫助投資者進行正確的投資決策決定債券的內(nèi)在價值成為債券價值分析的核心 第一

2、節(jié) 收入資本化法在債券價值分析中的運用收入資本化方法一、貼現(xiàn)債券（Pure discount bond） 貼現(xiàn)債券又稱零息票債券 (zero-coupon bond)，是一種以低于面值的貼現(xiàn)方式發(fā)行，不支付利息，到期按債券面值償還的債券。貼現(xiàn)債券的內(nèi)在價值公式 其中，V代表內(nèi)在價值，A代表面值，y是該債券的預期收益率，T是債券到期時間。一、貼現(xiàn)債券（Pure discount bond） 二、直接債券（Level-coupon bond） 直接債券又稱定息債券，或固定利息債券，按照票面金額計算利息，票面上可附有作為定期支付利息憑證的息票，也可不附息票。最普遍的債券形式直接債券的內(nèi)在價值公式 其

3、中，c是債券每期支付的利息。二、直接債券（Level-coupon bond） 三、統(tǒng)一公債（Consols） 統(tǒng)一公債是一種沒有到期日的特殊的定息債券。最典型的統(tǒng)一公債是英格蘭銀行在18世紀發(fā)行的英國統(tǒng)一公債 (English Consols)，英格蘭銀行保證對該公債的投資者永久期地支付固定的利息。優(yōu)先股實際上也是一種統(tǒng)一公債統(tǒng)一公債的內(nèi)在價值公式 三、統(tǒng)一公債（Consols） 四、判斷債券價格被低估還是或高估以直接債券為例方法一：比較兩類到期收益率的差異 預期收益率（appropriate yield-to-maturity ）：即公式（2）中的y承諾的到期收益率（promised yi

4、eld-to-maturity ）：即隱含在當前市場上債券價格中的到期收益率，用k表示如果yk，則該債券的價格被高估； 如果yk，則該債券的價格被低估； 當y= k時，債券的價格等于債券價值，市場也處于均衡狀態(tài)。四、判斷債券價格被低估還是或高估以直接債券為例方法二：比較債券的內(nèi)在價值與債券價格的差異 NPV ：債券的內(nèi)在價值 (V) 與債券價格 (P) 兩者的差額，即 當凈現(xiàn)值大于零時，該債券被低估，買入信號。當凈現(xiàn)值小于零時，該債券被高估，賣出信號。債券的預期收益率近似等于債券承諾的到期收益率時，債券的價格才處于一個比較合理的水平。方法二：比較債券的內(nèi)在價值與債券價格的差異 第二節(jié) 債券定價

5、的五個原理馬爾基爾 (Malkiel, 1962) ：最早系統(tǒng)地提出了債券定價的5個原理 。至今，這5個原理仍然被視為債券定價理論的經(jīng)典 定理一： 債券的價格與債券的收益率成反比例關系。 當債券價格上升時，債券的收益率下降；反之，當債券價格下降時，債券的收益率上升 （見120頁例5-6）第二節(jié) 債券定價的五個原理馬爾基爾 (Malkiel, 1例1：某5年期的債券A，面值為1000美元，每年支付利息80美元，即息票率為8%。如果現(xiàn)在的市場價格等于面值，意味著它的收益率等于息票率8%。如果市場價格上升到1100美元，它的收益率下降為5.76%，低于息票率；反之，當市場價格下降到900美元時，它的

6、收益率上升到 10.98%，高于息票率。 例1：某5年期的債券A，面值為1000美元，每年支付利息80第二節(jié) 債券定價的五個原理定理二： 當市場預期收益率變動時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度成正比關系。換言之，到期時間越長，價格波動幅度越大；反之，到期時間越短，價格波動幅度越小。 定理三： 隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，并且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，并且是以遞減的速度增加。 定理二和定理三不僅適用于不同債券之間的價格波動的比較 ，而且可以解釋同一債券的到期時間長短與其價格波動之間的關系 (見例5-1)。 第二節(jié) 債券定價的五個原理定理

7、二：例-2某5年期的債券B，面值為1000美元，每年支付利息60美元，即息票率為6%。如果它的發(fā)行價格低于面值,為833.31美元,意味著收益率為9%,高于息票率；如果一年后，該債券的收益率維持在9%的水平不變,它的市場價格將為902.81美元。這種變動說明了在維持收益率不變的條件下，隨著債券期限的臨近，債券價格的波動幅度從116.69(1000-883.31)美元減少到97.19(1000-902.81)美元，兩者的差額為19.5美元，占面值的1.95%。具體計算公式如下 例-2某5年期的債券B，面值為1000美元，每年支付利息60例-3：沿用例7中的債券。假定兩年后，它的收益率仍然為9%，

8、當時它的市場價格將為924.06美元，該債券的價格波動幅度為75.94(1000-924.06)美元。與例二中的97.19美元相比，兩者的差額為21.25美元,占面值的比例為2.125% 。所以，第一與第二年的市場價格的波動幅度（1.95%）小于第二與第三年的市場價格的波動幅度（2.125%）。第二年后的市場價格計算公式為： 例-3：沿用例7中的債券。假定兩年后，它的收益率仍然為9%，第二節(jié) 債券定價的五個原理定理四： 對于期限既定的債券，由收益率下降導致的債券價格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升導致的債券價格下降的幅度。換言之，對于同等幅度的收益率變動，收益率下降給投資者帶來的利潤大于收益

9、率上升給投資者帶來的損失定理五： 對于給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度成反比關系。換言之，息票率越高，債券價格的波動幅度越小。定理五不適用于一年期的債券和以統(tǒng)一公債為代表的無限期債券。第二節(jié) 債券定價的五個原理定理四：例-4：某5年期的債券C，面值為1000美元，息票率為7%。假定發(fā)行價格等于面值，那么它的收益率等于息票率7% 。 如果收益率變動幅度定為1個百分點，當收益率上升到8%時，該債券的價格將下降到960.07美元，價格波動幅度為39.93美元(1000-960.07)；反之，當收益率下降1個百分點，降到6%，該債券的價格將上升到1042.12美元,價格波動幅度為

10、42.12美元。很明顯，同樣1個百分點的收益率變動，收益率下降導致的債券價格上升幅度（42.12美元）大于收益率上升導致的債券價格下降幅度（39.93美元）。具體計算如下：例-4：某5年期的債券C，面值為1000美元，息票率為7%。第三節(jié) 債券價值屬性債券的價值分析與債券的以下8方面的屬性密切相關 到期時間 (期限)債券的息票率債券的可贖回條款稅收待遇市場的流通性違約風險可轉換性可延期性 第三節(jié) 債券價值屬性債券的價值分析與債券的以下8方面的屬性一、到期時間 (Time to Maturity)重點分析債券的市場價格時間軌跡 當債券息票率等于預期收益率，投資者資金的時間價值通過利息收入得到補償

11、；當息票率低于預期收益率時，利息支付不足以補償資金的時間價值，投資者還需從債券價格的升值中獲得資本收益；當息票率高于預期收益率時，利息支付超過了資金的時間價值，投資者將從債券價格的貶值中遭受資本損失，抵消了較高的利息收入，投資者仍然獲得相當于預期收益率的收益率 無論是溢價發(fā)行的債券還是折價發(fā)行的債券，若債券的內(nèi)在到期收益率不變，則隨著債券到期日的臨近，債券的市場價格將逐漸趨向于債券的票面金額(對比表5-1和表5-2)。一、到期時間 (Time to Maturity)表5-1:20年期、息票率為9%、內(nèi)在到期收益率為12%的債券的價格變化剩余到期年數(shù)以6%貼現(xiàn)的45美元息票支付的現(xiàn)值 (美元)

12、 以6%貼現(xiàn)的票面價值的現(xiàn)值 (美元) 債券價格 (美元) 20677.0897.22774.3018657.94122.74780.6816633.78154.96788.7414603.28195.63798.9112564.77256.98811.7510516.15311.80827.958454.77393.65848.426377.27496.97874.244279.44627.41906.852155.93792.09948.02182.50890.00972.5200.001000.001000.00表5-1:20年期、息票率為9%、內(nèi)在到期收益率為12%的債表5-2: 20

13、年期、息票率為9%、內(nèi)在到期收益率為7%的債券的價格變化剩余到期年數(shù)以3.5%貼現(xiàn)的45美元息票支付的現(xiàn)值 (美元)以3.5%貼現(xiàn)的票面價值的現(xiàn)值 (美元)債券價格 (美元)20960.98252.571213.5518913.07289.831202.9016855.10332.591190.6914795.02381.661176.6712722.63437.961160.5910639.56502.571142.138544.24576.711120.956434.85611.781096.634309.33759.411068.742165.29871.441036.73185.499

14、33.511019.0000.001000.001000.00表5-2: 20年期、息票率為9%、內(nèi)在到期收益率為7%的債折 (溢) 價債券的價格變動折 (溢) 價債券的價格變動零息票債券的價格變動零息票債券的價格變動有其特殊性。在到期日，債券價格等于面值，到期日之前，由于資金的時間價值，債券價格低于面值，并且隨著到期日的臨近而趨近于面值。如果利率恒定，則價格以等于利率值的速度上升。零息票債券的價格變動二、息票率 (Coupon Rate)息票率決定了未來現(xiàn)金流的大小。在其他屬性不變的條件下，債券的息票率越低，債券價格隨預期收益率波動的幅度越大。 二、息票率 (Coupon Rate)例5-5

15、假設：5種債券，期限均為20年，面值為100元 ，息票率分別為4%、5%、6%、7% 和 8% ，預期收益率都等于7% ，可以利用式 (2) 分別計算出各自的初始的內(nèi)在價值。如果預期收益率發(fā)生了變化 (上升到8%和下降到5%)，相應地可以計算出這5種債券的新的內(nèi)在價值。具體結果見表5-3。 從表5-3中可以發(fā)現(xiàn)面對同樣的預期收益率變動債券的息票率越低，債券價格的波動幅度越大。例5-5表5-3：內(nèi)在價值 (價格) 變化與息票率之間的關系息票率預期收益率內(nèi)在價值變化率 (7% 到8%) 內(nèi)在價值變化率 (7% 到 5%) 7% 8% 5% 4% 68 60 87 -11.3% +28.7% 5%

16、78 70 100 -10.5% +27.1% 6% 89 80 112 -10.0% +25.8% 7%100 90 125 - 9.8% +25.1% 8%110 100 137 - 9.5% +24.4%表5-3：內(nèi)在價值 (價格) 變化與息票率之間的關系息票率預三、可贖回條款 (Call Provision)可贖回條款，即在一定時間內(nèi)發(fā)行人有權贖回債券。 贖回價格 (Call price) ：初始贖回價格通常設定為債券面值加上年利息，并且隨著到期時間的減少而下降，逐漸趨近于面值。贖回價格的存在制約了債券市場價格的上升空間，并且增加了投資者的交易成本，所以，降低了投資者的投資收益率。贖回

17、保護期，即在保護期內(nèi)，發(fā)行人不得行使贖回權，一般是發(fā)行后的5至10年 。三、可贖回條款 (Call Provision)可贖回條款對債券收益率的影響可贖回條款的存在，降低了該類債券的內(nèi)在價值，并且降低了投資者的實際收益率。息票率越高，發(fā)行人行使贖回權的概率越大，即投資債券的實際收益率與債券承諾的收益率之間的差額越大。為彌補被贖回的風險，這種債券發(fā)行時通常有較高的息票率和較高的承諾到期收益率。在這種情況下，投資者關注贖回收益率 (yield to call, YTC) ，而不是到期收益率 (yield to maturity)。 可贖回條款對債券收益率的影響例子：30年期的債券以面值1000美元

18、發(fā)行，息票率為8%，比較隨利率的變化，可贖回債券和不可贖回債券之間的價格差異的變化。見圖5-3例子：30年期的債券以面值1000美元發(fā)行，息票率為8%，比在圖5-3中，如果債券不可贖回，其價格隨市場利率的變動如曲線AA所示。如果是可贖回債券，贖回價格是1100美元，其價格變動如曲線BB所示。隨著市場利率下降，債券未來支付的現(xiàn)金流的現(xiàn)值增加，當這一現(xiàn)值大于贖回價格時，發(fā)行者就會贖回債券，給投資者造成損失。在圖中，當利率較高時，被贖回的可能性極小，AA 與BB相交；利率下降時，AA 與BB逐漸分離，它們之間的差異反映了公司實行可贖回權的價值。當利率很低時，債券被贖回，債券價格變成贖回價格1100美

19、元。在圖5-3中，如果債券不可贖回，其價格隨市場利率的變動如曲線贖回收益率定義： 贖回收益率也稱為首次贖回收益率 (yield to first call)，它假設公司一旦有權利就執(zhí)行可贖回條款。但債券的溢價折價發(fā)行也會影響公司的贖回決策。如果債券折價較多，價格遠低于贖回價格，即使市場利率下降也不會高于贖回價格，公司就不會贖回債券，也即折價債券提供了隱性贖回保護；反之，溢價債券由于發(fā)行價較高，極易被收回 贖回收益率VS.到期收益率？例5-6贖回收益率例5-6：30年期的可贖回債券，面值為1000美元，發(fā)行價為1150美元，息票率8% (以半年計息)，贖回保護期為10年，贖回價格1100美元 。

20、贖回收益率 (YTC) ：求得：YTC=6.64%期收益率 (YTM) ：求得：YTM=6.82%例5-6：30年期的可贖回債券，面值為1000美元，發(fā)行價為債券的溢價折價發(fā)行對影響公司的贖回決策的影響：折價發(fā)行：如果債券折價較多，價格遠低于贖回價格，即使市場利率下降也不會高于贖回價格，公司就不會贖回債券，也即折價債券提供了隱性贖回保護。對折價債券主要關注到期收益率。 溢價發(fā)行： 溢價債券由于發(fā)行價較高，極易被贖回。所以，對溢價債券投資者主要關注贖回收益率。債券的溢價折價發(fā)行對影響公司的贖回決策的影響：四、稅收待遇 (Tax Treatment)不同種類的債券可能享受不同的稅收待遇 同種債券在

21、不同的國家也可能享受不同的稅收待遇 債券的稅收待遇的關鍵，在于債券的利息收入是否需要納稅 稅收待遇是影響債券的市場價格和收益率的一個重要因素 四、稅收待遇 (Tax Treatment)五、流通性 (Liquidity)定義：流通性，或者流動性，是指債券投資者將手中的債券變現(xiàn)的能力。如果變現(xiàn)的速度很快，并且沒有遭受變現(xiàn)所可能帶來的損失，那么這種債券的流通性就比較高；反之，如果變現(xiàn)速度很慢，或者為了迅速變現(xiàn)必須為此承擔額外的損失，那么，這些債券的流動性就比較慢 通常用債券的買賣差價的大小反映債券的流動性大小。買賣差價較小的債券流動性比較高；反之，流動性較低。 在其他條件不變的情況下，債券的流動性

22、與債券的名義到期收益率之間呈反比例關系 。債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正比例關系。五、流通性 (Liquidity)六、違約風險 (Default Risk)定義：債券的違約風險是指債券發(fā)行人未履行契約規(guī)定支付的債券本金和利息，給債券投資者帶來損失的可能性。 債券評級是反映債券違約風險的重要指標 ：標準普爾公司 (Standard & Poors, S&P) 和穆迪投資者服務公司 (Moodys Investors Services) 。債券評級分為兩大類：投資級（BBB 或Baa及其以上）或投機級 （BB或Ba及其以下）。由于違約風險的存在 ，投資者更關注的是期望的到期收益率 (expec

23、ted yield to maturity) ，而非債券承諾的到期收益率 。六、違約風險 (Default Risk)例如，公司20年前發(fā)行的債券，面值為1000美元，息票率為9%（以半年計息），還有10年到期。公司陷入了財務困境，投資者預期公司可保證利息支付，但到期公司將被迫破產(chǎn)，投資者只能得到面值的70%。則承諾的到期收益率為13.7%: 期望的到期收益率為11.6%:如果公司保持了清償力，有風險債券就會獲得比無風險債券更高的實際收益率；如果公司破產(chǎn)，則前者獲得的收益率可能會低于后者。 例如，公司20年前發(fā)行的債券，面值為1000美元，息票率為9債券評級依據(jù)的主要財務比率 固定成本倍數(shù) (

24、Coverage ratios) ：即公司收益與固定成本之比比率較低，或者比率下降，反映公司可能面臨資金流動的困難 。杠桿比率 (Leverage ratio)：即資產(chǎn)負債比率 (Debt-to-equity ratio)過高，意味著公司負債過多，可能有償債困難 。流動性比率 (Liquidity ratios) ：流動比率和速動比率反映公司用可調(diào)動資金償還到期債務的能力 。盈利性比率 (Profitability ratios)：常見的是資產(chǎn)收益率 (return on assets, ROA)反映公司的整體財務狀況 ?，F(xiàn)金比率 (Cash flow-to-debt ratio)，即公司現(xiàn)金

25、與負債之比。 債券評級依據(jù)的主要財務比率 固定成本倍數(shù) (Coverage假定我們收集了一組樣本公司的財務數(shù)據(jù)，如ROE(return on equity)和Coverage ratio，并對其破產(chǎn)狀況作出觀測記錄。在圖10-4中，X代表最終破產(chǎn)的公司，O 代表保持了償付能力的公司。結果表明O 公司的兩個比率都相對更高。 假定我們收集了一組樣本公司的財務數(shù)據(jù)，如ROE(return奧爾特曼 (Altman, 1968) 的分離分析 (discriminant analysis) 用于預測公司違約風險 。奧爾特曼直線方程 ： Z=3.3息稅前收益/總資產(chǎn)+99.9銷售額/總資 產(chǎn)+0.6股票市場

26、價值/債務賬面價值+1.4 保留盈余/總資產(chǎn)+1.2營運資本/總資產(chǎn)奧爾特曼 (Altman, 1968) 的分離分析 (dis七、可轉換性 (Convertibility)轉換率 (conversion ratio) ：每單位債券可換得的股票股數(shù) 市場轉換價值 (market conversion value)：可換得的股票當前價值 轉換損益 (conversion premium) ：債券價格與市場轉換價值的差額 可轉換債券息票率和承諾的到期收益率通常較低。但是，如果從轉換中獲利，則持有者的實際收益率會大于承諾的收益率。七、可轉換性 (Convertibility)八、可延期性 (Exte

27、ndability)可延期債券是一種較新的債券形式。與可贖回債券相比，它給予持有者而不是發(fā)行者一種終止或繼續(xù)擁有債券的權利。如果市場利率低于息票率，投資者將繼續(xù)擁有債券；反之，如果市場利率上升，超過了息票率，投資者將放棄這種債券，收回資金，投資于其他收益率更高的資產(chǎn)。這一規(guī)定有利于投資者，所以可延期債券的息票率和承諾的到期收益率較低。八、可延期性 (Extendability)小結：債券屬性與債券收益率 債券屬性與債券收益率的關系1.期限當預期收益率 (市場利率) 調(diào)整時，期限越長，債券的價格波動幅度越大；但是，當期限延長時，單位期限的債券價格的波動幅度遞減。2.息票率當預期收益率 (市場利率

28、) 調(diào)整時，息票率越低，債券的價格波動幅度越大。3.可贖回條款當債券被贖回時，投資收益率降低。所以，作為補償，易被贖回的債券的名義收益率比較高，不易被贖回的債券的名義收益率比較低。4.稅收待遇享受稅收優(yōu)惠待遇的債券的收益率比較低，無稅收優(yōu)惠待遇的債券的收益率比較高。5.流動性流動性高的債券的收益率比較低，流動性低的債券的收益率比較高。6.違約風險違約風險高的債券的收益率比較高，違約風險低的債券的收益率比較低。7.可轉換性可轉換債券的收益率比較低，不可轉換債券的收益率比較高。8.可延期性可延期債券的收益率比較低，不可延期的債券收益率比較高。小結：債券屬性與債券收益率 債券屬性與債券收益率的關系1

29、.期第四節(jié) 久期、凸度與免疫一、久期（一）馬考勒久期： 馬考勒 (F.R.Macaulay, 1938) 提出，使用加權平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間。 計算公式 ：D是馬考勒久期，P是債券當前的市場價格，ct是債券未來第t次支付的現(xiàn)金流，T是債券在存續(xù)期內(nèi)支付現(xiàn)金流的次數(shù)，t是第t次現(xiàn)金流支付的時間，y是債券的到期收益率，PV(ct) 代表債券第t期現(xiàn)金流用債券到期收益率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。 決定久期的大小三個因素： 各期現(xiàn)金流、到期收益率及其到期時間 第四節(jié) 久期、凸度與免疫一、久期（二）、債券組合的馬考勒久期計算公式： 其中，Dp表示債券組合的馬考勒久期，Wi表示債券i的市場價值占該債券組合

30、市場價值的比重，Di表示債券i的馬考勒久期，k表示債券組合中債券的個數(shù)。 （二）、債券組合的馬考勒久期（三）馬考勒久期定理定理一：只有貼現(xiàn)債券的馬考勒久期等于它們的到期時間。其中，cT是第T期償還的本金，PV(cT)是相應的現(xiàn)值 定理二：直接債券的馬考勒久期小于或等于它們的到期時間。只有僅剩最后一期就要期滿的直接債券的馬考勒久期等于它們的到期時間，并等于1 。 （三）馬考勒久期定理 定理三：統(tǒng)一公債的馬考勒久期等于 ，其中y是計算現(xiàn)值采用的貼現(xiàn)率。 定理四：在到期時間相同的條件下，息票率越高，久期越短。定理五：在息票率不變的條件下，到期時間越長，久期一般也越長。定理六：在其他條件不變的情況下，

31、債券的到期收益率越低，久期越長。定理三：統(tǒng)一公債的馬考勒久期等于 ，其中y是（四）馬考勒久期與債券價格的關系假設現(xiàn)在是0時刻，假設連續(xù)復利，債券持有者在ti時刻收到的支付為ci (1in)，則債券價格P和連續(xù)復利到期收益率 的關系為： 債券價格的變動比例等于馬考勒久期乘上到期收益率微小變動量的相反數(shù) （四）馬考勒久期與債券價格的關系債券價格的變動比例等于馬考勒（五）修正久期當收益率采用一年計一次復利的形式時，人們常用修正的久期 (Modified Duration，用D*表示) 來代替馬考勒久期。 修正久期的定義：修正的久期公式：（五）修正久期二、凸度(Convexity)定義： 凸度 (Co

32、nvexity) 是指債券價格變動率與收益率變動關系曲線的曲度。如果說馬考勒久期等于債券價格對收益率一階導數(shù)的絕對值除以債券價格，我們可以把債券的凸度 (C) 類似地定義為債券價格對收益率二階導數(shù)除以價格。即：二、凸度(Convexity)久期的缺陷現(xiàn)實生活中，債券價格變動率和收益率變動之間的關系并不是線性關系，而是非線性關系 。如果只用久期來估計收益率變動與價格變動率之間的關系，那么從公式 (5-18) 可以看出，收益率上升或下跌一個固定的幅度時，價格下跌或上升的幅度是一樣的。顯然這與事實不符. (見圖5-3)久期的缺陷圖5-3. 價格敏感度與凸度的關系 用久期近似計算的收益率變動與價格變動

33、率的關系 不同凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的真實關系 圖5-3. 價格敏感度與凸度的關系 用久期近似計算的收益率變圖5-3說明的問題：當收益率下降時，價格的實際上升率高于用久期計算出來的近似值，而且凸度越大，實際上升率越高；當收益率上升時，價格的實際下跌比率卻小于用久期計算出來的近似值，且凸度越大，價格的實際下跌比率越小。 這說明：(1) 當收益率變動幅度較大時，用久期近似計算的價格變動率就不準確，需要考慮凸度調(diào)整；(2) 在其他條件相同時，人們應該偏好凸度大的債券。圖5-3說明的問題：考慮凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的關系考慮了凸度的收益率變動和價格變動關系：當收益率變動幅度不太大時，收益率變動幅度與價格變動率之間的關系就可以近似表示為 ：考慮凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的關系三、免疫（一）久期免疫：免疫技術：由雷丁頓 (Readington, 1952) 首先提出，投資者或金融機構用來保護他們的全部金融資產(chǎn)免受利率波動影響的策略。兩種作用相互抵消的利率風險：價格風險和再投資風險，久期免疫：如果資產(chǎn)組合的