非線性方程求根方法

1、非線性方程求根方法第1頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四預備知識1. Taylor公式拉格朗日余項：第2頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四2. 拉格朗日中值定理預備知識若f(x)在a, b上連續(xù)，且f(x)在(a, b)內可導，則存在xa, b，使：或第3頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四設函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，在(a, b)內可導，則f(x)在a, b上單調遞增(遞減)的充要條件是3. 函數(shù)的單調性預備知識第4頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四方程的一般形式：f(x)=0 ，滿足方程的x值通常

2、叫做方程的根或解，也叫函數(shù)f(x)的零點。 實際問題 代數(shù)方程5次以上的方程無求根公式 超越方程：包含超越函數(shù)，如 sinx, lnx, ex近似求解第七章 非線性方程求根方法第5頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四 求根的隔根區(qū)間 ，即確定根所在區(qū)間 根的精確化。粗糙的近似值-滿足精度的近似值 方程求根步驟：第七章 非線性方程求根方法第6頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四求根的隔根區(qū)間設函數(shù)f(x)在a, b內連續(xù)，嚴格單調，且有f(a)f(b)0，則在a, b內方程f(x)=0有且僅有一個實根。 函數(shù)y=f(x)與橫軸(y=0)交點區(qū)間a, b內選

3、擇x1, x2, x3, x4 ，根據(jù)f(x)在這些 點上值的符號確定 第七章 非線性方程求根方法第7頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四例1：考察方程 注意到 f (0)0，知f (x)至少有一個正的實根。 設從x = 0出發(fā)，取h = 0.5為步長向右進行根的掃描，列表記錄各個結點上函數(shù)值的符號。 x00.51.01.5f (x) 的符號第七章 非線性方程求根方法第8頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四7.1 方程求根的二分法二分法也稱對分區(qū)間法、對分法等，是最簡單的求根方法，屬于區(qū)間法求根類型。 設函數(shù)f(x)在a, b內連續(xù)，嚴格單調，且有f(a

4、)f(b)0，則在a, b內方程f(x)=0有且僅有一個實根。 第9頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四用二分法求f(x) =0的根：先將a,b等分為兩個小區(qū)間，用介值定理判斷根屬于哪個小區(qū)間，保留有根區(qū)間、舍去無根區(qū)間；把有根區(qū)間再次一分為二，進一步判斷根屬于哪個更小的區(qū)間，如此周而復始，不斷縮小隔根區(qū)間的長度.實際中只需求出滿足精度要求的根的近似值、進行有限步計算即可。第10頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四第11頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四誤差估計（定理7.2）對于所給定的精度 ，則可得7.1 方程求根的二分法第12頁

5、，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四例： 求方程 在區(qū)間1, 1.5內的實根, 要求計算的近似根準確到小數(shù)點后第2位.7.1 方程求根的二分法用二分法，a = 1, b = 1.5， 且f (a) 0。取區(qū)間a, b的中點x0 = 1.25將區(qū)間二等分，由于f (x0) 0， 即f (x0)與f (a)同號，故所求的根必在x0的右側，這里應令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到新的有根區(qū)間（a1, b1）。對區(qū)間（a1, b1）再用中點x1 = 1.375二分，并進行根的隔離，重復步驟2，直到所求根滿足精度。 第13頁，共35頁，2022年，5月20

6、日，3點40分，星期四kakbkxkf (xk)的符號011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-7.1 方程求根的二分法預先估計一下二分的次數(shù)：第14頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四基本思想：逐次逼近粗糙的初值校正后的近似值迭代公式END滿足精度不滿足精度7.2 簡單迭代法第15頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四 迭代公式7.2 簡單迭代法 迭代函數(shù)選取

7、方程的某一近似根可得序列 xk: x0, x1, x2, x3, 且當k時,序列xk有極限x*,則x*是方程f(x)=0的根如果g(x)是連續(xù)函數(shù)迭代序列xk收斂，則迭代法收斂；反之，則發(fā)散第16頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四用迭代法求下列方程在區(qū)間2, 4的根。取x0 =4，則收斂7.2 簡單迭代法第17頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四取x0 =4，則發(fā)散7.2 簡單迭代法迭代法收斂的充分條件以及迭代序列的誤差估計由定理7.3表述(P98)：第18頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四若迭代函數(shù) g(x) 滿足兩個條件 對任

8、意 xa, b，都有ag(x) b； 區(qū)間a, b上g(x)存在，且|g(x)| L 1; 則有如下結論：對任意x0 a, b，迭代格式xk+1 = g(xk)產生的迭代序列都收斂于方程x=g(x)在區(qū)間a, b上的唯一實根 x*； 定理2.1證明過程(P100-101)如下:第19頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四第20頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四第21頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四區(qū)間2, 4第22頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四幾何意義7.2 簡單迭代法第23頁，共35頁，2022年，5月

9、20日，3點40分，星期四y2=g(x)y2=g(x)第24頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四7.3 牛頓迭代法和割線法牛頓迭代公式第25頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四局部收斂性設方程 x = g(x)有根x，且在 x* 的某個領域 S = x | x x* - d, x* + d內存在一階連續(xù)導數(shù)，則 當|g(x*) |1時，迭代格式xk+1 = g(xk)發(fā)散 7.3 牛頓迭代法和割線法第26頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四牛頓迭代法的局部收斂性7.3 牛頓迭代法和割線法第27頁，共35頁，2022年，5月20日，3點

10、40分，星期四例 用牛頓迭代法求 （c 0）f (x) = 2x，迭代公式為7.3 牛頓迭代法和割線法設 f(x) = x2 - c，（x 0）則 就是f (x) =0的正根。 第28頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四例：用以上公式求7.3 牛頓迭代法和割線法2.000000 2.5000002.7500002.6250002.6875002.6562502.6406252.6484382.6445312.6464842.6455082.6459962.6457522.6456302.6456912.6457212.6457372.6457442.6457482.6457

11、502.6457512.6457511.0000004.0000002.8750002.6548912.6457672.6457512.645751牛頓迭代法二分法3.0000002.6666672.6458332.6457512.645751第29頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四幾何意義第30頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四x2x0 x1x*牛頓迭代法x3y=f(x)第31頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四7.3 牛頓迭代法和割線法第32頁，共35頁，2022年，5月20日，3點40分，星期四例：用割線法求方程x3-x-1=0在x = 1.5附近的根，使絕對誤差精確到10-4。 7.3 牛頓迭代法和割線法取初值x0 = 1.5，x1 = 1.4，得迭代格式 x2 = 1.33522x3 = 1.32541x4 = 1.32472x5 =