專題13：擁抱型解三角形（老師版）

1、專題13：擁抱型解三角形-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練一、解答題1如圖，在某市景區(qū)主干道路旁矗立著一塊景區(qū)指示牌，小明駕駛汽車由東向西行駛，到達(dá)點(diǎn)C處，測得景區(qū)指示牌的上沿M處仰角為30；前進(jìn)8米后到達(dá)B處，測得景區(qū)指示牌的下沿N處仰角為45，再前進(jìn)4米后到達(dá)景區(qū)指示牌底部A處，求指示牌的高M(jìn)N長（結(jié)果精確到0.1米，=1.414，=1.732）【答案】MN2.9米【解析】通過兩次解直角三角形計(jì)算出AN和AM，再根據(jù)AM-AN即可求出MN的長【詳解】解：汽車由東西行駛到C處，測得景區(qū)指示牌的上沿M處仰角為30，MCA=30，前進(jìn)8米后到達(dá)B處，測得景區(qū)指示牌的下沿N處仰角為45，BC=8

2、m，前進(jìn)4米后到達(dá)景區(qū)指示牌底部A處，AB=AN=4mAC=AB+BC=4+8=12mACM=30 =1.732（米）答：指示牌的高M(jìn)N長約為2.9米【點(diǎn)評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形2山西大學(xué)主校區(qū)內(nèi)有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日是山西大學(xué)的標(biāo)志性建筑之一，目前已被列入保護(hù)文物綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)們開展了測量這一毛主席塑像高度的活動(dòng)他們在該塑像底部所在的平地上，選取一個(gè)測點(diǎn)，測量了塑像頂端的仰角，調(diào)高測傾器后二次測量了塑像頂端的仰角為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)及測傾器高度時(shí)，都分別測量了兩次并取

3、它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表課題測量毛主席塑像的高度組長：XXX組員：XXX，XXX，XXX測傾器，皮尺等成員測量工具測量示意圖說明：線段的長表示塑像從最高點(diǎn)到地面之間的距離，為測點(diǎn)，線段，表示測傾器（點(diǎn)在上），點(diǎn)，都在同一豎直平面內(nèi)，且，；、表示兩次測量的仰角，點(diǎn)，在上測量數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值的度數(shù)的度數(shù)測傾器的高測傾器的高任務(wù)：（1）根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出毛主席塑像的高度；（參考數(shù)據(jù)：，）（2）該綜合與實(shí)踐小組在制定方案時(shí)，討論“用已知高度的側(cè)傾器測出仰角，再測出的長來計(jì)算塑像高度”的方案，但未被采納，你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫出一條即可

4、）【答案】（1）毛主席塑像的高度為；（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃?，其底部不可直接到達(dá)，不能準(zhǔn)確測出【解析】（1）根據(jù)題意ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，可推得四邊形BCEG與四邊形DEGF都是矩形，其中BG=CE=1.70m，EG=DF，在AEG和ADF分別用正切函數(shù)寫出對應(yīng)邊的式子，即可求得AG的長度，則AB的長度可求；（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃?，其底部不可直接到達(dá)，不能準(zhǔn)確測出BC【詳解】解：（1）由題意，得ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，四邊形BCEG與四邊形DEGF都是矩形，BG=CE=1.70m，EG=DF，在AEG中，AEG=33.5，AGE=90， 且，即，在A

5、DF中，ADF=35.0，AFD=90，即，即，解得：AG=10.56m，AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m，答：毛主席塑像的高度為12.26米（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃?，其底部不可直接到達(dá)，不能準(zhǔn)確測出BC【點(diǎn)評】本題主要考察了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出兩個(gè)直角三角形，并運(yùn)用正切函數(shù)寫出對應(yīng)邊的比例式子3某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，到市龍?jiān)春珗@測量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測得塑像頂部D的仰角為45，塑像底部E的仰角為30.1，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為59.1求塑像“夸父追日”DE高度（結(jié)果精確到0.1m參考數(shù)

6、據(jù)：sin30.10.50，cos30.10.87，tan30.10.58，sin59.10.86，cos59.10.51，tan59.11.67）【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度約為10.5米【解析】設(shè)，則，解RtBCD，求出x的值，再在RtACE中，求出CE的值，從而可計(jì)算得出DE的值【詳解】解：在RtACD中，則.設(shè)，則在RtBCD中，.解得：.在RtACE中，.答：塑像“夸父追日”DE 的高度約為10.5米.【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度不大，但容易在計(jì)算上面出錯(cuò)4如圖，一座商場大樓的頂部豎直立有一個(gè)矩形廣告牌，小紅同學(xué)在地面上選擇了在條直線上的三點(diǎn)為樓底)

7、，她在處測得廣告牌頂端的仰角為，在處測得商場大樓樓頂?shù)难鼋菫槊?已知廣告牌的高度米，求這座商場大樓的高度(，小紅的身高不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù))【答案】15米.【解析】因?yàn)樵贓處的仰角是45，所以可得AE=AB，設(shè)AB為x米，再結(jié)合D處的仰角60以及題中的條件，進(jìn)而求解直角三角形即可【詳解】設(shè)AB為x米，在處測得商場大樓樓頂?shù)难鼋菫锽EA=45，AE=AB=x，AD=AE-DE=x-5，AC=BC+AB=2.35+x，在處測得廣告牌頂端的仰角為，CDA=60，AC=ADtanCDA= AD，x+2.35= （x-5），（-1）x=2.35+5 ，解得，答：商場大樓的高度AB約為15米【點(diǎn)評】本題主要

8、考查了生活中仰角、俯角的問題，解題的關(guān)鍵是利用解直角三角形求三角形的邊長5某數(shù)學(xué)興趣小組去測量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為米的發(fā)射塔，如圖所示，在山腳平地上的處測得塔底的仰角為，向小山前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)處，測得塔頂?shù)难鼋菫?，求小山的高度【答案】小山的高度為米【解析】設(shè)塔高BC為x米，根據(jù)正切的定義列出關(guān)于x的關(guān)系式，求出x,進(jìn)而得出小山的高【詳解】解：設(shè)為米，則米， ，而米，在中，則米，米，在中，解得答：小山的高度為米【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的概念、正確理解仰角和俯角的概念是解題的關(guān)鍵6在“雙創(chuàng)”活動(dòng)中，某校將雙創(chuàng)宣傳牌（AB）放置在教學(xué)樓頂部（如

9、圖所示）數(shù)學(xué)興趣小組成員小明在操場上的點(diǎn)D處，用高度為1 m的測角儀CD，從點(diǎn)C測得宣傳牌的底部B的仰角為，然后向教學(xué)樓正方向走了4 m到達(dá)點(diǎn)F處，又從點(diǎn)E測得宣傳牌頂部A的仰角為已知教學(xué)樓高，且點(diǎn)A、B、M在同一直線上，求宣傳牌AB的高度（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】宣傳牌AB的高度為2米【解析】過點(diǎn)C作于G，設(shè)AB為x，根據(jù)可得，然后在中解直角三角形即可.【詳解】解：過點(diǎn)C作于G，則，設(shè)AB為x，CG=4+18+x=22+x，在中，則，即解得：，答：宣傳牌AB的高度為2米【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵7如圖，某公園的人工湖邊上有一座假山

10、，假山頂上有一座高為5米的建筑物CD，數(shù)學(xué)小組為了測量假山DE的高度，在公園找了一水平地面，在A處測得建筑物底部D點(diǎn)（即假山頂）的仰角為30，沿水平方向前進(jìn)25米到達(dá)B點(diǎn)，測得建筑物頂部C點(diǎn)的仰角為45，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，求假山DE的高度（結(jié)果保留根號）【答案】假山DE的高度為（15+15）米【解析】可先設(shè)假山DE的高度為x，得到CE=DE+CD=x+5，再根據(jù)直角三角形得到AE=AB+BE=30+x，然后直接運(yùn)用三角函數(shù)解答即可【詳解】解：設(shè)假山DE的高度為x，則CE=DE+CD=x+5，在RtBCE中，CBE=45，BE=CE=x+5，AE=AB+BE=30+x，在RtAD

11、E中，DAE=30，DE=x，AE=x，解答：x=15+15，答：假山DE的高度為（15+15）米【點(diǎn)評】此題考查直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是設(shè)假山DE的高度為x，再進(jìn)行求解8某公園的人工湖邊上有一座山，山頂上有一直豎的建筑物，高為10米.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)為了測量山的高度，在公園找了一水平地面，在處測得建筑物點(diǎn)（即山頂）的仰角為，沿水平方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)，測得建筑物頂部點(diǎn)的仰角為，求山的高度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】假山的高度DE約為70米【解析】過點(diǎn)D作水平線的垂線，利用直角三角形中的三角函數(shù)解答即可【詳解】解：過點(diǎn)D作水平線的垂線，即（DEAB），垂

12、足為E，則C、D、E在一條直線上，設(shè)DE的長為x米，在RtBCE中，CBE45，CEBECD+DE（10+x）米，在RtADE中，A35，AEAB+BE20+10+x30+x，tanA，tan35，解得：x70，答：假山的高度DE約為70米【點(diǎn)評】此題是解直角三角形的應(yīng)用-仰角和俯角，解本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)解答9如圖,某幢大樓頂部有廣告牌CD,小宇身高M(jìn)A為1.89米,他站在立在離大樓45米的A處測得大樓頂端點(diǎn)D的仰角為30;接著他向大樓前進(jìn)15米,站在點(diǎn)B處測得廣告牌頂端點(diǎn)C的仰角為45.(1)求這幢大樓的高DH;(2)求這塊廣告牌CD的高度.(取1.732,計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù))【答案

13、】（1）樓高DH為27.9米；（2）廣告牌CD的高度為4.0米. 【解析】在RtDME與RtCNE；應(yīng)利用ME-NE=AB=15構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可解即可求出答案【詳解】解:(1)在RtDME中,ME=AH=45;由tan 30=,得DE=45151.732=25.98;又因?yàn)镋H=MA=1.89,故大樓DH=DE+EH=25.98+1.89=27.8727.9.(2)在RtCNE中,NE=45-15=30,由tan 45=,得CE=NE=30,因而廣告牌CD=CE-DE=30-25.984.0.答:樓高DH為27.9米,廣告牌CD的高度為4.0米.【點(diǎn)評】本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三

14、角形,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.10數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60（1）求炎帝塑像DE的高度（精確到1m參考數(shù)據(jù)：sin340.5，cos340.8，tan340.6，1.73）（2）“景點(diǎn)簡介”顯示，“炎帝”塑像高度為63m，請計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議【答案】（1）64m；（2）誤差為0.36，減小誤差的合理化建議：多次測量，求平均值【解析】（1）根據(jù)正切的定義用x表示出BC，再根據(jù)正切

15、的定義求出AC，結(jié)合圖形列出方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可題出建議即多次測量，求平均值【詳解】（1）解：設(shè)DE=xm，則DC=（x+54）m在RtDCB中，tanDBC，BC（x+54）在RtECA中，tanA，AC90，由題意得：90（x+54）=22，解得：x64，答：炎帝塑像DE的高度約為64m（2）由（1）知，誤差為減小誤差的合理化建議：多次測量，求平均值【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵11數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小

16、山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60，求炎帝塑像DE的高度（精確到1m參考數(shù)據(jù)：sin340.5，cos340.8，tan340.6，1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度約為64m【解析】根據(jù)正切的定義用x表示出BC，再根據(jù)正切的定義求出AC，結(jié)合圖形列出方程，解方程得到答案【詳解】解：設(shè)DE=xm，則DC=(x+54)m，在RtDCB中，tanDBC=，BC=(x+54)，在RtECA中，tanA=，AC=90，由題意得，90(x+54)=22，解得，x64，答：炎帝塑像DE的高度約為64m【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵12宋家州主題公園擬修建一座柳宗元