人教版福建省建甌市高一數(shù)學(xué)《空間幾何體的表面積與體積球體》課件

1、2021/8/9 星期一1球的體積和表面積2021/8/9 星期一2 割 圓 術(shù) 早在公元三世紀，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)”。他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細，所失彌小”。這樣重復(fù)下去，就達到了“割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的“極限”思想。2021/8/9 星期一3球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球(即球體):球面所圍成的幾何體。它包括球面和球面所包圍的空間。半徑是R的球的體積：推導(dǎo)方法： 分割求近似和化為準確和復(fù)習回顧2021/8/9 星期一4球的概念球心球

2、的半徑球的直徑2021/8/9 星期一5二、球的概念點集角度旋轉(zhuǎn)體角度球面所圍成的幾何體叫球體簡稱球。球面:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球體與球面的區(qū)別？在空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的集合2021/8/9 星期一60半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球體與球面的區(qū)別？球面概念：球面所圍成的幾何體叫球體簡稱球。0ACD球心半徑直徑2021/8/9 星期一7半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（旋轉(zhuǎn)體角度）球面概念：在空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的集合（點集的角度）2021/8/9 星期一8二、球的概念球的截面的形狀圓面2021/8/9 星期一9球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓

3、叫做大圓不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓2021/8/9 星期一10球的體積公式的推導(dǎo)球的體積公式及應(yīng)用球的表面積公式及應(yīng)用球的表面積公式的推導(dǎo)教學(xué)重點教學(xué)難點重點難點2021/8/9 星期一11球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓2021/8/9 星期一12R高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比球的體積2021/8/9 星期一13 學(xué)習球的知識要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法球的體積 我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是2021/8/9 星期一14當所分份數(shù)不斷增加時，精確

4、程度就越來越高；當份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準確體積球的體積分割求近似和化為準確和2021/8/9 星期一15問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.AOB2C2球的體積AO2021/8/9 星期一16OROA球的體積2021/8/9 星期一17球的體積2021/8/9 星期一18球的體積2021/8/9 星期一192)若每小塊表面看作一個平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點便得到n個棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當n越大,越接近于球的

5、體積,當n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果將表面平均分割成n個小塊,每小塊表面可近似看作一個平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當n趨近于無窮大時,這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積. 球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,是否也可借助于這種極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢? 下面，我們再次運用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式球的表面積2021/8/9 星期一20球的表面積2021/8/9 星期一21第一步：分割球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則

6、球的體積為：OO球的表面積2021/8/9 星期一22第二步：求近似和由第一步得：OO球的表面積2021/8/9 星期一23第三步：化為準確和 如果網(wǎng)格分的越細,則: “小錐體”就越接近小棱錐O球的表面積2021/8/9 星期一24例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)例題講解2021/8/9 星期一25(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計算器算得:例題講解2

7、021/8/9 星期一26(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?球內(nèi)切于正方體側(cè)棱長為5cm例題講解2021/8/9 星期一27例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1O例題講解2021/8/9 星期一28OABC例已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積解

8、：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面O的半徑為r，例題講解2021/8/9 星期一29OABC例.已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積例題講解2021/8/9 星期一302.一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是4cm,這個球的體積為cm3. 83.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比_.1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼谋?練習一課堂練習2021/8/9 星期一314.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是_.練習二1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是_.課堂練習2021/8/9 星期一327.將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么 這個大鉛球的表面積是_.5.長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為 ， 則它的外接球的表面積為_.6.若兩球表面積之差為48 ,它們大圓周長之和為12 , 則兩球的直徑之差為_.練習二課堂練習2021/8/9 星期一33了解球的體積、表面積推