江蘇省連云港市田家炳中學(xué)高三數(shù)學(xué) 65數(shù)列求和復(fù)習(xí)課件

1、第五節(jié)數(shù)列求和2021/8/8 星期日1基礎(chǔ)梳理數(shù)列求和的常用方法(1)公式法 直接用等差、等比數(shù)列的求和公式 掌握一些常見的數(shù)列的前n項和 123n_； 135(2n1)_.n2 (2)倒序相加法如果一個數(shù)列an，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和就可用倒序相加法，如_數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的等差 2021/8/8 星期日2(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如_數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的等比 (4)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可

2、以相互抵消，從而求得其和常見的拆項公式有： _； _； _. (5)分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類2021/8/8 星期日3數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并，形如：anbn，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列；an 基礎(chǔ)達標(biāo)(原創(chuàng)題)數(shù)列1,0，3，n22n，的前n項和為_解析：Sn10(3)n22n(32)(44)(58)(n22n)(345n2)(2482n) n(n5)2n12.2. (必修5P40引例改編)若x1x21，且f(x1)f(x2) 則fff_.2021/8/8 星期日4解析：x1x21， f(x1)f(

3、x2) 又 令S S 2S (n1) S 3. (必修5P62復(fù)習(xí)題7改編)數(shù)列an的前n項和為Sn，若an 則S5_. 解析：an S5 2021/8/8 星期日54. (必修5P54例3改編) _.(x0，y1，x1) 解析：x0，x1，y1， 5. (必修5P58習(xí)題6改編)求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1，(a0)的前n項和解析：當(dāng)a1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，(2n1)，Sn1357(2n1)當(dāng)a1時，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，令，得SnaSn12a2a22a32a42an1(2n1)an，2021/8/8

4、星期日6即(1a)Sn12 (2n1)an.1a0，Sn經(jīng)典例題題型一利用錯位相減法求和 【例1】(2011揚州中學(xué)高三上學(xué)期期中考試 )已知數(shù)列an的前n項和Snn22n，設(shè)數(shù)列bn滿足anlog2bn. (1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn; (3)設(shè)Gna1b1a2b2anbn，求Gn.分析(1)由Sn與an的關(guān)系求出an的通項公式；(2)可證數(shù)列bn是等比數(shù)列，直接用等比數(shù)列的前n項和公式求解；(3)由Gna1b1a2b2anbn的特點可知，應(yīng)用錯位相減法求和2021/8/8 星期日7解：(1)Snn22n，當(dāng)n2時，anSnSn12n1；當(dāng)n1時，a1S13，也

5、滿足上式，綜上所述，an2n1.(2)由anlog2bn得bn2an22n1， 數(shù)列bn是等比數(shù)列，其中b18，q4.Tn232522n1 (3)Gn323525(2n1)22n1，4Gn325527(2n1)22n1(2n1)22n3，兩式相減得：3Gn323(225227222n1)(2n1)22n3；24 (2n1)22n3即3Gn24(262822n2)(2n1)22n3 2021/8/8 星期日8變式11 (2010四川)已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解析：(1)設(shè)an

6、的公差為d，由已知得解得a13，d1.故an3(n1)4n.(2)由(1)的解答可得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，將上式兩邊同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn，兩式相減得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn 于是Sn 2021/8/8 星期日9若q1，則Sn123n 所以Sn 題型二利用裂項相消法求和【例2】(2010山東)已知等差數(shù)列an滿足：a37， a5a726，an的前n項和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn. 分析本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟悉數(shù)列的基礎(chǔ)

7、知識是解答好本題的關(guān)鍵 2021/8/8 星期日10解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a37，a5a726，所以有 解得a13，d2，所以an32(n1)2n1； Sn3n 2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn 所以Tn 變式21 已知在等比數(shù)列an中，a12，公比q2，又在等差數(shù) 列bn中，b2a1，b8a3. (1)求數(shù)列bn的通項公式bn及前n項和Sn；(2)若cn 求數(shù)列cn的前n項和Tn. 2021/8/8 星期日11解析：(1)由已知a3a1q28， 則 設(shè)bn的首項為b1，公差為d，則 解得b11，d1，故bn1(n1)1n，Snn1 1 (2)由(1)知cn

8、Tnc1c2cn2 題型三倒序相加法求和的圖象上有兩點P1(x1，y1)， 【例3】設(shè)函數(shù)f(x) P2(x2，y2)，若P為P1P2的 中點，且P點的橫坐標(biāo)為 2021/8/8 星期日12(1)求證：P點的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個值；(2)求的值 分析(1)由已知函數(shù)圖象上兩點P1，P2，可得 設(shè)P(x，y)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式去求y(2)根據(jù)(1)的結(jié)論：若x1x21，則由f(x1)f(x2)1，可以得到 利用倒序相加法求解解：(1)點P為P1P2的中點，x1x21，yP2021/8/8 星期日13又y1y2 yP (2)由x1x21，得y1y2f(x1)f(x2)1， f(1) 設(shè)Sn 又

9、Sn 2Sn 2f(1)n2 即Sn 2021/8/8 星期日14變式31如果函數(shù)f(x)滿足：對任意的實數(shù)m、n都有f(m)f(n)f(mn)且f(1005)2，求f(2)f(4)f(6)f(2008)的值解析：由f(x)對任意實數(shù)m、n都有f(m)f(n)f(mn)，得f(1005)f(1005)f(2010)224；f(2)f(2008)f(2010)4；f(1004)f(1006)4.令Sf(2)f(4)f(6)f(2008)，又Sf(2008)f(2006)f(2)，所以2Sf(2)f(2008)f(4)f(2006)f(2008)f(2)41 0044016，故S 40162008

10、. 題型四分組法求和【例4】(2011南京師大附中模擬)各項均為正數(shù)的數(shù)列an 的前n項和為Sn，Sn an2 an(nN*) 2021/8/8 星期日15(1)求an的通項公式；(2)令bn cnb2n4(nN*)，求cn的前n項和Tn. 分析(1)根據(jù)an與Sn的關(guān)系求解(2)n3時，cn2n12，故求cn的前n項和使用分組法求和解：(1)a1S1 a1 a10，a10，a12；當(dāng)n2時，anSnSn1 an an1， (anan1)0，即(anan1)(anan12)0an0，anan12，an為等差數(shù)列， an2n(nN*)2021/8/8 星期日16(2)c1b6b3a36，c2b8b4b2b1a12，n3時，cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12，此時，Tn8(222)(232)(2n12)2n2n；Tn 變式41 求和：Sn 解析：當(dāng)x1時， 2021/8/8 星期日17當(dāng)x1時，Sn4n.鏈接高考(2010重慶)已知an是首項為19，公差為2的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和(1)求通項an及Sn；(2)設(shè)bnan是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式及其前n項和Tn.知識準(zhǔn)備：1.