基本不等式完整版(非常全面)

1、2ab（2）若a,bR*，則aba1b1c18x2(當(dāng)且僅事先x1取“=”）x2(當(dāng)且僅事先x1取“=”）（4）若a,bR，則ab(abbcca;()a2bca1.11ab2（5）若a,bR*，則1aba2b2ab2x2（2）yx(4x)根本不等式專題輔導(dǎo)之公保含煙創(chuàng)作一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、根本不等式原始形式（1）若a,bR，則a2b22ab（2）若a,bR，則aba2b222、根本不等式一般形式（均值不等式）若a,bR*，則ab2ab3、根本不等式的兩個(gè)重要變形（1）若a,bR*，則abab22總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值；特別說明：以

2、上不等式中，當(dāng)且僅事先ab取“=”4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常常使用結(jié)論（1）若x0，則x1（2）若x0，則x1（3）若ab0，則ab2(當(dāng)且僅事先ab取“=”）baaba2b22)222特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅事先ab取“=”6、柯西不等式（1）若a,b,c,dR，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2題型一：應(yīng)用根本不等式證明不等式1、設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式:ab211ab2、已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2abbcca3、已知abc1，求證：a2b2c2134、已知a,b,cR，且abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc5、已知

3、a,b,cR，且abc1，求證：1116、（2013年新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）選修45：不等式選講設(shè)a,b,c均為正數(shù),且abc1,證明:1b2c2()37、（2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)）選修45：不等式選講已知ab0，求證:2a3b32ab2a2b題型二：應(yīng)用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域（1）y3x21x(x0)（4）yx（2）若a,a,a,b,b,bR，則有：123123（3）yx11x(x0)1、已知x2，求函數(shù)y2x44變式1：已知x2，求函數(shù)y2x4變式2：已知x2，求函數(shù)y2x4(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)21231123112233（3）設(shè)a,a,a與b,b,b

4、是兩組實(shí)數(shù)，則有12n12n(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)212n12n1122nn二、題型剖析題型三：應(yīng)用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)）2x4的最小值；2x4的最小值；2x4的最年夜值；，求函數(shù)y4x21的最小值；44x5存在兩項(xiàng)a,a，使得aa4a，求練習(xí)：1、已知x5mnmn114的最小值；mn，求函數(shù)y4x21的最年夜值；52、已知x44x5題型四：應(yīng)用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）題型六：別離換元法求最值（理解）x27x101、求函數(shù)y(x1)的值域；x11、事先，求yx(82x)的最年夜值；變式1：事先，求y4x(82x)的最年夜值；變式：求函數(shù)yx28x1(x1)的值

5、域；2，求函數(shù)y4x(32x)的最年夜2、求函數(shù)yx2變式：求函數(shù)yx13、求函數(shù)y2x152x(x)的最年夜值；變式：求函數(shù)y4x3114x(x4)的最年夜變式2：設(shè)0 x3值.2、若0 x2，求yx(63x)的最年夜值；變式：若0 x4，求yx(82x)的最年夜值；1522（提示：平方，應(yīng)用根本不等式）3114值；2x5的最年夜值；（提示：換元法）4x9的最年夜值；題型七：根本不等式的綜合應(yīng)用1、已知logalogb1，求3a9b的最小值22（2、2009天津）已知a,b0，求112ab的最小值；ab變式1：（2010四川）如果ab0，求關(guān)于a,b的表達(dá)a11、已知a,b0,a2b1，求t

6、1ab”題型五：巧用“1的代換求最值問題b的最小值；式a211a(ab)的最小值；變式1：已知a,b0,a2b2，求t1法一：法二：1ab的最小值；變式2：（2012湖北武漢診斷）已知，事先a0,a1，函數(shù)ylog(x1)1的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直ay1，求xy的最小值；變式3：已知x,y0，且128變式2：已知x,y0,x1xy9，求xy的最小值.線mxyn0上，求4m2n的最小值；3、已知x,y0，x2y2xy8，求x2y最小值；變式1：已知a,b0，滿足abab3，求ab范圍；變式4：已知x,y0，且1變式2：（2010山東）已知x,y0，1x9y4，求xy的最小值；2x12y13，

7、x23xy4y2z0,則當(dāng)xy變式5：（1）若x,y0且2xy1，求11的最小值；xy（2）若a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值；xya變式6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：aa2a，若n765求xy最年夜值；（提示：通分或三角換元）變式3：（2011浙江）已知x,y0，x2y2xy1，求xy最年夜值；4、（2013年山東（理）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足z取得最年夜值時(shí),2x1y2z的最年夜值為（）3、二維形式的柯西不等式的向量形式（）4D3(當(dāng)且僅當(dāng)0,或存在實(shí)數(shù)k,使ak時(shí),等號(hào)成立)A0B1C9（提示：代入換元,應(yīng)用根本不等式以及函數(shù)求最值）變式：設(shè)x,y,z是正數(shù)，滿足x2y3z0，求最小值

8、；題型八：應(yīng)用根本不等式求參數(shù)范圍y2xz的4、三維柯西不等式若a,a,a,b,b,bR，則有：123123(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)212311231122331、2012沈陽檢測）已知x,y0，且(xy)(axy)9b2a3時(shí)等號(hào)成立)（恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值；1(a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)a1ii15、一般n維柯西不等式abb232、已知xyz0且1xy1nyzxz恒成立，設(shè)a,a,a與b,b,b是兩組實(shí)數(shù)，則有:12n12n如果nN，求n的最年夜值；（參考：4）(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)212n12n1122nn變式：已知a,b0滿則11a2an

9、時(shí)等號(hào)成立)（提示：別離參數(shù)，換元法）4ab2，若abc恒成立，(a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)ii題型剖析abbb12n(a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)bd；即adbc時(shí)等號(hào)成立)求c的取值范圍；題型九：應(yīng)用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式ac若a,b,c,dR，則(a2b2)(c2d2)(acbd)22、二維形式的柯西不等式的變式(1)a2b2c2d2acbd題型一：應(yīng)用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè)x,y,zR，若x2y2z24，則x2y2z的最小值為時(shí)，(x,y,z)析：(x2y2z)2(x2y2z2)12(2)2224936x2y2z最小值為6(a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)bd；即adbc時(shí)等號(hào)成立)此時(shí)x123x212(2)222acyz6223，3，z(2)a2b2c2d2acbdy443(a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)bd；即adbc時(shí)等號(hào)成立)(a,b,c,d0,當(dāng)且僅當(dāng)bd；即adbc時(shí)等號(hào)成立)ac(3)(ab)(cd)(acbd)2ac2、設(shè)x,y,zR，2xy2z6，求x2y2z2的最小值m，并求此時(shí)x,y,z之值.424Ans：m4;(x,y,z)(,)3333、設(shè)x,y,zR，2x3yz3，求x2(y1)2z2之最小值為，此時(shí)y（析：2x3yz32x3(y1)z0）4、（2013年湖南卷（理）已知a,b,c,a2b3