西南交通大學(xué)矩陣分析概考點(diǎn)總結(jié)

1、；（）；（）；，都有，元素稱為 的負(fù)元素；，或 向量空間有理數(shù)：Q 實(shí)數(shù)： R 復(fù)數(shù)： C數(shù)域 ： 復(fù)數(shù)的一個(gè)非空集合P含有非零的數(shù)，且任意兩數(shù)的加減乘除仍屬于該集合， TOC o 1-5 h z 則稱數(shù)集P 為一個(gè)數(shù)域。（所有數(shù)域都包含0， 1）設(shè) V 是向量的集合， ，有， ，有一個(gè)零元素，記作，都有；則稱集合V為數(shù)域P上的 線性空間滿足加法A+B=C,C是 V中唯一的，符合滿足乘法kA=C,C是 V中唯一的，符合P 是實(shí)數(shù)域，V 就是實(shí)線性空間P 是負(fù)數(shù)域，V 就是復(fù)線性空間基： V 是數(shù)域 P 上的線性空間，若V 中存在一組向量，滿足：. 向量組線性無(wú)關(guān)；.V中任意一個(gè)向量都可由這個(gè)向

2、量組線性表示；則稱該向量組為構(gòu)成V的一個(gè)基。若 V 的一個(gè)基中向量個(gè)數(shù)為n，稱n 為 V 的維數(shù)，記為dimV=n;坐標(biāo)：， 稱為向量在基下的坐標(biāo)。取定一組基后，每個(gè)向量在這個(gè)基下的坐標(biāo)是唯一 確定的，的第 i 個(gè)坐標(biāo)也稱之為第i 個(gè)分量。子空間：設(shè) V是數(shù)域 P上的線性空間，W是 V的一個(gè)非空子集，如果W對(duì)于線性空間V所定義的加法運(yùn)算及數(shù)量乘法運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，則稱 W為 V的線性子空間，簡(jiǎn)稱子空間。充要條件是：若 ， ，則;， ，則；也就是說(shuō)W 關(guān)于 V 中定義的兩個(gè)運(yùn)算是封閉的。線性變換：數(shù)域 P 上的線性空間V的一個(gè)變換T滿足：1.2.設(shè) V 是實(shí)數(shù)域R 上的線性空間，如果

3、對(duì)V 中任意兩個(gè)向量， 都有一個(gè)實(shí)數(shù)（記為（，） ）與它們相對(duì)應(yīng)，并且滿足以下條件： TOC o 1-5 h z ，3.，則線性空間V稱為實(shí)內(nèi)積空間，簡(jiǎn)稱內(nèi)積空間，且實(shí)數(shù)（， ）成為向量Euclid)2.3.4.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)成立4.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)成立 TOC o 1-5 h z 向量長(zhǎng)度（模）（范數(shù)） ： 設(shè) ，則非負(fù)實(shí)數(shù)稱為 的長(zhǎng)度，并記為即定義長(zhǎng)度為：；若=1，則稱為單位向量，對(duì)于任意非零向量，取則 是與 線性相關(guān)的單位向量，這種做法稱為向量的單位化。（C.-S.不等式又可以表示為）:復(fù)內(nèi)積空間：設(shè) V是復(fù)域 C上的線性空間，如果對(duì)V中任意兩個(gè)向量， 都有一個(gè)復(fù)數(shù) （記為

4、（ ，） ）與它們相對(duì)應(yīng)，并且滿足以下條件：，（，）；，；，；，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立；則線性空間V稱為復(fù)內(nèi)積空間，或酉空間。酉空間具有以下性質(zhì)：1.2.3.酉變換：若 T是酉空間V的線性變換，且對(duì)任何， 都有：則稱 T為 V的酉變換，即酉空間的酉變換，是保持任兩向量?jī)?nèi)積不變的線性變換。酉矩陣：若，且，則 A稱為酉矩陣，這里是 的共軛轉(zhuǎn)置。當(dāng) A為實(shí)矩陣時(shí)，酉矩陣A也就是正交矩陣。第三章A 的特征多項(xiàng)式：f ( ) E A na1 n 1 a2 n 2 +ann在這里：a1 =aiitrA;在這里：an ( 1)n Ai1最大公因式：d( ) f( ), d( ) g( )，且沒(méi)有更大的公因式d(

5、 )=( f( ),g( ) ：表示首項(xiàng)系數(shù)為1 的最大公因式。有以下性質(zhì)：(f(),c)=0(f(),0)=f ()若： ( f( ),g( ) =1，則稱兩個(gè)多項(xiàng)式互素/互質(zhì)。求解約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：方法一：(1)求出A( )中所有非零的k級(jí)子式，最高項(xiàng)系數(shù)為1 的 最大公因式，記為 k級(jí)行列式因子：D1( ),D2( ), ,Dn( )Dk 1( )能整除每個(gè)k 1 級(jí)子式，從而可以整除每個(gè)k級(jí)子式，因此Dk 1( )能整除Dk( )，即是說(shuō)Dk 1( ) Dk( )； 求 A( )的不變因子：d1( ),d2( ), ,dn( ) ；d1( ) D1( ),d2( )2, ,dn( ) n12

6、n112D1( ) nDn1( )(3)求A( )的 初級(jí)因子。 把每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解為互不相同的一次因式的方冪的乘積，所有這些一次方冪。所有初級(jí)因子的乘積得到n 階行列式：A Dn( ) d1( ) d2( )dn( )(4)寫出約當(dāng)塊 。每個(gè)初級(jí)因子(i )ki 構(gòu)成一個(gè)ki 階的 約當(dāng)塊 。方法二(只適用于四階及以下矩陣)：(1)求出特征多項(xiàng)式：f( ) E A (1)n1(2)n2 (k)nk；(2)求出對(duì)應(yīng)i的約當(dāng)塊個(gè)數(shù)，并求出m: n R( iE A) m；(2)來(lái)判斷個(gè)數(shù)。(3)(2)來(lái)判斷個(gè)數(shù)。A可以對(duì)角化dn( )沒(méi)有重根m( )沒(méi)有重根也就是初級(jí)因子全為一次求 P

7、 1AP J 中的 P：P (X1,X2,X3)，則有P 1AP J ( AX1,AX2,AX3) =(X1,X2,X3)J寫成三個(gè)方程，并求出基礎(chǔ)解系。方法三：(1)寫出E A ,(2)根據(jù)初等變換，求出史密斯標(biāo)準(zhǔn)型，從而求出不變因子。哈密頓-開萊定理及矩陣的最小多項(xiàng)式：f ( ) E A na1n 1a2 n 2 +an每個(gè) n 階矩陣 A都是它的特征多項(xiàng)式的根： TOC o 1-5 h z Ana1An 1a2An 2+anE0零化多項(xiàng)式：( )是一個(gè)多項(xiàng)式，A是一個(gè)方陣，如果有(A) 0，則稱 ( )最小多項(xiàng)式：A是一個(gè)方陣，則A的首項(xiàng)系數(shù)為1 的次數(shù)最小的零花多項(xiàng)式m( )，(1)是

8、 唯一 的，(2)其根是A特征值，反之亦然。(3)最小多項(xiàng)式是其不變因子dn( )矩陣 A的任何 零化多項(xiàng)式都被其 最小多項(xiàng)式所整除。史密斯標(biāo)準(zhǔn)型：(求解時(shí)，行列都可以變)(唯一)d1( )0A( ) J( )dr( ) 這里 r 1 是 A( )的 秩 ，di( )是 首項(xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)00式，且di( )di 1( )(i 1,2,3 r 1)A( ) J( )所以，這倆擁有相同的秩及相同的行列式因子D1( ),D2( ), ,Dn( )舒爾定理：若 A n n，則存在酉矩陣U，使得：UTAU T這里的T為上三角矩陣，其主對(duì)角線上的元素都是A的特征值。QR分解：A QRC)若 A n

9、n為 n 階負(fù)數(shù)矩陣，則存在酉矩陣Q及上三角矩陣RA QRC)奇異值分解定理：沒(méi)看到第四章=(，)若 V 是實(shí)內(nèi)積空間(酉空間)， 為任意向量，k 為實(shí)數(shù)域R(復(fù)數(shù)域V 中向量的長(zhǎng)度具有下列三個(gè)基本性質(zhì)：(1)當(dāng)時(shí)，都有0；k k ；向量范數(shù)的定義：設(shè) V是數(shù)域 P上的線性空間，若對(duì)于V中任一向量負(fù)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，并且滿足下列三個(gè)條件：(1)正定性：當(dāng)時(shí)，都有0；(2)齊次性，對(duì)于任何： k k ；(3)三角不等式：nn;,1 i;i1nn;,1 i;i1nn1ip)p;(i1max 1in范數(shù)等價(jià)：對(duì)于任何有限維向量空間V 上定義的任意兩個(gè)向量范數(shù)a和b，都存在兩個(gè)與無(wú)關(guān)的正常數(shù)C1,C2，使

10、得對(duì)V中任一向量，都有：aC1b , b C2 a兩個(gè)不等式的兩個(gè)向量范數(shù)稱為等價(jià) 的。在有限維向量空間上的不同范數(shù)都是等價(jià)的。矩陣范數(shù)的定義：在 Pn n 上定義一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)A ， 如果對(duì)于任意的A, B Pn n都滿足下列四個(gè)條件：(1)正定性：當(dāng) A 0時(shí) , A 0(2)齊次性：對(duì)于任何k P，kA k A(3)三角不等式: A B A BAB A B則稱非負(fù)實(shí)數(shù)A 為方陣 n n的范數(shù)。nA P n n , A maxaij （列模和最大者）;i1A Pnn, A2H 是AH Ai1A Pnn, A2H 是AH A的最大特征值);AAA Pnn, AFtr（AHA）;nA P n

11、 n , A maxaij （行模和最大者）;iinj1范數(shù)等價(jià)：Pn n上任意兩個(gè)方陣A a和Ab都是等價(jià)的，使得：A aA aC1 AAbC2 Aa范數(shù)相容：對(duì)于任何A Pnn和Pn，滿足：AaAaAa則稱方陣范數(shù)A 與向量范數(shù)是 相容 的。Pn n上的每一個(gè)方陣范數(shù)，在Pn上都存在與它相容的向量范數(shù)。AF與 2是相容的向量的極限：如果向量序列：m(x1(m),x2(m),xn(m) Cn(m 0,1,2 )，如果存在極限：lim xi(m)xi (i1,2, n)m則稱酉空間Cn的向量序列(m) 收斂 于向量(x1,x2,xn)記為：lim (m) 或者(m )m求矩陣函數(shù)：方法一：方法

12、二：譜半徑：矩陣函數(shù)：也就是：(m) limmlim ( m(m)lim (m(m) 0 (對(duì)任意范數(shù)都成立)(A) m1 ianx i求矩陣函數(shù)：方法一：方法二：譜半徑：矩陣函數(shù)：也就是：(m) limmlim ( m(m)lim (m(m) 0 (對(duì)任意范數(shù)都成立)(A) m1 ianx inxem0mxm!nsin x ( 1)mm0ncosx ( 1)mm0寫出通式并計(jì)算(笨方法)(1)求出A的最小多項(xiàng)式：1xx2!2m 1x31!x31n xn!(2m 1)!2mx(2m)!1 x3 3!1 1x2!11 x5( 1)n5!1x 4!4( 1)n x(2n)!( ) (1) 1(2)

13、 2( s) s2n 1x(2n 1)!2n這里每個(gè)特征值都是不同的特征值，其中n1 n2ns m(2)寫出所求函數(shù)式：XXXX f( ), XXXX f(A)(3)寫出降階后的多項(xiàng)式：f ( )( )q( ) r( ) r( ) a0 a1a2 2am 1 m 1(4)求出各項(xiàng)系數(shù)：1,2, , s) (求導(dǎo)的是復(fù)數(shù)根才可以f ( i ) a0 a1 i a2 i2 am 1 1,2, , s) (求導(dǎo)的是復(fù)數(shù)根才可以(f ( i) a1 2a2 i (m 1)am 1 im(5)將各系數(shù)帶入函數(shù)：f(A) (A)q(A) r(A) r(A) a0E a1A a2A2am 1Am 1(6)求

14、出矩陣函數(shù)。求帶參數(shù)的方式一樣，無(wú)非是將a0,a1,a2,am 1 寫成a0(t),a1(t),a2(t),am 1(t)第四章A (aijA (aij )n nA AH A AH22BBHaa HB (bij)nn B 2B(bijaij 2aij ) (厄米特矩陣)CCHaa HC(cij)nnC2C(cijaij2aij)(反厄米特矩陣)若 A Cn n的特征值的集合為1, 2 , , n (所有特征值)，則有nnn22iaij (當(dāng)且僅當(dāng)A為正規(guī)矩陣時(shí)成立)i1i1j1inmax a1 inmax a1 i,j nRe( i)n max bi ;1 i,j n ijIm( Im( i)

15、Im( i)n max cij ;1 i,j n ij TOC o 1-5 h z n(n2 1) max cij (當(dāng) A為 n階實(shí)矩陣)。原盤定理：A=(aij) Cn n，則A的全部特征值都在復(fù)數(shù)平面上的n 個(gè)圓盤(蓋爾圓)內(nèi):zaiiRi(i 1,2,n)(i 的話直接就是1)Riai1ai2ai3ai(i 1)ai(i 1)ain圖示，蓋爾圓如何繪制由矩陣 A 的 k 個(gè)相交的蓋爾圓的并集構(gòu)成的連通區(qū)域稱為一個(gè)連通部分， 并說(shuō)它是由 k 個(gè)蓋爾圓組成的。矩陣A的任意一個(gè)由k個(gè)蓋爾圓組成的連通部分中，有且只有A的 k個(gè)特征值。(注意： 特征值是落在連通部分中，不一定兩個(gè)圓都有，有可能一

16、個(gè)有一個(gè)沒(méi)有。)譜半徑的估算：矩陣 A的每一個(gè)特征值的模都不超過(guò)矩陣A任意一個(gè)范數(shù)。(A) m1 iaxn i A an(A) A 1 m1 aj xnaij ;n(A) Am1 ianxaij ;j1(A) A 2AHA;(當(dāng)A是正規(guī)矩陣時(shí)，等號(hào)成立)AX B,若A可逆，則有唯一解X A 1B若A 不可逆，或者m n 時(shí)，不一定有解，有解不唯一。求解1-廣義逆：各數(shù)據(jù)參數(shù)：Am n , Pm m,Qn n(1)將目標(biāo)矩陣(1)將目標(biāo)矩陣A 化成最簡(jiǎn)型: PAQEr (A)P 為將 A 行變換的初等變換；Q 為將 Q 為將 A 列變換的初等變換；例如：1201Er(A)就是A的秩次的單位陣。Er A1(2)則 G=Q r 1 PA2 A3Q， P 交換位置A1， A2， A3為填充矩陣，補(bǔ)齊位置的，可以直接在空缺上設(shè)c1， c2， c3(3)則 A G 任意矩陣A的 1-