同濟課件截面幾何特性

1、 -1截面的靜矩和形心位置y設(shè)任意形狀截面如圖d A靜1矩.靜矩靜（或矩或一一次次矩矩）矩Cycyyd AxdSx ASOxxycAm3A?？芍禐椋赫蔀檎摽伞⒒驗樨撜?。負0）或。）。x ）常(常用：或位mm32.形心坐標(biāo)公式（=均質(zhì)等厚薄板質(zhì)的心質(zhì)坐心標(biāo)質(zhì)坐心標(biāo)坐）標(biāo)xx(t dA)dASyxAA Ac tAAy y(dtA)dASyAA Ax tcAA3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系 A xc A ycS yS x結(jié)論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。組合截面的靜矩由靜矩的定義知：整個截面對某軸的靜矩應(yīng)4.等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和:nn Ai AixciyciS yS x

2、i1i1( Ai 和xc i , yc i分別為第i個簡單圖形的面積及其形心坐標(biāo)）例 I-1試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。yC面積形心Oxb易求 b( y) b (h y)h所以對x軸的靜矩為解：取平行于x軸的狹長條，bh因此 d A (h y) d y2h b (h y) y d y bhAy d A Sxh60hyd ybh2或：S x 6( bh h )23b ( y )h3bh25.常用圖形的面積和形心n=1,2,3用于分布力的等效力計算，以及以后內(nèi)力圖面積、圖乘法計算。 I-2極慣性矩 慣性矩 慣性積設(shè)任意形狀截面ydA極慣1性.極矩慣性或矩截（面二慣或次性截極矩

3、面或二矩截次面極矩）次極矩2d AI pA慣性2.慣矩性矩（性或矩截面二軸次軸矩矩）矩2x2 d Ayd AI yI xmm4)x 2AAOxx22y由于所以所以所I以2 d A x2 )d AI2(yIpxyAAyy慣性3積.慣性積慣性積 xydAI xyA在慣4性.半4.徑4慣.性半徑慣性半徑I yAI xAiiyxmm）y截面對于對包稱含軸對在稱內(nèi)軸的對在稱內(nèi)軸的一對正交軸的慣性積為0。dA內(nèi)的Oxx例I-2試計算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。y解：則取平行于x軸的狹長條，dA=b dyh2A2d A d y by2yI xh2xC同理b(a)hd yyhb3I

4、 y 12bh312y若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對形心軸x 的慣性矩同樣為xCb(b)h3I bhx12例 I-4試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的z軸的慣性矩。y取平行于z軸的狹長條解：易求 b( y) b (h y)h(h y) d ybh因此 d A 所以對z軸的慣性矩為：Ozbbhh d A (h y22y) yd yI zA0hyd ybh312b ( y )-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式組合截面的慣性矩1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式y(tǒng)c任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：yxxc dAycxcCx xby yaCCyxObay2 d A yAca2 d

5、A AI x 2d A 2a2yycd Aad AcAAA 2a A y a 2 A I x I xccyca 2 Aycxc dAx同理，有：ycxCc I y I y b A2c Ixy Ix y abAccyxOb（平行移軸公式）aI I a2 Axxc2.組合截面的慣性矩和慣性積組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積），等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：nI I i xyxyi1nI I i yyi1nI I i xxi1例I-5 求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。（1）求形心坐標(biāo)解：yb( y) 2y2dR2b(y)yd Ayb(y)d y2SxxCA0c

6、ycd2 y2 R2 y2 d y d3x120dd 3S122dyc x Ad 283y（2）求對形心軸xc的慣性矩b(y)xcCycd 4 64d 4I x128x2d由平行移軸公式得：d 2d 4d 4I x I x ( yc )c2812818例I-7 試求圖a 所示截面對于對稱軸x的慣性矩。y解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。（1）矩形對x的慣性矩：d 2a380 2003I x11212x 5333 104 mm4（2）一個半圓對其自身形心軸xc的慣性矩（見上例）Cd 2d 4d 4 I x ( yc )2I x812818d =80c(a)40100a =100402da +

7、3 （3）一個半圓慣對性x的矩慣性矩慣：性矩由平行移軸公式得：2d22dx2 a IIx3 8c2d 4401mm23423（4）整個截面對于對稱慣軸性x的矩慣性矩慣：性矩I53331227010 2434647mm410 410 Ac2 1600104 8000802 6.72 107 mm4I 上上Z1IZ 1.344108 mm4I 總上Z12IZ-4慣性矩（積）轉(zhuǎn)軸公式 截面的主慣性軸慣性1矩.慣性矩慣（性積矩）的轉(zhuǎn)軸公式任意面元任意面元任dA意在面舊元坐標(biāo)系oxy新系和坐新標(biāo)系坐o關(guān)x標(biāo)1系y1系的為關(guān)系為關(guān)：系為y nisnissoxcxyyx11 soyc 入慣代性入矩的代慣定入

8、性義矩式慣的性定矩義式的：定義式Ay2 d AIx11xy和新坐和標(biāo)代OxI x cos y d A sin x d A22221AA2 sin cos A xy d A I x cos I y sin 2Ixy sin cos22利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式 ： I x I yI yI xcos 2 Isin 2Ix1xy22I y I x I yI xcos 2 Isin 2Iy1xy22 I x I ysin 2 Icos 2Ix1 y1xy2將前兩式相加得Iy（截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣性矩）xI y I xI

9、112.主慣性軸和主慣性矩由轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時，必存在一特定的角度0，使截面關(guān)于新坐標(biāo)軸x0、 y0的慣性積等于零。yxyOx2.截面的主慣性軸和主慣性矩主慣性軸定義:截面對其慣性積等于零的一對坐標(biāo)軸。主慣性矩定義:截面對于主慣性軸的慣性矩。形心主慣性軸定義：坐標(biāo)原點為形心的主慣性軸。形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。主慣性3、軸主慣性軸主位慣置性的軸確定*根據(jù)主慣性軸的定義:IIy0cos0 x sniI xy 2I20 xy211y即:2Ixy2tan0IIxyxyOx4、 形心主慣性軸 的特性：若截面有一根（或兩根）對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸，并且過形心并與對稱軸垂直的坐標(biāo)軸也為形心主慣性軸。若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。例如：正n邊形n=3,4,5-5截面彎曲中心（又稱：扭心）截面彎曲中心的定義彎曲中心是梁截面這樣一個點，當(dāng)橫向力作用線通過