高考數(shù)學總復習029數(shù)學歸納法新人教A版

1、數(shù)學歸納法 一、學問回憶數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)n 有關的數(shù)學命題的重要方法1 用數(shù)學歸納法證明命題的步驟為: nk1時命題也成立是推理的依驗證當 n 取第一個值n 時命題成立 ,這是推理的基礎 ; 假設當n=kN*,kn 0時命題成立在此假設下 ,證明當據(jù) 錯誤 .結(jié)論2 探干脆問題在數(shù)學歸納法中的應用（思維方式）: 觀看 ,歸納 ,猜想 ,推理論證3 特殊留意： 1 用數(shù)學歸納法證明問題時第一要驗證 n n 0 時成立 ,留意 n 不肯定為 1; 2 在其次步中 ,關鍵是要正確合理地運用歸納假設 ,特殊要弄清由到 1 時命題的變化二基本訓練1 已知某個命題與正整數(shù)有關 , 假如當 n

2、k k N * 時該命題成立 , 那么可以推得 n k 1 時該命題也成立現(xiàn)已知 n 5 時該命題不成立 , 就 A n 4 時該命題成立 B n 6 時該命題不成立 C n 4 時該命題不成立 D n 6 時該命題成立2用數(shù)學歸納法證明 2 nn 2 n N,n 5, 就第一步應驗證 n= ; 3用數(shù)學歸納法證明 : 1 1 1n 1n n N *, n 1 時, , 第一步驗證不等式2 3 2 1成立；在證明過程的其次步從 n=到 n=1 成立時 ,左邊增加的項數(shù)是三、例題分析例 1:已知nN*,證明 : 11111111112342 n2nn1n22 n例 2、求證：1n11111n22

3、32n2m 的值,并證明你的結(jié)論；如不存在說明理fn2 n7n 39整除,如存在,求出最大的由；nN*個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,求證 :這 n 個圓把平面分成n2n2個部分1kN的自然數(shù)的個數(shù)滿意不等式log2xlog232k1x2 k（1）求 f 的解析式；（2）記Snf1 nf2 Nf n,求S 的解析式；（3）令Pnn21n,試比較S 與P 的大?。蝗?、課堂小結(jié)1 數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關的命題的證明方法 ; 2 用數(shù)學歸納法證明命題時 ,兩個步驟缺一不行 ,且書寫必需規(guī)范 ; 3 兩個步驟中 ,第一步是基礎 ,其次步是依據(jù)在其次步證明中 ,

4、關鍵是一湊假設 ,二湊結(jié)論四、作業(yè) 同步練習數(shù)學歸納法1如 f（n）=1 1 1 1（nN* ）,就當 n=1 時, f（n）為2 3 2 n 1（A）1 （B）13（C）1 1 1（D）非以上答案2 3n 22用數(shù)學歸納法證明 1aa 2 a n1= 1 a（a 1,nN* ）,在驗證 n=1 成立時,左邊運算所1 a得的項是（A）1 （C）1aa2 （B）1a（D）1aa2a33 用數(shù)學歸納法證明11 1 1 1 1 1 1 1 n N ,就從到 1 時,左邊應添加的項2 3 4 2 n 1 2 n n 1 n 2 2 n為1 1 1A B 2 k 1 2 k 2 2 k 4C 1 D 1

5、12 k 2 2 k 1 2 k 24某個命題與自然數(shù) n 有關,假如當 n=（ N*）時,該命題成立,那么可推得當 n=1 時命題也成立現(xiàn)在已知當 n=5 時,該命題不成立,那么可推得（A）當 n=6 時該命題不成立；（C）當 n=4 時該命題不成立（B）當 n=6 時該命題成立（D）當 n=4 時該命題成立5Skk11k12k131k,12 3,就 S1 = 12 kA S 211 B S 11k2 k2kC S 2112k12D S 112k2k12k6由歸納原理分別探求：1 凸 n 邊形的內(nèi)角和 fn= ; 2 凸 n 邊形的對角線條數(shù) fn= ; 3 平面內(nèi) n 個圓,其中每兩個圓都

6、相交于兩點,且任意三個圓不相交于同一點,就該 n 個圓分平面區(qū)域數(shù) fn= 為真,進而需驗證 n= ,命題為真；7用數(shù)學歸納法證明 n1n2 nn=2 n 1 2 3 2n 1nN,從“ 到 1” 左端應增乘的代數(shù)式為2 2 2 2,b,c, 使得等式 122 3 nn1n n 1 anbnc 對一切自然數(shù) n 成立并證明12你的結(jié)論9 求證：1112n11n（nN） 111；23210 （2022年全國高考.理）設數(shù)列an滿意an1a2 nnan1,n1, , , （ ）當a12 時,求a 2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項公式；（ ）當a3 時,證明對全部的n1,有1ann2；21

7、11112aaan211已知 An=1g n,B n=1ngnn1 g 2, 其中 nN,n 3,x1, 試比較210AN與 Bn 的大小答案基本訓練 2 5 3 2k例題分析 1 證明:用數(shù)學歸納法證明1 當n1時,左邊=111,右邊1,等式成立 ; 211=右邊; 222 假設當nk時等式成立 ,即有 : 11112111k11k121234k2k2k那么當nk1時, 左邊=111121112 k112 1234k2k1 k11111k1k22k2k12k1 k12k131211k112 11 2kkkk1111k1 1k1 2k1 kk1 所以當nk1時等式也成立nk1時向目標式靠攏是關

8、鍵綜合 12 知對一切nN*,等式都成立思維點撥：認真觀看欲證等式的結(jié)構(gòu)特點,在其次步證明當2 證明：（1）當 n=1 時,f1 11,原不等式成立1131,2（2）設 n=kN時,原不等式成立即1k11111k成立,當 n=1 時,2232k2fk1fk2k112 k12111k2k12 k22 k22 k11k1111111k11k2122k2k2k22111共2k項fk1fk2k112k12111k2k12k22k22k11k2k112k112k11336,f10362共2 k項fk11k1即 n=1 時,命題成立2綜合（ 1）、（2）可得：原命題nN對恒成立；3 證明：由fn2 n7n

9、 39得,f136,f2f43436,由此猜想 m=36 下面用數(shù)學歸納法證明（1）當 n=1 時,明顯成立；k（2）假設 n=時, f 能被 36 整除,即 f k 2 k 7 3 9 能被 36 整除；當 n=1 時,k 1 k k 12 k 1 7 3 9 3 2 k 7 3 9 18 3 1由于 3 k 1 1 是 2 的倍數(shù),故 18 3 k 1 1 能被 36 整除,這就說,當 n=1 時, fn 也能被 36 整除n由（1）（2）可知對一切正整數(shù) n 都有 f n 2 n 7 3 9 能被 36 整除, m 最大值為 36；4 解: 1 當 n 1 時,一個圓把平面分成兩部分 ,

10、此時 n 2n 2 2 , 即命題成立 ; 22 假設當 n k 時命題成立 , 即 k 個圓把平面分成 k k 2 個部分那么當 n k 1 時,這 k 1 個圓中的 k 個把平面分成 k 2k 2 個部分第 k 1 個圓被前 k 個圓分成 2 k 條弧,這 k 條弧中的每一 條 把 所 在 的 部 分 分 成 了 2 塊 , 這 時 共 增 加 2 k 個 部 分 , 故 k 1 個 圓 把 平 面 分 成2 2k k 2 2 k k 1 k 1 2 個部分 ,這說明當 n k 1 時命題也成立*綜上所述 ,對一切 n N ,命題都成立滿意不等式log2xlog232k1x2 k1kN的自

11、然數(shù)的個數(shù)（1）求 f 的解析式；（2）記Snf1 f2 f n,求S 的解析式；2k1x2k（3）令Pnn2n1nN,試比較S 與P 的大??；x0 x05 解：（1）原不等式x32k1x32k1x32k1x22k1x2k1x2k0S kP k2,kk2fk2k2k112k11（2）S nf1 f2 fn202 12 n1n2nn1（3）S nP n2nn2n=1 時,1 22 1;0；n=2 時,2222;0n=3 時,232 3;0；n=4 時,4 242;0n=5 時,2552;0；n=6 時,6 2620 ;猜想：n5時S nP n下面用數(shù)學歸納法給出證明（1） 當 n=5 時,S 5P 5,已證（ 2）假設nkk5時結(jié)論成立刻那么 n=1 時,2k1Pk1而2 k2k12k22 k1k122P n；在k5范疇內(nèi),k1220恒成立就2 k2k12,即S K1P k1由（1）（2）可得,猜想正確,即n5時,S nP n綜述：當 n=2,4 時,S nP n當 n=3 時,S nP nn=1 或n5時,S n作業(yè) 1 5、CCDCC 9 證：n1時 左11右2n 假設k時 成立即：1112k11k232當nk1時1左1121112k11k12k112k12k2k12