高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)029數(shù)學(xué)歸納法新人教A版

1、數(shù)學(xué)歸納法 一、學(xué)問回憶數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法1 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟為: nk1時(shí)命題也成立是推理的依驗(yàn)證當(dāng) n 取第一個(gè)值n 時(shí)命題成立 ,這是推理的基礎(chǔ) ; 假設(shè)當(dāng)n=kN*,kn 0時(shí)命題成立在此假設(shè)下 ,證明當(dāng)據(jù) 錯(cuò)誤 .結(jié)論2 探干脆問題在數(shù)學(xué)歸納法中的應(yīng)用（思維方式）: 觀看 ,歸納 ,猜想 ,推理論證3 特殊留意： 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)第一要驗(yàn)證 n n 0 時(shí)成立 ,留意 n 不肯定為 1; 2 在其次步中 ,關(guān)鍵是要正確合理地運(yùn)用歸納假設(shè) ,特殊要弄清由到 1 時(shí)命題的變化二基本訓(xùn)練1 已知某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān) , 假如當(dāng) n

2、k k N * 時(shí)該命題成立 , 那么可以推得 n k 1 時(shí)該命題也成立現(xiàn)已知 n 5 時(shí)該命題不成立 , 就 A n 4 時(shí)該命題成立 B n 6 時(shí)該命題不成立 C n 4 時(shí)該命題不成立 D n 6 時(shí)該命題成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 nn 2 n N,n 5, 就第一步應(yīng)驗(yàn)證 n= ; 3用數(shù)學(xué)歸納法證明 : 1 1 1n 1n n N *, n 1 時(shí), , 第一步驗(yàn)證不等式2 3 2 1成立；在證明過程的其次步從 n=到 n=1 成立時(shí) ,左邊增加的項(xiàng)數(shù)是三、例題分析例 1:已知nN*,證明 : 11111111112342 n2nn1n22 n例 2、求證：1n11111n22

3、32n2m 的值,并證明你的結(jié)論；如不存在說明理fn2 n7n 39整除,如存在,求出最大的由；nN*個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn),且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證 :這 n 個(gè)圓把平面分成n2n2個(gè)部分1kN的自然數(shù)的個(gè)數(shù)滿意不等式log2xlog232k1x2 k（1）求 f 的解析式；（2）記Snf1 nf2 Nf n,求S 的解析式；（3）令Pnn21n,試比較S 與P 的大小；三、課堂小結(jié)1 數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法 ; 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí) ,兩個(gè)步驟缺一不行 ,且書寫必需規(guī)范 ; 3 兩個(gè)步驟中 ,第一步是基礎(chǔ) ,其次步是依據(jù)在其次步證明中 ,

4、關(guān)鍵是一湊假設(shè) ,二湊結(jié)論四、作業(yè) 同步練習(xí)數(shù)學(xué)歸納法1如 f（n）=1 1 1 1（nN* ）,就當(dāng) n=1 時(shí), f（n）為2 3 2 n 1（A）1 （B）13（C）1 1 1（D）非以上答案2 3n 22用數(shù)學(xué)歸納法證明 1aa 2 a n1= 1 a（a 1,nN* ）,在驗(yàn)證 n=1 成立時(shí),左邊運(yùn)算所1 a得的項(xiàng)是（A）1 （C）1aa2 （B）1a（D）1aa2a33 用數(shù)學(xué)歸納法證明11 1 1 1 1 1 1 1 n N ,就從到 1 時(shí),左邊應(yīng)添加的項(xiàng)2 3 4 2 n 1 2 n n 1 n 2 2 n為1 1 1A B 2 k 1 2 k 2 2 k 4C 1 D 1

5、12 k 2 2 k 1 2 k 24某個(gè)命題與自然數(shù) n 有關(guān),假如當(dāng) n=（ N*）時(shí),該命題成立,那么可推得當(dāng) n=1 時(shí)命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng) n=5 時(shí),該命題不成立,那么可推得（A）當(dāng) n=6 時(shí)該命題不成立；（C）當(dāng) n=4 時(shí)該命題不成立（B）當(dāng) n=6 時(shí)該命題成立（D）當(dāng) n=4 時(shí)該命題成立5Skk11k12k131k,12 3,就 S1 = 12 kA S 211 B S 11k2 k2kC S 2112k12D S 112k2k12k6由歸納原理分別探求：1 凸 n 邊形的內(nèi)角和 fn= ; 2 凸 n 邊形的對(duì)角線條數(shù) fn= ; 3 平面內(nèi) n 個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都

6、相交于兩點(diǎn),且任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn),就該 n 個(gè)圓分平面區(qū)域數(shù) fn= 為真,進(jìn)而需驗(yàn)證 n= ,命題為真；7用數(shù)學(xué)歸納法證明 n1n2 nn=2 n 1 2 3 2n 1nN,從“ 到 1” 左端應(yīng)增乘的代數(shù)式為2 2 2 2,b,c, 使得等式 122 3 nn1n n 1 anbnc 對(duì)一切自然數(shù) n 成立并證明12你的結(jié)論9 求證：1112n11n（nN） 111；23210 （2022年全國(guó)高考.理）設(shè)數(shù)列an滿意an1a2 nnan1,n1, , , （ ）當(dāng)a12 時(shí),求a 2,a3,a4,并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；（ ）當(dāng)a3 時(shí),證明對(duì)全部的n1,有1ann2；21

7、11112aaan211已知 An=1g n,B n=1ngnn1 g 2, 其中 nN,n 3,x1, 試比較210AN與 Bn 的大小答案基本訓(xùn)練 2 5 3 2k例題分析 1 證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明1 當(dāng)n1時(shí),左邊=111,右邊1,等式成立 ; 211=右邊; 222 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立 ,即有 : 11112111k11k121234k2k2k那么當(dāng)nk1時(shí), 左邊=111121112 k112 1234k2k1 k11111k1k22k2k12k1 k12k131211k112 11 2kkkk1111k1 1k1 2k1 kk1 所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立nk1時(shí)向目標(biāo)式靠攏是關(guān)

8、鍵綜合 12 知對(duì)一切nN*,等式都成立思維點(diǎn)撥：認(rèn)真觀看欲證等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),在其次步證明當(dāng)2 證明：（1）當(dāng) n=1 時(shí),f1 11,原不等式成立1131,2（2）設(shè) n=kN時(shí),原不等式成立即1k11111k成立,當(dāng) n=1 時(shí),2232k2fk1fk2k112 k12111k2k12 k22 k22 k11k1111111k11k2122k2k2k22111共2k項(xiàng)fk1fk2k112k12111k2k12k22k22k11k2k112k112k11336,f10362共2 k項(xiàng)fk11k1即 n=1 時(shí),命題成立2綜合（ 1）、（2）可得：原命題nN對(duì)恒成立；3 證明：由fn2 n7n

9、 39得,f136,f2f43436,由此猜想 m=36 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng) n=1 時(shí),明顯成立；k（2）假設(shè) n=時(shí), f 能被 36 整除,即 f k 2 k 7 3 9 能被 36 整除；當(dāng) n=1 時(shí),k 1 k k 12 k 1 7 3 9 3 2 k 7 3 9 18 3 1由于 3 k 1 1 是 2 的倍數(shù),故 18 3 k 1 1 能被 36 整除,這就說,當(dāng) n=1 時(shí), fn 也能被 36 整除n由（1）（2）可知對(duì)一切正整數(shù) n 都有 f n 2 n 7 3 9 能被 36 整除, m 最大值為 36；4 解: 1 當(dāng) n 1 時(shí),一個(gè)圓把平面分成兩部分 ,

10、此時(shí) n 2n 2 2 , 即命題成立 ; 22 假設(shè)當(dāng) n k 時(shí)命題成立 , 即 k 個(gè)圓把平面分成 k k 2 個(gè)部分那么當(dāng) n k 1 時(shí),這 k 1 個(gè)圓中的 k 個(gè)把平面分成 k 2k 2 個(gè)部分第 k 1 個(gè)圓被前 k 個(gè)圓分成 2 k 條弧,這 k 條弧中的每一 條 把 所 在 的 部 分 分 成 了 2 塊 , 這 時(shí) 共 增 加 2 k 個(gè) 部 分 , 故 k 1 個(gè) 圓 把 平 面 分 成2 2k k 2 2 k k 1 k 1 2 個(gè)部分 ,這說明當(dāng) n k 1 時(shí)命題也成立*綜上所述 ,對(duì)一切 n N ,命題都成立滿意不等式log2xlog232k1x2 k1kN的自

11、然數(shù)的個(gè)數(shù)（1）求 f 的解析式；（2）記Snf1 f2 f n,求S 的解析式；2k1x2k（3）令Pnn2n1nN,試比較S 與P 的大??；x0 x05 解：（1）原不等式x32k1x32k1x32k1x22k1x2k1x2k0S kP k2,kk2fk2k2k112k11（2）S nf1 f2 fn202 12 n1n2nn1（3）S nP n2nn2n=1 時(shí),1 22 1;0；n=2 時(shí),2222;0n=3 時(shí),232 3;0；n=4 時(shí),4 242;0n=5 時(shí),2552;0；n=6 時(shí),6 2620 ;猜想：n5時(shí)S nP n下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明（1） 當(dāng) n=5 時(shí),S 5P 5,已證（ 2）假設(shè)nkk5時(shí)結(jié)論成立刻那么 n=1 時(shí),2k1Pk1而2 k2k12k22 k1k122P n；在k5范疇內(nèi),k1220恒成立就2 k2k12,即S K1P k1由（1）（2）可得,猜想正確,即n5時(shí),S nP n綜述：當(dāng) n=2,4 時(shí),S nP n當(dāng) n=3 時(shí),S nP nn=1 或n5時(shí),S n作業(yè) 1 5、CCDCC 9 證：n1時(shí) 左11右2n 假設(shè)k時(shí) 成立即：1112k11k232當(dāng)nk1時(shí)1左1121112k11k12k112k12k2k12