高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)及題型專題講義36空間幾何體的表面積和體積

1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)及題型專題講義三十六 空間幾何體的表面積和體積知識(shí)梳理1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式.空間幾何體的表面積與體積公式 一一名稱幾何體 表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+ 2S底V=Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+ S底1 V,Sh 3臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積=S側(cè)+ S上+ S下V= !（S 上+S 下 + 7 SS）h 3球S= 4 兀R2V=（近33說明：(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積 與底面面積之和.幾個(gè)有關(guān)球的結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為

2、 a,球的半徑為R,則正方體的外接球，則 2R=J3a；正方體的內(nèi)切球，則 2R=a；球與正方體的各棱相切，則 2R=g(2)設(shè)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a, b, c,外接球的半徑為 R,則2R= a2+ b2+c2.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3： 1.典例剖析題型一簡(jiǎn)單幾何體的表面積 例1已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形，俯視圖是兩個(gè)同心圓, 如圖所示，則該幾何體的表面積為 .答案 26兀解析 由三視圖知該幾何體為上底直徑為2,下底直徑為6,高為23的圓臺(tái)，則幾何體的表面積 S=兀 X+ 兀 X-9-兀 X (1 3)23 2+ 22= 26 兀.

3、變式訓(xùn)練 某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是 .答案 16+1672解析 由三視圖知，四棱錐是底面邊長(zhǎng)為4,高為2的正四棱錐，四棱錐的表面積是161+ 4X 2X 4X 272= 16+ 16V2.解題要點(diǎn) 對(duì)于這類給出三視圖求表面積、體積的題，應(yīng)先根據(jù)三視圖換原實(shí)物圖， 然后再求解.題型二簡(jiǎn)單幾何體的體積例2如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖 和側(cè)視圖在下面畫出(單位：cm).(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積.解析(1)如圖.(2)所求多面體的體積1、，12843V= V 長(zhǎng)方

4、體一V 正三棱錐= 4X4X6 鼻X (-X 2X 2) X 2 = -(cm3).323變式訓(xùn)練 某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是答案 1解析由三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖可知該三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故其底面積為，3；其側(cè)視圖也是邊長(zhǎng)為 2的正三角形，故側(cè)視圖中三角形的高即為三棱錐的高，可求 1 L -出為淄，所以二梭錐的體積 V=-x y3x，3=i. 3題型三球體有關(guān)表面積和體積例3 一個(gè)幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的表面積是 cm2.-2H俯視圖答案 （1）4方12解析（1）由三視圖知該幾何體為一個(gè)四棱柱、一個(gè)半圓柱和一個(gè)半球的組合體，其中

5、四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為1X22X ttX 12= 2 2,四棱柱中不重合的表面積為22 + 1X2X2+2X2+1X2=12 ,半圓柱中不重合的表面積為2/2.，F(xiàn)C = ?AiA=,又呈 aec=1 X近X4=四，Vs嚕=1x亞x亞 =亞242 322 i2.ABCD.i3. (20i5新課標(biāo)I文)如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點(diǎn)，BEABCD.證明：平面 AECL平面 BED;6 6(2)若/ ABC= i20, AEXEC,三棱錐EACD的體積為 彳，求該二梭錐的側(cè)面積.3解析 (1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以 ACXBD.因?yàn)锽E，平面 ABCD,所以 AC，BE.故AC，平面 BED.又AC?平面 AEC,所以平面 AECL平面 BED.x2.(2)解 設(shè) AB = x,在菱形 ABCD 中，由/ ABC=120,可得 AG = GC = g3x, GB= GD 因?yàn)锳EXEC,所以在Rt 4AECx2.2由BE,平面ABCD,知 EBG為直角二角形，可得 BE = +2x.由已知得，三棱錐 EACD的體積Veacd=3x |aC GD B