彈性力學(xué)最小勢(shì)能

1、彈性力學(xué)最小勢(shì)能第1頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三 最小勢(shì)能原理就是說當(dāng)一個(gè)體系的勢(shì)能最小時(shí)，系統(tǒng)會(huì)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。舉個(gè)例子來說，一個(gè)小球在曲面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)曲面的最低點(diǎn)位置時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)趨向于穩(wěn)定平衡。 勢(shì)能最小原理與虛功原理本質(zhì)上是一致的。宇宙萬物，如果其勢(shì)能未達(dá)到“最小”（局部概念），它總要設(shè)法變化到其“相對(duì)”最小的勢(shì)能位置。舉個(gè)例子：一個(gè)物體置于高山上，它相對(duì)于地面來說有正的勢(shì)能（非最?。?，因而它總有向地面運(yùn)動(dòng)的“能力”（向地面“躍遷”，其力學(xué)本質(zhì)是它處于一種不穩(wěn)平衡狀態(tài)）。因此，它試圖（也只有）向下運(yùn)動(dòng)，才能保證其達(dá)到一個(gè)相對(duì)平穩(wěn)的狀態(tài)。第2頁，共12頁，2

2、022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三 最小勢(shì)能原理是勢(shì)能駐值原理在線彈性范圍里的特殊情況。對(duì)于一般性問題：真實(shí)位移狀態(tài)使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能取駐值（一階變分為零），在線彈性問題中取最小值。 形象地說，當(dāng)你在一百米高的鋼絲繩上走的時(shí)候你總是希望盡早回到地上，但其實(shí)只要你不動(dòng)你也是平衡的，因?yàn)轳v值也可以是極大值（此時(shí)稱為隨遇平衡）。而當(dāng)你在一百米高的大樓里的辦公室里時(shí)，你并不害怕，因?yàn)橹車奈矬w的勢(shì)能均不比你小，此時(shí)駐值取的是極小值而不是最小值。1.根據(jù)虛功方程推導(dǎo)僅應(yīng)用于彈性體的最小勢(shì)能原理 設(shè)應(yīng)變能密度函數(shù)是應(yīng)變分量的函數(shù)，則應(yīng)變能密度函數(shù)的一階變分為第3頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)3

3、7分，星期三上式推導(dǎo)中，應(yīng)用了格林公式 將上式代入虛功方程，則 上式表示外力虛功等于彈性體應(yīng)變能的一階變分。定義外力勢(shì)能為 注意到虛位移與真實(shí)的應(yīng)力無關(guān)，因此在虛位移過程中外力保持不變，即變分與外力無關(guān)。而且積分和變分兩種運(yùn)算次序可以交換的，所以外力勢(shì)能的一階變分可以寫作第4頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三回代可得 其中Et 稱為總勢(shì)能，它是應(yīng)變分量的泛函。由于應(yīng)變分量通過幾何方程可以用位移分量表示，所以總勢(shì)能又是位移分量的泛函。公式表明，在所有幾何可能的位移中，真實(shí)位移將使彈性體總勢(shì)能的一階變分為零，因此真實(shí)位移使總勢(shì)能取駐值。2 以下證明：對(duì)于彈性體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，

4、總勢(shì)能將取最小值第5頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三將幾何可能位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變代入總勢(shì)能表達(dá)式，可以得到幾何可能位移對(duì)應(yīng)的總勢(shì)能將上式減去真實(shí)應(yīng)變分量的總勢(shì)能，可得將 按泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去二階以上的小量，有第6頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三有回代可得由于總勢(shì)能的一階變分為零，因此第7頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三總勢(shì)能的二階變分為由于由于應(yīng)變能密度函數(shù)為正定函數(shù)，即只有在所有的應(yīng)變分量全部為零時(shí)其才可能為零，否則總是大于零的，因此所以第8頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三 以上證明了在所有的可能位

5、移場(chǎng)中，真實(shí)位移場(chǎng)的總勢(shì)能取最小值。所以這一原理稱最小勢(shì)能原理。數(shù)學(xué)描述即總勢(shì)能的一階為零，而且二階變分是正定的（大于零）。 必須強(qiáng)調(diào)指出的是，真實(shí)位移與其他的可能位移之間的差別在于是否滿足靜力平衡條件，所以說最小勢(shì)能原理是用變分形式表達(dá)的平衡條件。 通過總勢(shì)能的一階變分為零，可以推導(dǎo)出平衡微分方程和面力邊界條件，這和虛功原理是相同的，即最小勢(shì)能原理也等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條件。第9頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三 虛功原理和最小勢(shì)能原理之間的差別在于：虛功原理不涉及本構(gòu)關(guān)系，適用于任何材料，只要滿足小變形條件；最小勢(shì)能原理除了小變形條件之外，還需要滿足應(yīng)變能密度

6、函數(shù)表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系，因此僅限于線性和非線性彈性體。3 結(jié)論 最后，將最小勢(shì)能原理完整的敘述為：在所有幾何可能位移中，真實(shí)位移使得總勢(shì)能取最小值。該方法是以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學(xué)問題的。當(dāng)然，選擇的位移函數(shù)必須是在位移已知的邊界上滿足位移邊界條件，對(duì)于面力邊界是不需要考慮的，因?yàn)槊媪吔鐥l件是會(huì)自動(dòng)滿足的。第10頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三參考文獻(xiàn)：1 徐芝綸.彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)M. 北京：高等教育出版社，2002.2 吳家龍.彈性力學(xué)M. 上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1987.3 徐建平. 變分方法M. 上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1999.4 胡海昌. 彈

7、性力學(xué)的變分原理及其應(yīng)用M. 北京：科學(xué)出版社，1981.5 李遇春.彈性力學(xué)課件CP/DK. 上海： 同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所.第11頁，共12頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期三Principle of Minimum Potential Energy in Theory of Elasticity Wei Shuqiang（Civil Engineering College of TongjiUniversity,Shanghai 200092）Abstract:The elastomer at the equilibri um condition,the actual displacement makes a minimum of the total potentialenergy for the elastomer;this is the minimum potential energy principle