空間的曲線及其方程市公開課獲獎?wù)n件

1、高等數(shù)學(xué)北京工商大學(xué)楊益民10/10/1第1頁第1頁回顧1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空間一張曲面S。2. 表示一張球面。3. 表示空間一張平面。4. yoz平面上母線 繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面5. xoy平面上準(zhǔn)線方程 母線平行于 z 軸柱面方程為：10/10/2第2頁第2頁四、二次曲面三元二次方程所表示曲面稱為二次曲面。目的：利用截痕法討論二次曲面形狀。即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）形狀，然后加以綜合，從而理解曲面全貌。（一）橢球面10/10/3第3頁第3頁橢球面幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓 或 繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。球面方程可寫為10/10/4第4頁第

2、4頁（二）拋物面（p與q同號）（1）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面 xoy (z=0) 去截；設(shè)p與q都不小于零。（2）用平面 去截；（3）用坐標(biāo)面 xoz 或 yoz 去截；（4）用平面 去截；yoxz10/10/5第5頁第5頁zxyo橢圓拋物面圖形下列：xyzo特殊地：當(dāng)p=q時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面10/10/6第6頁第6頁（2）雙曲拋物面（馬鞍面）( p與q同號 )用截痕法討論：設(shè)xzyo10/10/7第7頁第7頁（三）雙曲面單葉雙曲面 xyoz（1）zoxy.10/10/8第8頁第8頁雙葉雙曲面xyo（2）xoyz10/10/9第9頁第9頁空間曲線普通方程空間曲線C可看作空間兩

3、曲面交線：注意：空間曲線曲線方程 不是唯一。一、空間曲線普通方程第四節(jié) 空間曲線及其方程C10/10/10第10頁第10頁例1 下列方程組表示如何曲線？10/10/11第11頁第11頁例2 方程組 表示如何曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖。10/10/12第12頁第12頁空間曲線參數(shù)方程二、空間曲線參數(shù)方程（2）消去參數(shù)t，可得到兩個柱面方程，因此空間曲線參數(shù)方程也可視為兩張柱面交線。注：（1）伴隨參數(shù)t 改變可得到曲線上所有點(x, y, z)。例3 設(shè)空間一動點M在圓柱面 上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于z軸正方向上升，試求該動點M運動軌跡方程。10/10/13第13頁第13

4、頁螺旋線參數(shù)方程取時間t為參數(shù)，動點M從A(a,0,0)點出發(fā)解通過t 時間，運動到M (x, y, z)處在圓 上，因此10/10/14第14頁第14頁螺旋線參數(shù)方程還能夠?qū)憺槁菪€主要性質(zhì)：上升高度與轉(zhuǎn)過角度成正比，即上升高度螺距Pyz0 xatMNQ螺距10/10/15第15頁第15頁三、空間曲線在坐標(biāo)面上投影1. 空間曲線C 投影曲線與投影柱面CSCxyozC稱為曲線C在xoy平面上投影曲線。S稱為曲線C關(guān)于xoy平面投影柱面2. 空間曲線C 投影曲線與投影柱面方程設(shè)空間曲線C普通方程：10/10/16第16頁第16頁消去z得：表示：以曲線C(或C)為準(zhǔn)線，母線平行于z軸柱面曲線C關(guān)于

5、xoy平面投影柱面。表示：曲線C投影柱面與xoy平面交線曲線C在xoy平面上投影曲線。類似地：可定義空間曲線在其它坐標(biāo)面上投影面上投影曲線面上投影曲線10/10/17第17頁第17頁如圖:投影曲線研究過程空間曲線投影曲線投影柱面10/10/18第18頁第18頁例4 求曲線 在坐標(biāo)面上投影。解（1）消去變量z后得在 面上投影為10/10/19第19頁第19頁因此在xoz面上投影為線段:（3）同理在yoz面上投影也為線段:（2）由于曲線在平面 上，10/10/20第20頁第20頁截線方程為解xyz10/10/21第21頁第21頁補充: 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上投影.空間立體曲面10/10/22第22頁第22頁例6 設(shè)一個立體由上半球面 和錐面解半球面和錐面交線為 所圍成，求它在xoy平面上投影。10/10/23第23頁第23頁思考題求橢圓拋物面 與拋物柱面 交線關(guān)于xoy平面投影柱面和在xoy平面上投影曲線方程。解交線方程為在xoy面上投影為10/10/24第24頁第24頁 1.解yxzo得交線L：