真正講透線性代數(shù)在三維空間的應(yīng)用

1、真正講透線性代數(shù)在二、三維空間的應(yīng)用工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的思路之三西安電子科技大學(xué)電子工程系陳懷琛email : HYPERLINK mailto:hchchen1934 hchchen1934摘要：通過用線性代數(shù)對(duì)二三維向量空間進(jìn)行分析和圖解，使學(xué)生大大提高立體概念及其與線性變換、矩陣乘法及矩陣分解的關(guān)系。使得學(xué)習(xí)向量空間的概念更易接受并具有更強(qiáng)的實(shí)用性。我在論文論工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化 中曾經(jīng)提出，對(duì)大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生， 能夠 建立三維立體概念，已經(jīng)是不低的要求了。 其實(shí)教學(xué)計(jì)劃中設(shè)立了好幾門課程幫助達(dá)到這個(gè) 目的，如制圖與畫法幾何，高等數(shù)學(xué)中的多變量微積分等，還有物理中的空間電磁

2、場(chǎng)，數(shù)學(xué)中的場(chǎng)論，電機(jī)課中的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)形成、乃至于信號(hào)處理中的復(fù)信號(hào)等等。線性代數(shù)也應(yīng)該是一個(gè)組成部分。我覺得至少對(duì)于弱電類的專業(yè)，實(shí)現(xiàn)的情況并不太好， 學(xué)生的空間概念還是很弱的，證據(jù)之一是許多學(xué)生，甚至部分畢業(yè)多年的教師，在后續(xù)課中，對(duì)頻譜分析中的負(fù)頻率，對(duì)信號(hào)處理中的復(fù)信號(hào)，都覺得難以理解。對(duì)機(jī)類專業(yè)而言，多自由度機(jī)器人，三坐 標(biāo)測(cè)量?jī)x，各種航行器在空間的運(yùn)動(dòng)， 對(duì)線性代數(shù)在三維空間應(yīng)用的要求更高?，F(xiàn)有的線性代數(shù)在此方面相當(dāng)薄弱，很明顯的一點(diǎn)，就教材中使用的三維圖形數(shù)目來比，中國(guó)教材往往只有美國(guó)教材的10%以下，所以強(qiáng)化三維空間的概念是非常必要的。一、 用二、三維向量來說明向量空間的運(yùn)算規(guī)則

3、二維空間（平面）上的向量及其運(yùn)算規(guī)則，特別是兩個(gè)線性無關(guān)向量的線性組合是學(xué)生理解線性代數(shù)的感性基礎(chǔ)。MIT的教材從下圖講向量的加減運(yùn)算規(guī)則，進(jìn)而列出其線性組圖1向量的相加與相減4c d合b cv dw 。再進(jìn)一步的問題是平面上的任何向量b是否都能由這個(gè)線性組合2c 2d實(shí)現(xiàn)，甚至設(shè)計(jì)了給定 b猜測(cè)c,d的比賽，看誰能估計(jì)出最接近的c,d值。從這里又引入了線性相關(guān)的概念，超定方程的概念（若b不在xy平面上）等。從二維向量引深至三維向量和三維空間，并討論向量的長(zhǎng)度（范數(shù)）、向量的數(shù)量積（美國(guó)的書上還喜歡用點(diǎn)乘（dot product）這個(gè)名詞，MATLAB中也有點(diǎn)乘算符）、向量積和混合 積等。這時(shí)

4、就有了更多的空間概念和圖形。比如圖 2那樣的圖形。而后在講行列式的時(shí)候，又可以拿出圖3的平行六面體說明三階行列式的幾何意義。圖2三維空間的向量相加（左）和向量混合積（右）FIGURE 5.27Parallfh-西汽1圖2三維空間的向量相加（左）和向量混合積（右）FIGURE 5.27Parallfh-西汽1F用URE5 2H和中x人們都說線性代數(shù)是在幾何與代數(shù) 之間建立的一座橋梁。所以把空間解析 幾何放到線性代數(shù)中合并實(shí)施已經(jīng)成為 許多學(xué)校的教學(xué)改革措施。幾何是要用 圖形說明概念的，線性代數(shù)既然作為橋 梁，必然要把圖形，特別是三維立體圖 形放在特別重要的地位，把圖形與代數(shù) 的表述與推導(dǎo)緊密結(jié)合

5、，才能使學(xué)生理 解線性代數(shù)的方法論。線性代數(shù)的大眾 化必須把這一點(diǎn)放在重要地位。而要做 到這一條，必須使對(duì)二三維向量空間的 討論在教材中占主要篇幅。如果突出N圖3三階行列式等價(jià)于此平行六面體的體積維向量空間，那就必然擴(kuò)大了公式推導(dǎo)的篇幅，圖形就沒有地位了!用向量空間概念求超定方程組的解用向量空間的方法往往可以更為簡(jiǎn)捷地推導(dǎo)公式，超定方程組的解可以作為一個(gè)例子。通常采用的是誤差平方和最小的準(zhǔn)則，其解也稱為最小二乘解。國(guó)外所有作為公共課的線性代數(shù)教材，都要講這個(gè)內(nèi)容，國(guó)內(nèi)教材則幾乎避開它。 定三類，工程中要解決的只有前兩類（因?yàn)榍?定方程屬于條件不全的命題，工程師可以拒絕 解），不教學(xué)生解超定方程

6、，等于浪費(fèi)了線性 代數(shù)一半的功能。要嚴(yán)格地推導(dǎo)出最小二乘解 的公式，利用空間幾何概念是最方便而清楚 的。人們都說線性代數(shù)是在幾何與代數(shù) 之間建立的一座橋梁。所以把空間解析 幾何放到線性代數(shù)中合并實(shí)施已經(jīng)成為 許多學(xué)校的教學(xué)改革措施。幾何是要用 圖形說明概念的，線性代數(shù)既然作為橋 梁，必然要把圖形，特別是三維立體圖 形放在特別重要的地位，把圖形與代數(shù) 的表述與推導(dǎo)緊密結(jié)合，才能使學(xué)生理 解線性代數(shù)的方法論。線性代數(shù)的大眾 化必須把這一點(diǎn)放在重要地位。而要做 到這一條，必須使對(duì)二三維向量空間的 討論在教材中占主要篇幅。如果突出N圖3三階行列式等價(jià)于此平行六面體的體積維向量空間，那就必然擴(kuò)大了公式推

7、導(dǎo)的篇幅，圖形就沒有地位了!用向量空間概念求超定方程組的解用向量空間的方法往往可以更為簡(jiǎn)捷地推導(dǎo)公式，超定方程組的解可以作為一個(gè)例子。通常采用的是誤差平方和最小的準(zhǔn)則，其解也稱為最小二乘解。國(guó)外所有作為公共課的線性代數(shù)教材，都要講這個(gè)內(nèi)容，國(guó)內(nèi)教材則幾乎避開它。 定三類，工程中要解決的只有前兩類（因?yàn)榍?定方程屬于條件不全的命題，工程師可以拒絕 解），不教學(xué)生解超定方程，等于浪費(fèi)了線性 代數(shù)一半的功能。要嚴(yán)格地推導(dǎo)出最小二乘解 的公式，利用空間幾何概念是最方便而清楚 的。在圖1例中如果設(shè)b=5;10，求c,d,則可4cd 5以得出以下的聯(lián)立方程：c d 5 ,解得2c 2d 10c=2, d=

8、3。這是適定方程的情況其圖形如右。如果給出的是三維空間的b向量其實(shí)線性方程組只有適定、超定和欠b=5;10;1, 那么，由于41w 2 ,v 2，聯(lián)立方程將成004cd 5為：2c 2d 10b=5;10;1, 那么，由于41w 2 ,v 2，聯(lián)立方程將成004cd 5為：2c 2d 10。由于w,v都在0c 0d 1xy平面上，它們的線性組合絕不能 跑到z=0以外的空間位置去，故而 第三個(gè)方程是矛盾方程。最小二乘解不要求方程左端的合成向量bb準(zhǔn)確地等于b,而是 要求它與b的誤差e在平面上所有 可能的bb中達(dá)到最小，在圖上可圖3簡(jiǎn)單情況下最小二乘解的幾何意義以看出，最小的誤差即 b的矢端離xy

9、平面的垂直距離，也就是應(yīng)該從 b的矢端向xy作的 垂線的長(zhǎng)度。如果v和w不在xy平面上，那么最小二乘誤差 e的特征就應(yīng)該是與 v和w組成的平面垂直，也就是與 v和w都滿足正交條件。vT e = 0, wT e = 0 ,合成一個(gè)向量式:TwAT e = T e=0,。因?yàn)閑=b-bb ,其中b是給te的方程組右漏列向重，bb則是基本向v量的線性組合 bb=cw+dv,其中c,d是待求的常數(shù)向量 x的分量，通常我們用向量x上加一個(gè)帽x來表示，w,v又組成系數(shù)矩陣 A,于是bb = aX , e = b - aX ,代入兩個(gè)正交條件，經(jīng)過如下推導(dǎo) AT b-AX = 0,AtaX ATb1AtAA

10、Tb ,就得到了二三階條件下最小二乘解的公式。設(shè)A為m n矩陣，方程數(shù) m大于變量數(shù)n,稱Ax=b為超定方程，即不可能找到一個(gè)x,滿足Ax b 0。如果我們不尋求理想的數(shù)學(xué)解，而是從工程意義上找到盡量接近理想的解，那就應(yīng)該容許引入誤差向量e。令 e = Ax - b其矩陣形式如下e1e1anKa1nX1b1e2OX2b2eMMMam1LamnMMemXnbmAx -b能把誤差向量值，通常用？表示。能把誤差向量值，通常用？表示。e的范數(shù)最小的x就定義為這個(gè)超定方程的最小二乘解，也稱為x的估計(jì)?= (ATA)-1 ATb由于在推導(dǎo)過程中并未有任何一步對(duì)維數(shù)有過限制，這個(gè)公式在高維的線性代數(shù)方程中同

11、樣適用。在MATLAB 中，把運(yùn)算(AtA) 1At單獨(dú)編成一個(gè)子程序，稱為 pinv函數(shù)，它是 Psuedoinverse (偽逆或廣義逆) 的縮稱。這樣，求最小二乘解的公式可以寫成：x pinv(A)*b, MATLAB把左除求解的符號(hào) x=Ab通用于適定、欠定和超定三種情況， 系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)根據(jù) 系數(shù)矩陣A的維數(shù)n和m進(jìn)行判斷而得出適當(dāng)?shù)慕猓?讀者必須對(duì)這些解能作出正確的判讀， 因此對(duì)于三種方程的解的特性要有清楚的概念。QR分解及施密特正交系的幾何意義從下面的例題開始，先考慮二階的問題。設(shè)兩個(gè)列向量v1=(-1;2),v2=(6;8),組成向量組:A = vA = v1, v21 6,作QR

12、分解：A = QR 2 8-0.4472 0.8944 2.2361 4.47210.8944 0.44720 8.9443在笛卡爾坐標(biāo)系中畫出列向量v1,v2如圖3a, Q滿足正交向量組的條件QTQ=I2。它的兩個(gè)列向量Q(:,1)和Q(:,2)是長(zhǎng)度為1的單位向量， 它們代表了新建立的坐標(biāo)系xl和yl,在圖中畫出了它們的方向。R則是向量v1,v2在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。它的第一列只有一個(gè)元素說 明新坐標(biāo)系的第一根軸取的就是vl方向，第二根軸則按正交分解的要求取的是與vl正交的方向。QR分解實(shí)際上僅僅是一個(gè)正交坐標(biāo)變 換，從原來的笛卡爾正交坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到新的正交 坐標(biāo)系。兩者之間僅僅是轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角

13、度0,其實(shí)Q就是按Qc0ssin 與。關(guān)聯(lián)的：sin cos新坐標(biāo)系的特點(diǎn)是其第一根軸沿著第一根向量，它不改變描述對(duì)象(此處是v1,v2向量組)的形狀和大小。如果兩個(gè)向量v1,v2調(diào)換一下位置，Q和。都會(huì)發(fā)生改變，因?yàn)檫@時(shí)新坐標(biāo)系的第一根軸將取為 v2的方向?，F(xiàn)在來看三維向量的情況，設(shè)三個(gè)列向量 v1=(9;-5;2),v2=(0;7;5),v3=(-1;-9;6),組成向量 組A:用MATLAB語句Q,R=qr(A)作QR分解后，得到：90-1-0.8581-0.2475-0.4499-10.48812.3837-4.5766A-57-9 ,Q0.4767-0.7094-0.5191 ,R0

14、-8.26552.6727256-0.1907-0.65990.7267009.4822同樣可以檢驗(yàn) QtQ=I3,說明Q是歸一化的三維空間正交坐標(biāo)系，R中第一個(gè)列向量只有一個(gè)元素，說明新坐標(biāo)的第一根軸取的是vl方向；R中第二個(gè)列向量有兩個(gè)元素，說明新坐標(biāo)的第二根軸是取在 v1,v2平面上，方向與 vl正交；它的第三個(gè)列向量有三個(gè)元素， 說明它在新坐標(biāo)系的三個(gè)方向都有分量。因?yàn)樵诹Ⅲw圖中畫出三個(gè)列向量和三根新坐標(biāo)軸不xyz占1八、i-0.28-0.03r 0.55占2八、J4.044.593.01占3八、70.720.71-0.13占42.724.21P 6.23占5八、21.971.81-0

15、.32太容易，畫出來了也看不清楚，此處就不畫了。工程中需用QR分解的實(shí)例工程中很多情況都需要建立新的坐標(biāo)系，絕大部 分是正交坐標(biāo)系。各種航行器(飛機(jī)、汽車、船舶、 航天器)都要有自己的機(jī)身坐標(biāo)系。它們與地面笛卡 爾坐標(biāo)系的關(guān)系通常用三個(gè)空間角(歐拉角)來度量,這三個(gè)歐拉角又可以換算為3X3的方向余弦矩陣，通常也都是正交矩陣。機(jī)器人或機(jī)械手的每一個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)多數(shù)都是角度，這類新坐標(biāo)系是建立在實(shí)體對(duì)象上。所以新的正交坐標(biāo)系的變換矩陣應(yīng)該把重點(diǎn)放在旋轉(zhuǎn)角上，不必太強(qiáng)調(diào)以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的QR分解方法。QR分解要求以數(shù)據(jù)點(diǎn)為基準(zhǔn)來建立新坐標(biāo)系，下面是一個(gè)較好的例子：數(shù)控坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)出某氣缸截面上五個(gè)點(diǎn)的

16、x,y,z坐標(biāo)如右表：?jiǎn)栠@五點(diǎn)是近似在一個(gè)平面上嗎？離平面有多大誤差？試寫出該近似平面的數(shù)學(xué)方程；解：根據(jù)工件和夾具的狀況， 被測(cè)平面與笛卡爾坐標(biāo)系呈任意空間關(guān)系，所以從測(cè)得的數(shù)據(jù)無法看出它是否在一個(gè)平面上。最好是建立一個(gè)新坐標(biāo)系， 使它 的xy坐標(biāo)與這些點(diǎn)所在的平面大體重合，在這個(gè)坐標(biāo)系中各點(diǎn)的z坐標(biāo)，就可反映它們對(duì)平面的誤差。(1)把五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)作為列向量組，建立數(shù)據(jù)矩陣Ao它應(yīng)是3X5矩陣。-0.28004.04000.72002.72001.9700A-0.03004.59000.71004.21001.81000.55003.0100-0.13006.2300-0.3200(2)這

17、些點(diǎn)的共面性反映為它們的差向量是否共面，首先求出這五個(gè)點(diǎn)之間的差向量，把點(diǎn)5選為基準(zhǔn)，令 DA為差距咋，則 DA=A-A(:,5)*ones(1,5),它也是3X5矩陣。它的第 五列全為零，是零向量或新坐標(biāo)的原點(diǎn)。 TOC o 1-5 h z -2.2500 2.0700 -1.2500 0.75000DA -1.8400 2.7800 -1.1000 2.400000.8700 3.3300 0.1900 6.55000(3)對(duì)DA作QR變換Q,R=qr(DA),就相當(dāng)于-0.7416-0.09190.66453.0340-2.26621.6486-0.13350Q-0.6065-0.331

18、6-0.7227, R0-4.23870.3012-7.014800.2868-0.93890.1902000.00040.00990可見在新的坐標(biāo)系內(nèi)，五個(gè)點(diǎn)有三個(gè)的 z坐標(biāo)為零，即新坐標(biāo)系的xy平面由1, 2, 5三點(diǎn)確定，其余兩個(gè)點(diǎn)的z坐標(biāo)值也都在0.01以下，說明這五個(gè)點(diǎn)基本共面。其三維立體圖如下。圖 (a)五個(gè)空間測(cè)量點(diǎn)及其擬合平面(b)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)后使擬合平面看似成為一根線下面談的幾個(gè)問題在我們2005年及2007年的教材2,3中已有體現(xiàn)，此處只列出幾個(gè)標(biāo)題和部分圖形。五、 向量在直線上的投影設(shè)向量b=bx,by,bzT,要求用矩陣乘法求它在z軸上和在x-y坐標(biāo)面上的投影。不難看出，在

19、z軸上的投影向量 px為其x坐標(biāo)bx,而在y-z面上的投影向量 pyz則是其在y,z方向 投影by,bz的向量和。用矩陣乘法來描寫投影，可寫出：1 0 0 bx px1 0 0 bx px = A1b0 0 0 by0 0 0 bz0 , Pyz = A2b0 1 0 byA1和A2A1和A2就是分別向x軸和yz平面上的投影矩陣。0 by bz設(shè)有另一個(gè)通過原點(diǎn)向量a=ax,ay,azT,現(xiàn)在要求出b在a上的投影首先要在b的端點(diǎn)向a作垂線，設(shè)它與a的延伸線相交于p=w*a, w是一個(gè)數(shù)，p是投影向量，p影向量，p點(diǎn)也就是b到a的垂足。聯(lián)線向量是向量b與p之差b-p ,它應(yīng)當(dāng)與a正交，因此兩者的

20、數(shù)乘積為零，即:a,(b- w a)aT(b- w a) 0并求出w的值為:a,ba,aaTbra,(b- w a)aT(b- w a) 0并求出w的值為:a,ba,aaTbra a由p=w*a，知 p wa awaaTb-Ta aPbT 1 T 其中P a a a a稱為投影矩陣。求任何向量在向量a及其延伸直線上的投影， 只要將該向量左 乘投影矩陣P即可。o 0圖4.5a 向量b在向量a上的投影例4.2a 設(shè)b=221T, a=2,3,4L求b在a方向的投影長(zhǎng)度，并繪圖說明。解：在三維坐標(biāo)內(nèi)畫出 a,b向量如右，從 b的矢端向向量 a作垂線，與a交于p=w* a 點(diǎn)。用公式（4.2a）很容易

21、求出w的值及p點(diǎn)坐標(biāo)：w=0.4828, p= 0.9655,1.4483,1.9310 T相應(yīng)的MATLAB程序ea402a核心計(jì)算語句如下：a=2,3,4; b=2,2,1; w=a*b/(a*a), p=w*aP=a*a/(a*a), p1=P*b程序運(yùn)行結(jié)果為：w = 0.4828投影向量 p=p1 = 0.9655 1.44831.9310 T0.1379 0.2069 0.2759投影矩陣 P 0.2069 0.3103 0.41380.2759 0.4138 0.5517各向量及其投影的圖形可參閱圖4.5a。ea402a中給出了詳細(xì)的繪圖程序，繪出圖后還要進(jìn)行一定的圖形編輯，才能

22、得到此圖中的箭頭和文字。向量在直線上的投影公式是推導(dǎo)施密 特正交系構(gòu)成公式的基礎(chǔ)，但現(xiàn)在的絕大多數(shù)線性代數(shù)教材都不講推理，而只把施密特正交系的公式列出，讓讀者驗(yàn)證它們的正交性，所以避開了投影的公式，弄得許多線性代數(shù)老師都不知道施密特是如何推導(dǎo)出他的公式的。八、向量在平面上的投影設(shè)有兩個(gè)通過原點(diǎn)的三維列向量v1=ax,ay,azT, v2=a八、向量在平面上的投影設(shè)有兩個(gè)通過原點(diǎn)的三維列向量v1=ax,ay,azT, v2=ax,ay,azT,系數(shù)矩陣A=v1,v2為3X2維，張成了一個(gè)平面首先要在b的端點(diǎn)向 就是b到a的垂足。a,現(xiàn)要求出向量b在a上的投影p。a作垂線，設(shè)它與a的延伸線相交于

23、點(diǎn)p, p是投影向量，p點(diǎn)也它位于v1,v2張成的平面內(nèi)，所以可寫成它們的線性組合x1 p SY Xv1,v2 X聯(lián)線向量是向量b與p之差e=b-p ,它應(yīng)當(dāng)與a正交，因此與v1,v2兩個(gè)向量的數(shù)乘積都為零,即:Y，(b-p) v2,(b-p) Y，(b-p) v2,(b-p) 并求出X的值為：v1T (b - aX)v2T (b - aX)AtaX ATb解:ATAaXataA AtA1 ATbata解:ATAaXataA AtA1 ATbata1ATataATb1 ATbPb ,其中ataAtMATAB程序?yàn)椋篈=1,0;1,1;1,2;b=6;0;0P=A*inv(A*A)*A,下面研究

24、如何用投影矩陣方便地將立體圖形投影到由 圖形為一個(gè)(長(zhǎng)1寬1.5高2)的一筆畫立方體 C,它有 故形成一個(gè)3X10的數(shù)據(jù)矩陣。a1,a2張成的傾斜平面上。設(shè)立體8個(gè)頂點(diǎn)，原點(diǎn)及另一點(diǎn)經(jīng)過兩次，001100C 0 1.5 1.500 000000201.5211.52投影到a1,a2張成的傾斜平面上的投影數(shù)據(jù)為D,則D=P*C ,得至U：00.51,33330.83330-0.33330.16671.00.50.833300.50,83330.333300.66671.16671.51.00.333300.50.3333-0.166701.6 6672.16672.01.5-0.1667將向量a1,a2,立體一筆畫圖形 C及其投影D均畫在同一張圖的左右子圖上。 用MATLAB 的三維圖形轉(zhuǎn)動(dòng)功能，讀者可用用鼠標(biāo)來旋轉(zhuǎn)此圖形。在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，可以使 a1,a2及D轉(zhuǎn) 成一根直線，表明這幾個(gè)圖形是共面的，D是一個(gè)平面圖形（投影），而立體圖C則在任意轉(zhuǎn)動(dòng)過程中保持它的三維形像。電影、照片和動(dòng)畫就是把三維圖形和圖像轉(zhuǎn)換到二維平面上，投影是轉(zhuǎn)換的手段之一。線性代數(shù)在這個(gè)領(lǐng)域也有