高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)實(shí)用版文檔

1、三角函數(shù) 1. 與 （ 0 360） 終 邊 相 同 的 角 的 集 合 （ 角 與 角 的 終 邊 重 合 ）： x | k 360 , k Z y 32終邊在 x 軸上的角的集合： | k 180 , k Z 4sinx sinx 1cosx cosx 終邊在 y 軸上的角的集合： | k 180 90 , k Z cosx cosx 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： | k 90 , k Z 1sinx sinx 423終邊在 y=x 軸上的角的集合： | k 180 45 , k Z SIN COS 三角函數(shù)值大小關(guān)系圖 1, 2, 3, 4 表示第一,二,終邊在 y x 軸上的角的集合：

2、| k 180 45 , k Z 三, 四象限一半所在區(qū)域 如角 與角 的終邊關(guān)于 x 軸對(duì)稱,就角 與角 的關(guān)系： 360 k 如角 與角 的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱,就角 與角 的關(guān)系： 360 k 180 如角 與角 的終邊在一條直線上,就角 與角 的關(guān)系： 180 k 角 與角 的終邊相互垂直,就角 與角 的關(guān)系： 360 k 90 2. 角度與弧度的互換關(guān)系： 360=2180= 1 =57 18 留意：正角的弧度數(shù)為正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)為零 . ,弧度與角度互換公式： 1rad 180 =57 18 1 （ rad） 180 3,弧長公式： l | | r. 扇形面積

3、公式： s 扇1lr 1| | r222形 4,三角函數(shù)：設(shè) 是一個(gè)任意角,在 的終邊上任?。ó愑?y a 的終原點(diǎn)的）一點(diǎn) P（x,y ） P 與原點(diǎn)的距離為 r ,就 sin y ； r邊 P（ x,y cos x ； tan y ； cot x ； sec r；. csc r. orx x y x y r5,三角函數(shù)在各象限的符號(hào)： （一全二正弦,三切四余弦） y + x y -o-+ x y y P T + o-o + + x -+ -O MA x 正弦,余割 余弦,正割 正切,余切 16. 幾個(gè)重要結(jié)論:6,三角函數(shù)線 余弦線： OM; 正切線： AT. 1 y x 2 y |sin

4、x|cosx| 正弦線： MP; sinxcosx|cosx|sinx| |cosx|sinx| O O x cosxsinx |sinx|cosx| 3 如 ox ,就 sinxxtanx 2第 1 頁,共 7 頁7. 三角函數(shù)的定義域： 三角函數(shù) sintan cos cot 定義域 1, k Z f x sinx x | x Rf x cosx x | x Rf x tanx x | x x R 且 k 2f x cotx x | x R 且 x k , k Z Z f x secx 1, k x | x x R 且 k 2f x cscx x | x R 且 x k , k Z 8,同

5、角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： cos sin tan cot 1csc sin 1sec cos 112 sin 2 cos 12 sec 2 tan 12 csc 2 cot 9,誘導(dǎo)公式： k 把 2的三角函數(shù)化為 的三角函數(shù),概括為： “奇變偶不變,符號(hào)看象限” 三角函數(shù)的公式： （一）基本關(guān)系 公式組一 公式組二 x sin x 公式組三 sinxcscx=1 tanx= sin x cos x 2 2sin x+cos x=1 sin2k sin x sin x cos2k x cosx cosx cosx x= cos x sin x cosx secx=1 2 21+tan x =s

6、ec x tan2kx tan x x tan x tanxcotx=1 2 21+cot x=csc x cot2k x cot x tanx cot x 公式組四 公式組五 公式組六 2 cos2cot sin x sin x sin2 x sin x sin x sin x cos x cosx cos2 x cosx cos x cosx tanx tan x tan2 x tan x tanx tan x x cot x cot2 x cot x x cot x （二）角與角之間的互換 cot cot 112 sin2公式組一 公式組二 cos cos cos sin sin sin

7、 2 2sin cos cos cos cos sin sin cos 2 cos2sin2sin sin cos cos sin tan2 12 tan 2 tan sin sin cos cos sin sin 21 cos 2tan tan tan cos 21 cos 1 tan tan 2第 2 頁,共 7 頁tan tan tan tan 21cos sin 21 cos 公式組五 1 tan tan 1cos 1cos sin 公式組三 公式組四 1 cos 2sin sin 2 tan 22sin cos 1 2sin 2sin cos sin 1 2sin sin sin 1

8、2cos 2 1 tan cos 2 1 tan cos cos 1 2cos cos cot15 cot tan 122sin sin 1 2cos cos 2 1 tan cos 12sin 2sin sin cos 22 sin 1 tan 2cot tan 2 tan 22sin sin 2 cos 2sin 2cos cos 2 cos 2cos 21 sin 2cos 2 1 tan2cos cos 22sin 2sin 2 tan 75 cos 75 64, , tan 15 cot 75 3 ,. 3sin 15 sin 75 cos15 64210. 正弦,余弦,正切,余切函

9、數(shù)的圖象的性質(zhì)： 定義域 y sin x y cosx y tan x y cot x y A sin x （ A , 0） RRx | x R 且 x k 1, k Z x | x R 且 x Rk , k Z R2值域 1, 1 1, 1 RA, A 周期性 22奇函數(shù) 奇函數(shù) 2奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 當(dāng) 0, 非奇非偶 單調(diào)性 22k , 2k 1 , ； 2k , 2k k , k 1上為減函 當(dāng) 0, 奇函數(shù) 2k 2 A, 2k 數(shù)（ k Z ） 上 為 增 函 上 為 增 函 數(shù) 22k 2k 1 A 數(shù) （ k Z ） 上 為 增 函 2k , 2數(shù) ； 2k 1 上為增函數(shù)

10、； 上 為 減 函 22k , 數(shù) 2k 2 A, 3 22k （ k Z ） 2k 3 A 上 為 減 函 2數(shù)（ k Z ） 上 為 減 函 數(shù) 第 3 頁,共 7 頁留意： y sin x 與 y sin x 的單調(diào)性正好相反； y cosx 與 y （ k Z ） cos x 的單調(diào)性也同樣相 反.一般地,如 y f x 在 a, b 上遞增（減） ,就 y f x 在 a, b 上遞減（增） . y y sin x 與 y cosx 的周期是 . y sin x 或 y cos x （ 0 ）的周期 T 2. x O y tan x 的周期為 2（ T T 2,如圖,翻折無效） .

11、2 y sin x 的對(duì)稱軸方程是 x k （ k Z ）,對(duì)稱中心（ k ,0）； y cos x 的 2對(duì)稱軸方程是 x k （ k Z ）,對(duì)稱中心 （ k 12 ,0 ）；y tan x 的對(duì)稱中心 （ k 2 ,0 ）. 原點(diǎn)對(duì)稱 y cos 2x y cos 2 x cos 2 x 當(dāng) tan tan 1, k k Z ； tantan 1, k k Z . 2 2 y cosx 與 y sin x 2k 是同一函數(shù) ,而 y x 是偶函數(shù),就 2y x sin x k 1 cos x .2函數(shù) y tan x R 上為增函數(shù) .（ ） 只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增 . 如在整個(gè)定義

12、域, 在 y tan x 為增函數(shù),同樣也是錯(cuò)誤 . 的 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是 f x 具有奇偶性的必要不充分條件 .（奇偶性的兩個(gè)條件： 一是定 義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要） ,二是中意奇偶性條件,偶函數(shù)： f x f x ,奇函數(shù)： f x f x ） 奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反 . 例如： y tan x 是奇函數(shù), y tan x 1 是非奇非偶 .（定 3義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 奇函數(shù)特有性質(zhì)：如 0 x 的定義域,就 f x 確定有 f 0 0 .（ 0 x 的定義域,就無此性 質(zhì)） y sin x 不是周期函數(shù)； y sin x 為周期函數(shù)（ T ）； y x y 1/2 x y=

13、cos|x| 圖象 y=|cos2x+1/2|圖象 第 4 頁,共 7 頁y cos x 是周期函數(shù)（如圖） ； y cosx 為周期函數(shù)（ T ）； y cos 2x 1 的周期為 （如圖）,并非全部周期函數(shù)都有最小正周期,例如： 2y f x 5 f x k , k R . y a cos b sin a 2 b 2 sin cos b有 a 2b 2y . a11,三角函數(shù)圖象的作法： ）,幾何法： ）,描點(diǎn)法及其特例 五點(diǎn)作圖法（正,余弦曲線） ,三點(diǎn)二線作圖法（正,余切曲 線） . ）,利用圖象變換作三角函數(shù)圖象 三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換,周期變換和相位變換等 函數(shù) y Asin

14、（ x ）的振幅 |A| ,周期 T 2,頻率 f 1| | ,相位 x ; 初相 | | T 2（即當(dāng) x0時(shí)的相位）（當(dāng) A 0, 0時(shí)以上公式可去確定值符號(hào)） , 由 y sinx 的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變, 縱坐標(biāo)伸長 （當(dāng) |A| 1）或縮短 （當(dāng) 0 |A| 1）到原先的 |A|倍,得到 y Asinx 的圖象, 叫做 振幅變換 或叫沿 y 軸的伸縮變換 （用 y/A 替換 y） 由 y sinx 的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變, 橫坐標(biāo)伸長 （ 0 | | 1）或縮短 （ | | 1） 到原先的 1 | | 倍,得到 y sin x 的圖象,叫做 周期變換 或叫做沿 x 軸的伸

15、縮變換 用 x 替換 x 由 y sinx 的圖象上全部的點(diǎn)向左 （當(dāng) 0）或向右 （當(dāng) 0）平行移動(dòng) 個(gè)單位, 得到 y sin（ x ）的圖象,叫做 相位變換 或叫做沿 x 軸方向的平移 用 x 替換 由 y sinx 的圖象上全部的點(diǎn)向上 （當(dāng) b 0）或向下 （當(dāng) b 0）平行移動(dòng) b個(gè)單位, x 得到 y sinx b 的圖象叫做沿 y 軸方向的平移 （用 y+-b 替換 y） 由 y sinx 的圖象利用圖象變換作函數(shù) y Asin（ x ）（ A 0, 0）（ x R）的 圖象, 要特別留意： 當(dāng)周期變換和相位變換的先后次序不同時(shí), 原圖象延 x 軸量伸縮量的區(qū) 別； 4,反三角

16、函數(shù)： 函數(shù) y sinx, x , 2 2 的反函數(shù)叫做 反正弦函數(shù) ,記作 y arcsinx,它的定義域是 1, 1,值域是 , 2 2 函數(shù) y cosx,（x 0,）的反應(yīng)函數(shù)叫做 反余弦函數(shù) ,記作 y arccosx,它的定 義域是 1, 1,值域是 0, 函數(shù) ytanx, x , 2 2 的反函數(shù)叫做 反正切函數(shù) ,記作 y arctanx,它的定義域是 （ ,）,值域是 , 2 2 第 5 頁,共 7 頁函數(shù) yctgx, x（ 0,）的反函數(shù)叫做 反余切函數(shù) ,記作 y arcctgx,它的定義域 是（,） ,值域是（ 0, ） II. 競賽學(xué)問要點(diǎn) 一,反三角函數(shù) .

17、1. 反三角函數(shù)： 反正弦函數(shù) y arcsin x 是奇函數(shù), 故 arcsin x arcsin x ,x 1,1（一 定要注明定義域,如 x , ,沒有 x 與 y 一一對(duì)應(yīng),故 y sin x 無反函數(shù)） 注： sinarcsin x x , x 1,1 , arcsin x , . 2 2 反余弦函數(shù) y arccosx 非奇非偶,但有 arccos x arccosx 2k , x 1,1 . 注： cosarccos x x , x 1,1 , arccos x 0, . y cos x 是偶函數(shù), y arccosx非奇非偶,y sin x y arcsin x 為奇函數(shù) .

18、而 和 反正切函數(shù)： y arctanx ,定義域 , ,值域（ , ）, y arctanx 是奇函數(shù), 22arctan x arctan x , x , . 注： tanarctan x x , x , . 反余切函數(shù)： y arc cot x ,定義域 , ,值域（ , ）, y arc cot x 是非奇非偶 . 2 2 arc cot x arc cot x 2k , x , . 注： cot arc cot x x , x , . y arcsin x 與 y arcsin1 x 互為奇函數(shù), y arctanx 同理為奇 y arccosx 與 y arc cot x 非奇非偶但中意 arccos x arccosx 2k , x 1,1 arc cot x arc cot 而 x 2k , x 1,1 . 正弦,余弦,正切,余切函數(shù)的解集： a 的取值范疇 解集 Z Z sin 3 a 的取值范疇 解集 Z sin sin x a 的解集 cos x a 的解集 a 1 a1 a =1 x | x 2k arcsin a