高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)歸納

1、必修 2 學(xué)問(wèn)點(diǎn)歸納其次章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其論證第一章 空間幾何體1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)：空間幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體和簡(jiǎn)潔組合體常見(jiàn)的 多面體 有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見(jiàn)的 旋轉(zhuǎn)體 有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球；簡(jiǎn)潔組合1、公理 1：假如一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)；ABlAl BllA,B體的構(gòu)成形式：中（ 1）（2）物體表示的幾何體；公理 1 的作用：判定直線是否在平面內(nèi)A,B,C確定平面一種是由簡(jiǎn)潔幾何體拼接而成,例如課本圖1.1-112、公理 2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面；一種是由簡(jiǎn)潔幾何體截去或挖去一部分而成,例如課本圖1.1-11中（

2、 3）（4）物體表示的幾何體；C AB如 A,B, C不共線,就推論 1：過(guò)直線的直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面簡(jiǎn)潔組合體Al如 Al ,就點(diǎn) A 和 l 確定平面推論 2：過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面棱柱 ：有兩個(gè)面相互平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平Aml如 mnA ,就m n確定平面行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱；棱臺(tái)： 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分,這樣的多面體叫做推論 3：過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面如 mn ,就m n確定平面棱臺(tái)；m n1、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影

3、線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照耀下的投影叫平行投影,平行投影的投影線是平行的；（1）定義：正視圖 ：光線從幾何體的前面對(duì)后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖 ：光線從幾何體的左面對(duì)右面正投影得到的投影圖；公理 2 及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據(jù)；3、公理 3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn) 的公共直線；俯視圖 ：光線從幾何體的上面對(duì)下面正投影得到的投影圖；P,PP Ll且Pl幾何體的 正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖 ；（2）三視圖中反應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高的特點(diǎn)：“ 長(zhǎng)對(duì)正” ,“ 高平齊” ,“ 寬相等”2、空間幾何體的直觀圖（表示空間圖

4、形的平面圖）. 觀看者站在某一點(diǎn)觀看幾何體,畫(huà)出的圖形 . 3、斜二測(cè)畫(huà)法的基本步驟：公理 3 作用：（ 1）判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)；（2）證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等；bac 建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy （盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）4、公理 4：也叫平行公理, 平行于同一條直線的兩條直線平行.ab c 建立斜坐標(biāo)系 xO y,使 xOy =45 0（或 135 0）,留意它們確定的平面表示水平平面； 畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形 ,在已知圖形平行于 X 軸的線段, 在直觀圖中畫(huà)成平行于 X 軸,且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于 Y軸的線段, 在直觀圖中畫(huà)成平行于 Y 軸,且長(zhǎng)度變?yōu)樵鹊囊话耄灰话愕?原圖的面積是

5、其直觀圖面積的 2 2倍,即 S 原圖2 2 S 直觀4、空間幾何體的表面積與體積公理 4 作用：證明兩直線平行；5、定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；aaa b a1 b且1 與2 方向相同1 b2baa1a2 b a b b且 方向相同就 1 與 1 22 b2 方向相反 方向相反就 1 2 180 1+ 2 180 圓柱側(cè)面積 ；S 側(cè)面2rl作用：該定理也叫等角定理,可以用來(lái)證明空間中的兩個(gè)角相等；r6、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面；ab,abA,a b異面llS側(cè)2r.l（ 1）沒(méi)有任何公共點(diǎn)的兩條直線平行a（ 2）有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線相交AbrA

6、AB=2 rB（ 3）不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線7、線面位置關(guān)系：aa圓錐側(cè)面積：S側(cè)面rl1a2AA3圖中：扇形的半徑長(zhǎng)為l,l圓心角為 ,弧 AB的長(zhǎng)（ 1）直線在平面內(nèi),直線與平面有很多個(gè)公共點(diǎn)；aVL .l注：扇形的弧長(zhǎng)等于 圓心角乘以半徑 .提示圓心角為弧度角,例如 60 3弧度,（ 2）直線和平面平行,直線與平面無(wú)任何公共點(diǎn)；alhlrB（ 3）直線與平面相交,直線與平面有唯獨(dú)一個(gè)公共點(diǎn)；aA45 弧度, 90 4 2弧度等等 圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是扇形,8、面面位置關(guān)系：平行、相交；扇形面積S扇形 12弧長(zhǎng)圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面半徑rlRl9、線面平行： （即直線與平面無(wú)任

7、何公共點(diǎn)）O 1rhlO 2RRO判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,就該直線與此平面平行；（只需在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行就可以）a體積公式：h；V 錐體1Sh；rdO1V柱體S3d= R 2-r2ba/V 臺(tái)體1h S 上S 上S 下S 下a/b3球的表面積和體積：證明兩直線平行的主要方法是：S球4R2,V球4R3. 一般地,面積比等于相像比的平方,體積比等于相像比的立方； 三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半；3 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行； 線面平行的性質(zhì)：假如一條直線平行于一個(gè)平面,經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交,那 12、面

8、面垂直：么這條直線和它們的交線平行；定義：兩個(gè)平面相交,假如它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直；aaabb 平行線的傳遞性：ab cbac判定：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,就這兩個(gè)平面垂直； 面面平行的性質(zhì)：假如一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交,那么它們的交線平行；l（只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線就可證明面面垂直）aabl 性質(zhì)：兩個(gè)平面相互垂直,就一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；blml垂直于同一平面的兩直線平行；aa bblm直線與平面平行的性質(zhì)：假如一條直線平行于一個(gè)平面,經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相證明兩直線垂直和主要方法：利用勾股定理證明兩相交直

9、線垂直；交,那么這條直線和它們的交線平行；（上面的）10、面面平行： （即兩平面無(wú)任何公共點(diǎn)）利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；（ 1）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,就這兩個(gè)平面平行；利用線面垂直的定義證明（特殊是證明異面直線垂直）；a,b利用三垂線定理證明兩直線垂直（“ 三垂” 指的是“ 線面垂”“ 線影垂” ,“ 線斜垂” ）斜P(pán)如圖：PO又直O(jiān)A 是PA 在平面上的射影aPAabA線a,且aOAa,bA影Oa線即：線影垂直線斜垂直,反之也成立；判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面上的兩條直線分別平行,兩平面利用圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角,此外

10、仍有正方形、菱形對(duì)角線相互垂直等結(jié)論；空間角及空間距離的運(yùn)算平行 a b1. 異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角,通常在在兩異面直線中的一abA條上取一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)作另一條直線平行線,aa bb如圖：直線 a與b異面, b/b,直線 a與直線 b 的夾角為兩異a b（ 2）兩平面平行的性質(zhì)：性質(zhì)：假如一個(gè)平面與兩平行平面都相交,那么它們的交線平行；面直線a與 所成的角,異面直線所成角取值范疇是（b0 ,90 2. 斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角；如圖： PA 是平面的aab一條斜線, A為斜足, O為垂足, OA叫斜線 PA在平面上射影,PAO 為 線面角 ；b性質(zhì)

11、：平行于同一平面的兩平面平行；3. 二面角：從一條直線動(dòng)身的兩個(gè)半平面形成的圖形,如圖為二面角 l,二面角的大小指的是二面角的平面角的大?。欢娼堑钠矫娼欠謩e在兩個(gè)半平面內(nèi)且角的兩邊與二面角的棱垂直性質(zhì)：夾在兩平行平面間的平行線段相等；如圖：在二面角-l-中, O棱上一點(diǎn),OA,OB,A CACBD且OAl OBl,就AOB為二面角-l-的平面角；用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關(guān)鍵點(diǎn)是：明確構(gòu)成二面角兩個(gè)半平面和棱；明確二面角的平面角是哪個(gè)？B DABCD性質(zhì)：兩平面平行,一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行；而要想明確二面角的平面角,關(guān)鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直；（求空間角的三個(gè)

12、步驟是“ 一找”、“ 二證” 、“ 三運(yùn)算” ）aa或aa4. 異面直線間的距離：指夾在兩異面直線之間的公垂線段的長(zhǎng)度；如圖 PQ 是兩異面直線間的距離（異面直線的公垂線是唯獨(dú)的,指與兩異面直線垂直且相交的直線）11、線面垂直：5. 點(diǎn)到平面的距離：指該點(diǎn)與它在平面上的定義：假如一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線,那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直；射影的連線段的長(zhǎng)度；判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,就該直線與此平面垂直；如圖： O為 P在平面上的射影,lmAllnmnm n性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；線段 OP的長(zhǎng)度為點(diǎn)P 到平面的距離求法通常有：定義法和等體積法等

13、體積法：就是將點(diǎn)到平面的距離看成是三棱錐的一個(gè)高；如圖在三棱錐 VABC中有：V SABCVA SBCV B SACV C SABaabl第三章直線與方程F x y , Ax By C0 有如下兩個(gè)對(duì)應(yīng)：b性質(zhì)：垂直于同始終線的兩平面平行1. 直線方程的概念：一條直線 l 與一個(gè)二元一次方程l直線 l 上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) , x y 都滿意方程F x y , Ax By C0；方程組求解,即：A xB yC10以方程F x y , AxBy C0的解為坐標(biāo)的點(diǎn) , x y 都在直線 l 上；A xB yC20就稱方程F x y , AxBy C0為 直線 l 的方程 ,直線 l 為 方程的直線；

14、當(dāng)有唯獨(dú)解時(shí), 兩直線相交； 當(dāng)無(wú)解時(shí), 兩直線平行； 當(dāng)有很多個(gè)解時(shí),兩直線重合 ；2. 直線傾斜角的定義：把直線向上的方向與x軸的正方向形成的最小正角叫直線（ 2）過(guò)兩直線l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20交點(diǎn)的 直線系方程 為：的傾斜角；A xB yC1A xB yC203. 直線傾斜角的范疇：0180,當(dāng)直線與x軸平行或者是重合時(shí),傾斜角為04. 直線斜率的定義：傾斜角不為 90 直線, 傾斜角的正切值叫直線的斜率；將含有一個(gè)參數(shù)的直線方程化為直線系方程記作ktan90 的樣式就可解決直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 ；當(dāng)傾斜角為 90 時(shí)直線的斜率不存在；（ 3）兩點(diǎn)間距離公式：P

15、P 12x2x12y2y125、直線 l 過(guò)點(diǎn)P x 1,y1,P x 2,y 2,就直線的斜率為：ky 2y 1x 1x 2x 2x 1（ 4）點(diǎn)P 0 x 0,y0到直線l:AxByc0距離公式：dAx0ABy02C6、直線方程的表示形式：2B點(diǎn)斜式 ：yy0kxx0,（ 5）兩平行線間的距離公式：對(duì)于直線當(dāng)斜率不存在 時(shí),直線與 x 軸垂直,傾斜角為90,l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20,1l 與2l 間的距離為：d|CC|AB此時(shí)直線方程為：xx ,如右圖,特 別地 y 軸所在（ 6）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：xx 12x 2,A x 1,y 1,B x 2,y 2,M x

16、 y 是線段 AB的中點(diǎn)；直線方程為x0；當(dāng)直線斜率k0時(shí),直線與 x 軸平行或者是重合yy 1y 2直線方程為：yy , x 軸所在的直線方程為 0y0；2斜截式：ykxb（ b 為直線在 y 軸上的 截距 ）第四章圓與方程當(dāng)直線過(guò) y 軸上肯定點(diǎn) 0,b時(shí),通常設(shè)直線方程為：ykxb,例如直線l過(guò)定點(diǎn)0, 2,1、圓的第肯定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.PM , x y |MO|r圓的其次定義：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)（不等于1）的點(diǎn)的集合；設(shè)l:ykx2；當(dāng)直線過(guò) x 軸上肯定點(diǎn)（a,0）時(shí),通常設(shè)直線方程為：xmya, 例如直線l過(guò)定點(diǎn)2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：xa2yb2r2,圓心

17、為 , a b ,半徑為 r ；2, 0 ,設(shè)l:xmy2兩點(diǎn)式 ：yy 1xx 1y2x23、圓的一般方程：x2y2DxEyF0D2E24F0；y 1x 1截距式 ：xy1a0,b0,ab一般地,問(wèn)題中顯現(xiàn)兩個(gè)截距 時(shí),通常設(shè)直線方程為xy1 a0,b0；圓心為 D,E,半徑r1D2E24F ；222ab方程中a b 分別表示直線的 橫截距和縱截距,當(dāng)D2E24F0時(shí),方程x2y2DxEyF0表示點(diǎn)D,E一般地,在直線方程中,令y0可求得橫截距 a ,令x0可求得縱截距 b22當(dāng)D2E24F0時(shí),方程x2y2DxEyF0不表示任何圖形；一般式 ：AxByC0A2B20,全部直線方程都可化為一

18、般式；當(dāng)B0,直線的 斜率kA,當(dāng)B0時(shí),直線 斜率不存在 ,方程可化為xC4、點(diǎn)P x,y與圓xa2yb22 r 的位置關(guān)系的判定：BA7、兩直線的位置關(guān)系的判定：（1）當(dāng)P x0,y 0滿意x 0a2y0b2r2時(shí)點(diǎn) P 在圓上；當(dāng)兩直線傾斜角相等時(shí),即時(shí),兩直線 平行 ；當(dāng)兩直線傾斜角滿意|90時(shí),兩直線 垂直 ；（2）當(dāng)P x0,y 0滿意x 0a2y0b2r2時(shí)點(diǎn) P在圓內(nèi)；當(dāng)兩直線傾斜角不相當(dāng)時(shí),兩直線相交 ；對(duì)于直線l1:yk xb 1,l2:yk xb 有：（3）當(dāng)P x0,y 0滿意x 0a2y0b2r2時(shí)點(diǎn) P在圓外；l1/ /l2k1k2；1l 和2l 相交k 1k ；5

19、、求圓方程的方法,主要有兩種：（1） 待定系數(shù)法 ：使用待定系數(shù)法求圓方程的一般步驟：依據(jù)提設(shè),挑選標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；b 1b 21l 和2l 重合k 1k2；l1l2k k 121. 依據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r 或 D、 E、F 的方程組 ；解出 a、b、r 或 D、 E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；b 1b2（2） 利用三角形外心的定義及其垂徑定理求圓心坐標(biāo)；對(duì)于直線l1:A xB yC10,l2:A xB yC20有：三角形 外心 的定義：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)就是外心； 垂徑定理 ：垂直于弦的半徑平分弦并平分弦所對(duì)的弧；l1/ /l2A B 2A B 1；（2）1l和2l相交A

20、B 12A B ； 弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)圓心,因此求出兩條弦的垂直平分線方程,聯(lián)立解方程組求得圓心坐標(biāo),而圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都等于半徑,最終寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；6、直線與圓的位置關(guān)系的判定：BC2B C11l 和2l 重合A B 1 2A B 2 1；l1l2A A2B B20. 幾何法 （ 1）相切 ：圓心到直線的距離dr；（ 2） 相交 ：圓心到直線的距離dr ；B C2B C1（ 3） 相離 ：圓心到直線的距離dr ；8、交點(diǎn)與距離公式（ 1）兩直線l1:A xB yC10,l2:A xB yC20的交點(diǎn)坐標(biāo)需將兩直線方程組成l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0kx2l:Ax

21、+By+C=0如圓心C 到公共弦的距離 1等于 半徑1r ,或者是圓心C 到公共弦的距離 2等于 半徑2r ,就兩圓d r Ca,b |Ax0+By0+C|圓 C:（x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2d rCa,b |Ax0+By0+C|圓 C:（ x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2dr Ca,bd=|Ax0+By 0+C|A2+B2圓 C:（x-a2+y-b 相離： dr2=r2相切： d=r相切： dr 1+r 2外切 :有一個(gè)公共點(diǎn),相交 :有兩個(gè)公共點(diǎn),圓心距 |r 1-r2 | C1C2 r1+r 23. 空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：對(duì)于空間任一點(diǎn)M,作出 M點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸Ox軸、Oy軸、圓心距 C 1C 2 r1+r 2Oz 軸上的 射影 ,如射影在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z,就把 有序?qū)崝?shù)組 x, y, z叫做C1r 1r 2C 2C1r 1r2C2C1r 1r 2C 2M點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作Mx, y, z,其中 x 叫做點(diǎn) M的 橫坐標(biāo) ,y 叫做點(diǎn) M的 縱坐標(biāo) , z 叫做點(diǎn) M的豎坐標(biāo) . 4. 坐標(biāo)軸上的