高中數(shù)學(xué)知識(shí)歸納典型試題

1、數(shù)學(xué)必修4 學(xué)問歸納1 r a d1805 7 . 3一、任意角 （逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)正角,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)負(fù)角）1、與終邊相同的角的集合：|2k,kZ2、弧度制（ 1）l, lr（2）180rad1180radr（ 3）扇形面積 S1lr1r222二、任意角的三角函數(shù)1、定義2、三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：1、sin2cos21；tansin；t anco t1 2、特殊角的三角函數(shù)值：cos四、誘導(dǎo)公式（口訣：縱變橫不變,符號(hào)看象限）五、三角恒等變換思想方法：切化弦、平方降冪的思想；化為同角、同名的思想；sin21cos2拆角的思想：如 , 2 等1、兩角和與差的正弦、余弦、

2、正切公式及倍角、降冪公式：sinsincoscossin令sin22sincoscoscoscossinsin令cos22 cossin2cos22cos21降冪公式：2 cos1+cos2,cos212sin222tantantan令tan 212tan21tantantan2、幫助角公式（合一思想）：關(guān)鍵是“提斜邊”asinxbcosxa2b2sinx（是幫助角,a22 b是斜邊）3、正余弦 “ 三兄妹”： sinxcosx 、 sinxcosx 、 sin cos x 知一求二內(nèi)在聯(lián)系 ：sinxcos 212sinxcosx1sin 2x六、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切

3、函數(shù)的圖象與性質(zhì)的比較（見書）1、會(huì)用 “ 五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y2xAsinxB 的圖象： 步驟： 設(shè) Xxx,令 X 0,2,3, 2求相應(yīng)的2列表：x 值及對(duì)應(yīng)的 y 值試一試： 請(qǐng)用“ 五點(diǎn)法” 畫出函數(shù)y2sin2描點(diǎn)作圖6在一個(gè)周期內(nèi)閉區(qū)間的圖象x360222137561231212y0 2 0 2 0 2、函數(shù)yAsinx1B 的圖象變換（伸縮變換與平移變換）x 相位特殊留意 ：ysinxxysinx,應(yīng)向左或向右平移|個(gè)單位長度試一試： 函數(shù)y3sin62的圖象可以由ysinx 的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？23、函數(shù)yAsinx表達(dá)式的確定：幾個(gè)物理量： A 振幅T2 周期f1 頻率

4、 初相T步驟： A 由最值確定由周期確定由圖象上的特殊點(diǎn)確定,七、解三角形：1、內(nèi)角和定理 ： ABC, ABC,sinABsinC , cosABcosC , sinABcosC222、正弦定理 ：aAbBcC2R（ R 為 ABC 外接圓的半徑 . sinsinsinc；留意 ： 正弦定理的一些變式：a b csinAsinBsinC；sinAa, sinBb, sinC2R2R2Ra2 RsinA ,b2 sinB ,c2RsinC 解三角形時(shí),如運(yùn)用正弦定理,就務(wù)必留意可能有兩解3、余弦定理4、面積公式 ：S1 2ah a1 2absinC1 2r abc （其中 r 為三角形內(nèi)切圓半

5、徑）. 八、平面對(duì)量1、平面對(duì)量的概念（ 1）定義（ 2）零向量（ 3）單位向量（ 4）平行向量（共線向量）2、平面對(duì)量的線性運(yùn)算（ 1）向量的加法與減法| 三角形法就 平行四邊形法就,使得 ba（ 2）向量的模性質(zhì)：a| | |ab|a|b|（ 3）向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)3、平面對(duì)量的數(shù)量積（ 1）平面對(duì)量數(shù)量積的定義投影 . （留意： 用幾何法運(yùn)算 a 和 b 的夾角時(shí),必需先判定a 與b 是否共起點(diǎn) ）（ 2）夾角與數(shù)量積 a b之間的關(guān)系（ 3）數(shù)量積的三個(gè)運(yùn)算律： 交換律 a bb a； 對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律：ab2a b ab ab ab a2b2b a22

6、a b2 b , 安排律 ab ca cb c 由此可得：a留意 ：結(jié)合律是對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合,對(duì)向量一般是不成立的,即a b cab c 4、平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算（ 1）平面對(duì)量基本定理【定理 2】： 平面上四點(diǎn)P、 、 、C滿意PCxPAyPB ,xy1A、 、C 三點(diǎn)共線（ 2）任意兩點(diǎn)組成的向量ABx2x1,y 2y 13x 1,y 2y 3（ 3）向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算：abx 1x2,y 1y 2；a向量的數(shù)量積運(yùn)算：a bx x 12y y 1 2ab cos（ 4）平行向量： a bx y 2x y 10ba（ 5）垂直向量： abx x 2y y 20a b0（ 6）向量的夾角：

7、 cos2 x 1x x2y y 22 y 2a babx,y 1y 22 y 12 x 2（ 7）向量的模： a2 x 12 y 1a2；a2a aa2兩點(diǎn)間距離： dABABx2x 12y 2y 12（ 8） AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)：x 12x 2,y 12y 2；ABC的重心坐標(biāo)：x 1x233（ 9）單位向量：與向量 a 同向的單位向量a 0ax 12 y 1,y 12 y 1a2 x 12 x 1第三章三角恒等變換24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式： coscos cossinsin； coscoscossinsin；1tan2 sinsincoscossin； sinsincosco

8、s sin；tantantan（ tantantan1tantan）；1 tantantantantan（ tantantan1tantan）1 tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式1cos萬能公式12:;costan26、半角公式:2 2 2 sin2cos1cos;sintan1tan222222tan1cos1sin1cos（后兩個(gè)不用判定符號(hào),更加好用）21coscossinxB形式；27、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“ 一個(gè)三角函數(shù),一個(gè)角,一次方” 的yAsinsincos22sin,其中 tan28、常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：（ 1）角的變換：在三角化簡,求值,

9、證明中,表達(dá)式中往往顯現(xiàn)較多的相異角,可依據(jù)角與角之間的和差,倍半,互補(bǔ),互余的關(guān)系,運(yùn)用角的變換,溝通條件與結(jié)論中角的差異,使問題獲解,對(duì)角的變形如： 2是的二倍； 4是 2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；15o45o30o60o45o30o；2；424；244；等等（ 2）函數(shù)名稱變換： 三角變形中, 經(jīng)常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)；如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ),通?；袨橄? 變異名為同名；（ 3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算,求值,證明中,有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值,例如常數(shù)“1” 的代換變形有：1sin2cos2tancotsin90otan45o（ 4） 冪 的 變 換 ： 降 冪

10、是 三角 變 換 時(shí) 常 用 方 法 , 對(duì) 次 數(shù)較 高 的 三 角 函 數(shù) 式 , 一 般 采納 降 冪 處 理 的 方 法 ； 常 用 降冪 公 式有：；降冪并非肯定,有時(shí)需要升冪,如對(duì)無理式1cos常用升冪化為有理式,常用升冪公式有：；_ _；（ 5）公式變形： 三角公式是變換的依據(jù),應(yīng)嫻熟把握三角公式的順用,逆用及變形應(yīng)用；如：1tan1tan1tan_ _；tantan_；1tantan_；1tantantan_；1tantan_；2tan；1tan2；tan20otan40o3tan20otan40oasinbcos= ；（其中 tan；）1cos；1cos；（ 6）三角函數(shù)式的

11、化簡運(yùn)算通常從：“ 角、名、形、冪” 四方面入手；基本規(guī)章是：見切化弦,異角化同角,復(fù)角化單角,異名化同名,高次化低次,無理化有理,特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化；如：sin50o13tan10o；tancot；高中數(shù)學(xué)必修四三角函數(shù)檢測題1以下不等式中,正確選項(xiàng)（）Atan13tan13B sin5cos7Csin 1cosB B. sinAcosB C. sinA=cosB D. sinA 與 cosB 大小不確定6設(shè)f x 是定義域?yàn)镽,最小正周期為3的函數(shù),如f cosx2xx0,就f15的值等于（24sinx0A.1B.2C.0 D. 2222 y 7.函數(shù)yfx的圖象如下列圖,就yf

12、x的解析式為（）yf3x A.ysin2x2B.y2cos3x1C.ysin2x51D. y1sin2x58已知函數(shù)fx asinxbcosx（ a 、 b 為常數(shù),a0,xR）在x4處取得最小值,就函數(shù)4是（）A偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)0,對(duì)稱B偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)3,0對(duì)稱2C奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)30,對(duì)稱D奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱29函數(shù)fx sinx3cosx ,x,0 的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A ,5B5,6C3,0 D60,6610. 已知函數(shù)ysinx12cosx12,就以下判定正確選項(xiàng)（）A此函數(shù)的最小周期為2,其圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是12,0B此函數(shù)的最小周期為,其圖像的一

13、個(gè)對(duì)稱中心是12,0C此函數(shù)的最小周期為2,其圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是6,0D此函數(shù)的最小周期為,其圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是6,011. 如cos242,就cossin的值為（）sin27117222217.已知函數(shù)fx 3sinx632（ 1）用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；（ 2）指出fx的周期、振幅、初相、對(duì)稱軸；（ 3）說明此函數(shù)圖象可由ysin 在 0,2上的圖象經(jīng)怎樣的變換得到. 18已知函數(shù)fx 12cos 2 x4. （1）求fxsinx2cos3,求f的值 . 的定義域；（ 2）如角在第一象限且519設(shè)函數(shù)fx3cos2xsinxcosxa其中0,aR,且fx的圖象在 y

14、 軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6.（ 1）求的值；（ 2）假如fx在區(qū)間3,5上的最小值為3 ,求 a 的值 . 620（本小題 14 分）已知函數(shù)fxAsinxA0,0 |,|2在一個(gè)周期內(nèi)的圖象下圖所示；（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)0 x,且方程fxm有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m 的取值范疇和這兩個(gè)根的和；y 2 1 O 11x12-2 參考答案一、挑選題：（本大題共12 個(gè)小題；每道題5 分,共 60 分；）7 8 9 10 11 12 題 號(hào)1 2 3 4 5 6 答 案B A D C B B D D D B C A 5/由角 C 為鈍角,得 A+ B90 ,知 0 B90 -A90

15、 得 sinA=cos90 -AcosB 11、os2a/sina- /4=- 2/22cosa -sinacosa+sina/sina-cosa=-2/2 cosa+sina=1/2三、解答題：本大題共6 小題,共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟6的圖象；a,17解 ：（ 1） 2 周期 T 4,振幅 A 3,初相6,由x6k2,得x2 k2kZ即為對(duì)稱軸；23（ 3）由ysinx的圖象上各點(diǎn)向左平移6個(gè)長度單位,得ysin x6的圖象；由ysin x6的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原先的2 倍（縱坐標(biāo)不變） ,得ysin x 2由ysin x 26的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原先

16、的3 倍（橫坐標(biāo)不變） ,得y3sinx6的圖象；2由y3sinx6的圖象上各點(diǎn)向上平移3 個(gè)長度單位,得y3sinx6 3 的圖象；2218解：（ 1）fx3cos2xsinxcosxa3cos2x1sin2x3asin2x33a,222213fx的圖象在 y 軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,2632,1；2（ 2）由（ 1）的fxsinx33a,x3,5,x30,7,266當(dāng)x37時(shí),sin x3取最小值1,fx在區(qū)間3,5的最小值為6262213a3,a3122219 解： （ 1） 由s i n 20,得c o s0,2 y xxxkk2kkZ;故f x 的定義域?yàn)? 652|2,ZO -2 x 123（ 2）由已知條件得sin12 cos13 524；5從而f112cos 22412cos 2cos42sin2sin414sincoscos2sin22cos22sincoscoss