高等數(shù)學(xué)在工藝中的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)在工藝中的應(yīng)用【摘 要】通過工藝工作中的若干實(shí)例,介紹了導(dǎo)數(shù)、微分等高等數(shù)學(xué)知識(shí)在工藝中的應(yīng)用；采用對(duì)比的方法,分別用初等數(shù)學(xué)知識(shí)和高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決工藝工作中所遇到的計(jì)算問題,通過對(duì)比可知,正確的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)將會(huì)給工藝工作帶來(lái)極大地便利.1 引言工藝人員的技術(shù)水平和設(shè)備的加工能力，對(duì)產(chǎn)品外觀和性能的優(yōu)劣及生產(chǎn)成本起著關(guān)鍵作用。工藝人員在實(shí)際工作中要涉及到各種計(jì)算，這些計(jì)算大部分可利用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)解決。工作中，靈活、恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)解決工藝工作中的具體問題，可以起到事半功倍的作用，有些具體的計(jì)算工作，甚至只能運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)才能解決。 2 高等數(shù)學(xué)在工藝中的應(yīng)用高

2、等數(shù)學(xué)在工藝中的應(yīng)用十分廣泛，如用有限元法對(duì)材料進(jìn)行可靠性分析，利用矩 陣計(jì)算刀具的相關(guān)角度，用線性規(guī)劃的方法解決下料問題等。下面就工藝中常見的 計(jì)算問題，通過幾個(gè)具體的實(shí)例進(jìn)行討論，從中可看到在工藝工作中用高等數(shù)學(xué)解 有利于提高工藝人員的技術(shù)水平。平面尺寸鏈的計(jì)算如圖 1 所示，在鏜床上加工 240 通孔時(shí)，為了保證孔心距的精度要求，須計(jì)算出尺寸 X 和尺寸 Y 以及它們的公差值。微分法在尺寸 L、X、Y 所組成的平面尺寸鏈中，L 為封閉環(huán)，X、Y 為組成環(huán)，且尺寸鏈呈封閉的直角三角形。因此，下式成立:對(duì)式(1)進(jìn)行全微分，得下式:式中:圖 1 孔系加工由于尺寸 X 值和尺寸 Y 值，兩者相

3、差不大，可采用等公差法，即 dX=dY，此時(shí)式(3)變?yōu)?式中:dX 為組成環(huán)公差;dL 為封閉環(huán)公差;L，X，Y 為公稱尺寸。代入數(shù)據(jù):亦即:dY=0.176考慮到尺寸 X 和尺寸 Y 均為長(zhǎng)度尺寸，公差帶應(yīng)對(duì)稱分布，故 X 和 Y 的工藝尺寸為:X=103.920.088，Y=600.088投影法在計(jì)算平面尺寸鏈時(shí)，首先應(yīng)將平面尺寸鏈轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性尺寸鏈，然后再按線性尺寸鏈計(jì)算。具體的轉(zhuǎn)變方法是:將尺寸 X 和尺寸 Y 向 L 尺寸線上投影，即將此平面尺寸鏈轉(zhuǎn)化為由 Xcos30、Ysin30及 L 三尺寸組成的線性尺寸鏈(見圖 2)。在此尺寸鏈中 Xcos30、Ysin30是增環(huán)，L 是封閉

4、環(huán)。由于封閉環(huán)的公差等于各組成環(huán) 公差之和，故有下式成立:L= Xcos30+ Ysin30由于尺寸 X 值和尺寸 Y 值，二者相差不大，可采用等公差法，即: X= Y這樣上式就變?yōu)?同理，dY=0.176考慮到尺寸 X 和尺寸 Y 均為長(zhǎng)度尺寸，公差帶應(yīng)對(duì)稱分布，這樣鏜孔時(shí)的工藝尺寸為:X=103.920.088，Y=600.088圖 2 平面尺寸鏈的轉(zhuǎn)換分析與討論從上述兩種求解平面尺寸鏈的過程，可以知道，在用投影法解平面尺寸鏈時(shí)，首先必須將平面尺寸鏈轉(zhuǎn)化為線性尺寸鏈，然后再解線性尺寸鏈。因此，與微分法相比較，顯得較為繁瑣。而用微分法解平面尺寸鏈時(shí)，只要根據(jù)平面尺寸鏈圖，以封閉環(huán)為因變量，組

5、成環(huán)為自變量，建立函數(shù)表達(dá)式，組成一個(gè)二元函數(shù)，然后對(duì)此二元函數(shù)求全微分，從而求得組成環(huán)的公差值。從步驟上來(lái)講后者比前者簡(jiǎn)捷，省略了將平面尺寸鏈轉(zhuǎn)化為線性尺寸鏈的步驟1。鍍層的重量計(jì)算問題的提出:有一橢球體是由橢圓方程 X2/52+Y2/32=1 繞 X 軸旋轉(zhuǎn)而成(見圖 3)， 現(xiàn)需要在橢球體表面鍍銅，鍍層厚底為 0.01cm，每個(gè)橢球體表面需要銅多少克(銅的密度 8.9g/cm3)? 圖 3 橢球型工件微分法欲求橢球體表面銅的質(zhì)量，須先求出鍍層的體積。當(dāng)橢圓方程為 X2/52+Y2/32=1 繞 X 軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體時(shí)，其體積公式為:式中:V 為橢球體體積;為圓周率;a 為橢球長(zhǎng)半軸;b

6、 為橢球短半軸。對(duì)式(1)進(jìn)行全微分，得下式:其中:，代入式(5)得:因?yàn)殄冦~工藝能夠保證鍍層均勻厚度一致，所以有 da=db，則下式成立:由已知條件可知:a=5，b=3，da=0.01，將上述數(shù)據(jù)代入(8)得:于是，每個(gè)橢球體上的銅鍍層質(zhì)量為: dW=dV=8.91.6328=14.5319(g)初等數(shù)學(xué)計(jì)算法要計(jì)算橢球體上銅鍍層的質(zhì)量，首先要知道銅鍍層的體積，由于銅鍍層的體積等于鍍銅后的橢球體積減去鍍銅前的橢球體積，所以下式成立:式中:V 為銅鍍層體積;為圓周率;a 為鍍銅后橢球長(zhǎng)半軸;b 為鍍銅后橢球短半軸;A 為鍍銅前橢球長(zhǎng)半軸;B 為鍍銅前橢球短半軸。由于鍍銅工藝能保證鍍層均勻厚度一

7、致，所以下式成立:式中:R 為銅鍍層厚度。亦即:將式(11)代入式(9)得:將式(12)化簡(jiǎn)整理后得:由已知條件可知，當(dāng)a=5 ，b=3，R=0.01 時(shí):則每個(gè)橢球體的銅鍍層質(zhì)量為: W=V=8.91.6299=14.5061(g)分析與討論用微分法計(jì)算銅鍍層的重量，方法簡(jiǎn)單，計(jì)算公式簡(jiǎn)捷，不容易在計(jì)算過程中產(chǎn)生錯(cuò)誤，而用初等數(shù)學(xué)計(jì)算法計(jì)算銅鍍層時(shí)，其推導(dǎo)過程較為繁瑣，推出的結(jié)論性公方法計(jì)算的結(jié)果有微小的差異，這是由于用微分法計(jì)算是一種近似計(jì)算(鍍層越薄 這兩種計(jì)算的結(jié)果就越接近)。然而即使是這樣，在實(shí)際工作中并不影響到微分法 二者之間的絕對(duì)誤差:D=14.531914.5061=0.025

8、8(g)相對(duì)誤差:可見這兩種誤差值都很小，故并不影響到微分法的應(yīng)用。砂輪直徑的選取問題的提出:在產(chǎn)品的制造過程中，有時(shí)需要對(duì)工件的內(nèi)表面進(jìn)行拋光處理，如果 工件內(nèi)表面的截線為二次曲線(拋物線、雙曲線、橢圓)時(shí)，為了在拋光時(shí)不使砂輪決的問題。求導(dǎo)法(證明略)，下面以拋物線為例，用求導(dǎo)法來(lái)確定砂輪的直徑。設(shè)某工件內(nèi)表面的截線為拋物線，其方程為:對(duì) x 求一階導(dǎo)數(shù)得:對(duì)式(15)求 x 的二階導(dǎo)數(shù)得:將式(15)代入式(16)得:將即代入曲率公式(2)可求出拋物線上任意一點(diǎn)的曲率:將上式化簡(jiǎn)為:又因?yàn)?y2=8x，代入式(19)得:在拋物線頂點(diǎn) x=0 時(shí)，該點(diǎn)曲率:又因?yàn)榍?k 和曲率半徑 互為

9、倒數(shù)關(guān)系，所以該拋物線方程在頂點(diǎn)處的曲率半徑 為:所以選用砂輪的半徑不得超過 4 單位長(zhǎng)，即砂輪直徑不得超過 8 單位長(zhǎng)。模擬法對(duì)于截線是二次曲線(拋物線、雙曲線、橢圓)的待拋光工件內(nèi)表面的頂點(diǎn)，根據(jù)工徑小于或等于工件二次曲線(拋物線、雙曲線、橢圓)頂點(diǎn)處的最小曲率半徑，即選取的砂輪直徑，能夠滿足工藝要求;否則應(yīng)按上述方法繼續(xù)選擇合適的砂輪直徑， 直至滿足工藝要求為止。分析與討論用求導(dǎo)法來(lái)選擇砂輪的直徑，思路清晰，目標(biāo)明確，計(jì)算方法也很簡(jiǎn)單。而用模擬法來(lái)選擇砂輪的直徑，就顯得過于繁瑣，由于沒有理論知識(shí)做指導(dǎo)，偏重于操作者的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，因此容易出現(xiàn)重復(fù)勞動(dòng)，工作效率較低。比較這兩種選擇砂輪直徑的方法，求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn)顯而易見。3 結(jié)語(yǔ)以上所舉的三個(gè)例子僅是機(jī)械制造工藝中常見的問題，其實(shí)高等數(shù)學(xué)在機(jī)械制造工藝中的應(yīng)用十分廣泛，這也足以說明，在工藝工作中靈活的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)，來(lái)解決實(shí)際問題，能起到事半功倍的作用，提高工作效率，而且有些問題是必須依賴于高等數(shù)學(xué)才能解決，如圓柱面上的孔系加工、方孔鉆的