第2018-2019平行線等分線段定理相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

1、新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修4 - 1第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)第一講相似三角 形的判 定及有關(guān)性質(zhì)第一講相似三角 形的判 定及有關(guān)性質(zhì)平行線等分線段定理銀的自主印學(xué)理教材白巖白測(cè)銀的自主印學(xué)理教材白巖白測(cè)閭基理自玉學(xué)“區(qū)4課標(biāo)解讀1.掌握平行線等分線段定理及其兩個(gè)推論.課標(biāo)解讀2,能運(yùn)用平行線等分線段定理及其兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明或計(jì)算4椒理h.平行線等分線段定理 (1)文字語言：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.(2)圖形語言如圖 1 1 1 , l 1 / l 2/ l 3, l 分別交 l 1, 12, 13于 A, B, C, l 分別交 l 1,

2、12, 13于 A1, B1,C1,若AB= BC,則 ABi= B1C1.2.平行線等分線段定理的推論(1)推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.(2)推論2:經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰.1.平行線等分線段定理有哪些應(yīng)用？1.平行線等分線段定理有哪些應(yīng)用？【提示】定理既可證明同一直線上的線段相等，亦可等分已知線段.2.平行線等分線段定理的逆【提示】平行線等分線段定理的逆3 .如何證明平行線等分線段定理的推論1?【提示】如圖，在 ABC中,于點(diǎn)C,求證：3 .如何證明平行線等分線段定理的推論1?【提示】如圖，在 ABC中,于點(diǎn)C,求證：C是AC的中點(diǎn)

3、. BC/ B C , all BC/ B C.B為AB的中點(diǎn)，過BYB C /又. 又. AB =BB ,，AC =CC ,即C是AC的中點(diǎn).銀堂互動(dòng)探究破疑戒g銀堂互動(dòng)探究破疑戒g生正動(dòng)提“知解合作探究區(qū)I平行線等分線段定理平行線等分線段定理圖 11 2UI如圖1 12,UI如圖1 12,已知 AC!AB, DBAR O是CD的中點(diǎn)，求證:OA= OB.【思路探究】由于線段OA和OB有共同端點(diǎn)，則轉(zhuǎn)化為證明 OAB是等腰三角形即可.【自主解答】過O作AB的垂線，垂足為 E,如圖所示.又ACL AB, DB AB,OE/ AC/ DB.又O為CD的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，又OE AB,. OA

4、覺等腰三角形，OA= OB.I規(guī)律方法I.本題中由 AC! AB, DB! AB知AC/ DR聯(lián)想到作 OEL AB,再根據(jù)平行線等分線段定理證明點(diǎn)E是AB的中占I 八、.平行線等分線段定理應(yīng)在有線段的中點(diǎn)時(shí)應(yīng)用，在沒有線段的中點(diǎn)時(shí)構(gòu)造線段的中點(diǎn)來應(yīng)用.、變ft訓(xùn)練已知：如圖1 1 3, ?ABCD勺對(duì)角線AG BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A, B, C, D, O分別作直線a的垂線，垂足分別為 A , B , C , D , O;求證：A D =B CA Df Of Bf C圖 11 3【證明】:？ABCDW對(duì)角線AC BD交于點(diǎn)O,，OA= OC OB= OD. AA，a, OO a, CC a,.

5、AA /OO /CC .O A =O C ,同理：O D =O B,.A D =B C平行線等分線段定理推論1的應(yīng)用E.如圖1 14,在 ABC中，AD, BF為中線，AD, BF交于G, CEE/ FB交AD的延長(zhǎng)線于E.求證：AG 2DE.圖 11 4圖 11 4【思路探究】AF= FC,GF/ E8A8 GEE BDe ACDEA8 2DE【自主解答】在AEC中,. AF= FC, GF/ EC,AG=GE. CE/ FB,GBD= / ECD / BGD= / E.又 BA DC.BD3 CDE.故 DG= DE,即 GE= 2DE因止匕AG= 2DE.I規(guī)律方法I.如果已知條件中出現(xiàn)

6、中點(diǎn)，往往運(yùn)用三角形的中位線定理來解決問題.本例在證明 DG= DE時(shí)也可以過 D作EC的的平行線 DH.因?yàn)锽G/ DH/ CE且BD= CD得DG= DE使用平行線等分線段定理來證明.、變五訓(xùn)練如圖1 1 5,AC如圖1 1 5,AC于 F. BD= CD DH/ BF,_ 1 一求證：AF= 3AC.【證明】 過D作DH/ BF,交AC于H.FH= CH.同理：AF= fh.AF= FH= CH1 AF= 3AC.平行線等分線段定理推論2的運(yùn)用如圖 1 16 所示，梯形 ABCM, AD/ BC, DCX BC, Z B= 60 , BC= AB, E 為 AB 的中點(diǎn).BC圖 11 6

7、求證： ECD為等邊三角形.【思路探究】過E作EF/ BC,先證明EC= ED,再連接 AC,證明/ BCE= 30 ,從而/ ECD= 60【自主解答】過E作EF/ BC交DC于F,連接AC,如圖所示.AD/ BC, E 為 AB 中點(diǎn),.F是DC中點(diǎn). 又 DCL BC, EF/ BCEF DC.由知，EF是DC的垂直平分線，. ECM等腰三角形. BC= AB, / B= 60 ,. ABC是等邊三角形.又E是AB中點(diǎn)，CE是/ ACB的平分線，./ BCE= 30 , .ECD= 60 . 由知， ECD為等邊三角形.I規(guī)律方法I.解答本題的關(guān)鍵是通過證明 ABC是等邊三角形來證明/

8、BCE= 30 .有梯形且存在線段中點(diǎn)時(shí)，常過該點(diǎn)作平行線，構(gòu)造平行線等分線段定理的推論2的基本圖形，進(jìn)而進(jìn)行幾何證明或計(jì)算.一變訓(xùn)練如圖1 1 7,在梯形 ABCD, AD/ BC, BC= 2AD, E, F分別是 AB, CD的中點(diǎn)，EF交BD于G 交AC于H.求證：EG= GH= HF.【證明】 E, F分別是AB, CD的中點(diǎn)，AD/ BC.EF/ AD, EF/ BC.G H分別是BD, AC的中點(diǎn)._1_EG觸AD, FH嗎AD.，EG= FH.-1 - BC= 2AD, EH=產(chǎn)- 一一一 1 一EH= AD,又 EG= 2AD.GH= EH- EG= AD- ；AD= ；AD

9、.EG= GH.即 EG= GH= HF.真題鏈接賞析吩鏈接（教材P5練習(xí)T2）已知：如圖1 1 8, M N分別是？ABCD勺AB, CD邊的中點(diǎn)，Cg BD于點(diǎn)E, AN交BD于點(diǎn)F.圖 11 8請(qǐng)你探討B(tài)E, EF, FD三條線段之間的關(guān)系，并給出證明.吩賞析（2018 高丘模擬）如圖1 1 9,在梯形 ABC邛,AD/ BC, E為BC中點(diǎn)，且 AE/DC AE交BD于點(diǎn)F,過點(diǎn)F的直線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,則FM與FN的關(guān)系為（）FMFNFMGFAG= GFAGGFAG與GF的大小不確定【解析】DE是 ABC的中位線，DE/ BC, AD= DB,AG= G

10、F.【答案】BZ1，2h圖 i i ii TOC o 1-5 h z .已知：如圖1 111, I1/I2/I3,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 （）A,由 AB= BC可得 FG= GHB,由 AB= BC可得 OB= OGC.由 CE 2CD可得 CA= 2BC_1_D.由 GH= FH 可得 CD= DE【解析】由平行線等分線段定理知，A、C D均正確.【答案】B.如圖 1 1 12,在梯形 ABCD43, AD/ BC, A* BC= 10 cm , E為 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 DC上，且 EF/ AD則EF的長(zhǎng)為（）5 cm10 cm20 cmD.不確定圖 1 1 1211【解析】 由推論

11、2知，EF是梯形ABCD勺中位線，故 EF= （AD+BC） = X 10= 5 cm.A二圖 1 1 134.如圖 1 1 13 所示，AF= FD= BD, FG/ DE/ BC,若 EP= 1,貝U BC=.【解析】由平行線等分線段定理知 AG= GE= EC,則EP是4CFG的中位線，故FG= 2,又FG是 ADE的中位線，DE= 4, D陛3,又DP是4FBC的中位線，BC= 6.【答案】6彳果后知能檢測(cè)流下測(cè)白戲評(píng)估挺Y解.祟秒半7T 、選擇題圖 1 1 141 .如圖1 1 14,已知l 1/ l 2/ l 3, AB, CD相交于12上一點(diǎn)O,且A& OB則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

12、（）AC= BDAE= EDOC= ODOD= OB【解析】由 1 1 / 12 / 13 知 AE= ED, OC= OD由 AO挈 BOW AC= BD,但Og OB不能確定其大小關(guān)系.故選D.【答案】D圖 1 1 152. （2018 信陽模擬）已知如圖 1 1 15, AEEC, CE平分/ ACB , DE/ BC,則 DE等于（）BC ACAC- BF-1-C，2（AB-AC）1D. 2（BC- AC）【解析】由已知得CE是線段AF的垂直平分線.AC= FC, AE= EF, DE/ BC,DE是 ABF的中位線.1_ 1 一 一DE= 2BF=2（BC-AC）.3.如圖5 A.-

13、33.如圖5 A.-33C.2 D.1 1-1-16, AD是 ABC的圖，E是 AB的中點(diǎn)，EF BC于 F,若 DC= -BD,貝U FC是 85的（）倍.34B.-3EF1 BC AD BC,EF/ AD,又 E 為 AB 的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn),即 BF= DF.又 DC= ；BD,DC= 2BF. TOC o 1-5 h z 3355 5FC= FD+ DO BF+ DO BF. 3【答案】A圖 1 1 174.如圖 1 1 17,在梯形 ABC邛,E為 AD的中點(diǎn)，EF/ AB, EF= 30 cm, AC交 EF于 G,若 FG-EG= 10 cm, 則 AB=()A. 30 c

14、m B . 40 cmC. 50 cm D . 60 cm【解析】由平行線等分線段定理及推論知，點(diǎn)G F分別是線段 AC, BC的中點(diǎn)，則EG= 2DC FG= 2AB.AB+ DC= 60AB+ DO 60AB+ DC= 60AB+ DO 60EF=112AB- 2DC= 10AB- DO 2040解得20B二、填空題圖 1 1 18EF=112AB- 2DC= 10AB- DO 2040解得20B二、填空題圖 1 1 185.如圖11 18所示,在梯形 ABCD43,AD/ BG AD= 2, BC= 6, E, F分別為對(duì)角線 BQ AC的中點(diǎn)，則【解析】如圖所示，過【解析】如圖所示，過

15、E 作 GE/ BC交 BA于 G.E是DB的中點(diǎn),G是G是AB的中點(diǎn),F是AC的中點(diǎn),GF/ BC,G,E,FGF/ BC,G,E,F三點(diǎn)共線,GE= 2AD= 1, GF= 2BC= 3,EF= GF- GE= 3-1 = 2.fli)圖 1 1 19fli)圖 1 1 191 46 .如圖 1 119,在 ABC中,E 是 AB 的中點(diǎn)，EF/BD交AC于 F,EG/AC交 BD于 G,CD= AD,若 EG=5 cm,則 5 cm,則 AC=;若 BD= 20 cm,則 EF=【解析】E為AB的中點(diǎn)，EF/ BD,F為AD的中點(diǎn).1 _一. E為 AB的中點(diǎn)，EG/ AC,，G為 BD

16、的中點(diǎn)，若 EG= 5 cm,貝U AD= 10 cm,又 CD= 2AD= 5 cm, .1.AC= 15 cm.若 BD= 20 cm ,則 EF= 1BD= 10 cm. ，2【答案】15 【答案】15 cm 10 cm三、解答題圖 1-1-20圖 1-1-207.如圖1 120,已知以梯形 ABCDW對(duì)角線 AC及腰AD為鄰邊作？ACED DC的延長(zhǎng)線交 BE于F.求證：EF =BF.【證明】連接AE交DC于0,四邊形ACE皿平行四邊形，0是AE的中點(diǎn)(平行四邊形的對(duì)角線互相平分 ).四邊形ABCD梯形，.DC/ AB.在 4EAB 中,OF/ AB, 0 是 AE 的中點(diǎn),. F是

17、EB的中點(diǎn).EF= BF.如圖1-1-21所示，已知線段 AB,求作線段AB的五等分點(diǎn)，并證明.圖 1-1-21【解】 作法：作射線AC;(2)在射線 AC上以任意取定的長(zhǎng)度順次截取AD= DDb= DbD3= D3D4 = D4D ;(3)連接QB;(4)分別過Di, D2, D, D作DB的平行線 DA, DA, 6白，DA,分別交 AB于點(diǎn) A, X, X, As則點(diǎn) A, A2, A3, A4將線段AB五等分.證明：過點(diǎn)A作MN/ D5B.則 MN/ D4A4 / DA / D2A2 / DA / QB, AD= DiD2= DO= DbE4= DO, AA= AA2= AA3= A1

18、Z= A4B.點(diǎn)A, A2, A3, A4就是所求的線段 AB的五等分點(diǎn).用一張矩形紙，你能折出一個(gè)等邊三角形嗎？如圖 1 1 22(1),先把矩形紙 ABCD寸折，設(shè)折痕為 MN再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到 RtABE沿著EB線折疊，就能彳#到等邊 EAF,如圖(2).想一想，為什么?圖 1-1-22【解】利用平行線等分線段定理的推論2,N是梯形 ADC前月CD的中點(diǎn)，NP/ AD, P為EA的中點(diǎn).在RtABE中，PA= PB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）,Z 1 = / 3.又 PB/ AD, / 3=/ 2. .1 = /2.又一/ 1與和它重合的角相等，/ 1 = 7 2=30 .在 RtAEB中，/ AEB= 60 , / 1 + Z 2 = 60 ,. AEF是等邊三角形.回教師備選10.1_如圖所不，AE/BF/CG/DHAB= ,