2021年考研數(shù)學三真題及完整解析

1、 11/112021年考研數(shù)學三真題及完整解析 2007年研究生入學考試數(shù)學三試題 一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi). （1）當0 x + 時，與x 等價的無窮小量是 （A ）1e x - （B ）1ln 1x x +- （C ）11x +- （D ）1cos x - （2）設(shè)函數(shù)()f x 在0 x =處連續(xù)，下列命題錯誤的是： （A ）若0()lim x f x x 存在，則(0)0f = （B ）若0()() lim x f x f x x +-存在，則(0)0f = . （B ）若0()li

2、m x f x x 存在，則(0)0f = （D ）若0()() lim x f x f x x -存在，則(0)0f =. （3）如圖，連續(xù)函數(shù)()y f x =在區(qū)間3,2,2,3-上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間 2,0,0,2-的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)0 ()()d x F x f t t =?，則下列結(jié)論正確的是： （A ）3(3)(2)4F F =- - (B) 5 (3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5 (3)(2)4 F F =- （4）設(shè)函數(shù)(,)f x y 連續(xù)，則二次積分1 sin 2 d (,)d x x f

3、x y y ? 等于 （A ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x +? ? （B ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x -? （C ） 1 arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x +? ? （D ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x -? （5）設(shè)某商品的需求函數(shù)為1602Q P =-，其中,Q P 分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值 等于1，則商品的價格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. （6）曲線()1 ln 1e x y x = +的漸近線的條數(shù)為 （A

4、）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. （7）設(shè)向量組123,線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 線性相關(guān)，則 (A) 122331, (B) 122331,+ (C) 1223312,2,2. (D) 1223312,2,2+. （8）設(shè)矩陣211100121,010112000A B -? ? ? =-= ? ? ? ?-? ，則A 與B (A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 （9）某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為(01)p p ； (II) 求Z X Y =+的概率密度. 2007答案 1.【分析】本題

5、為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可. 【詳解】當0 x + 時，1e x x - ，1112x x +- ，() 2 11 1cos 2 2 x x x -= ， 故用排除法可得正確選項為（B ）. 事實上，0 001111 ln ln(1)ln(1)1112lim lim lim 112x x x x x x x x x x x x x + +? +-+-=， 或1ln ln(1)ln(1)()()()1x x x x o x x o x x o x x x +=+-=+=+- . 所以應(yīng)選（B ） 【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. .

6、2.【分析】本題考查可導的極限定義及連續(xù)與可導的關(guān)系. 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法 是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)()f x 去進行判斷，然后選擇正確選項. 【詳解】取()|f x x =，則0 ()() lim 0 x f x f x x -=，但()f x 在0 x =不可導，故選（D ）. 事實上， 在(A),(B)兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得(0)0f =. 在（C ）中，0 ()lim x f x x 存在，則00()(0)() (0)0,(0)lim lim 00 x x f x f f x f f x x -=-，所以

7、(C)項正確，故選(D) 【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 3.【分析】本題實質(zhì)上是求分段函數(shù)的定積分. 【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 2 21113(3)12228F ? =-= ? ，211(2)222F =， 20220 2011 (2)()d ()d ()d 122 F f x x f x x f x x =-=? ?. 所以 33 (3)(2)(2)44 F F F = =-，故選（C ）. 【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便. 4.【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次

8、積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分. 【詳解】由題設(shè)可知， ,sin 12 x x y ，則01,arcsin y y x -， 故應(yīng)選（B ）. 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 畫圖更易看出. 5.【分析】本題考查需求彈性的概念. 【詳解】選（D ）. 商品需求彈性的絕對值等于 d 2140d 1602Q P P P P Q P -?=?=-， 故選（D ）. 【評注】需掌握微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用中的邊際，彈性等概念. 6.【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷. 【詳解】( )( )1 1 lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0

9、x x x x x x y y x x +-? ? =+=+=+=?， 所以 0y =是曲線的水平漸近線； ( )001 lim lim ln 1e x x x y x ?=+=? ? ，所以0 x =是曲線的垂直漸近線； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11 x x x x x x x x y x x x x +=+=， ()1 l i m l i m l n 1e 0 x x x b y x x x + +? =-= + -=? ，所以y x =是曲線的斜漸近線. 故選（D ）. 【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和

10、斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平 漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意e x 當,x x +-時的極限不同. 7.【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組123,構(gòu)造的另一向量組123,的線性相關(guān)性. 一般令 ()()123123,A =，若0A =，則123,線性相關(guān)；若0A ，則123,線性無關(guān). 但 考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項. 【詳解】由()()()1223310-+-+-=可知應(yīng)選（A ）. 或者因為 ()()122331123101,110011-? ? =- ? ?-? ，而1011100011-=-， 所以122331,線性相關(guān)，故選（A ）. 【評

11、注】本題也可用賦值法求解，如取()()()T T T 1231,0,0,0,1,0,0,0,1=，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項. 8【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得A 的特征值，并考慮到實對稱矩陣A 必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由22 1112 1 (3)1 1 2 E A -= -=-可得1233,0=， 所以A 的特征值為3,3,0；而B 的特征值為1,1,0. 所以A 與B 不相似，但是A 與B 的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以

12、A 與B 合同，故選（B ）. 【評注】若矩陣A 與B 相似，則A 與B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計算A 與B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 9.【分析】本題計算貝努里概型，即二項分布的概率. 關(guān)鍵要搞清所求事件中的成功次數(shù). 【詳解】p 前三次僅有一次擊中目標，第4次擊中目標 1 2223(1)3(1)C p p p p p =-=-， 故選（C ）. 【評注】本題屬基本題型. 10.【分析】本題求隨機變量的條件概率密度，利用X 與Y 的獨立性和公式 |(,) (|)() X Y Y f x y f x y f y = 可求解. 【詳解】因為(),X Y

13、服從二維正態(tài)分布，且X 與Y 不相關(guān)，所以X 與Y 獨立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =. 故|()() (,)(|)()()() X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y = =，應(yīng)選（A ）. 【評注】若(),X Y 服從二維正態(tài)分布，則X 與Y 不相關(guān)與X 與Y 獨立是等價的. 11.【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小的結(jié)論. 【詳解】因為323233110222lim lim 0,|sin cos |221 12 x x x x x x x x x x x x x x x +

14、=+. 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 15.【分析】先將3 A 求出，然后利用定義判斷其秩. 【詳解】3 0100000 10 0100000()1000100000 00 000 0A A r A ? ? ? ? ? =?=?= ? ? ? ? . 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 16.【分析】根據(jù)題意可得兩個隨機變量服從區(qū)間()0,1上的均勻分布，利用幾何概型計算較為簡便. 【詳解】利用幾何概型計算. 圖如下： 所求概率2 113214 A D S S ?- ?= =. 【評注】本題也可先寫出兩個隨機變量的概率密度，然后利用它們的獨立性求得所求概率. 17.【分析】由凹凸性判別方法和隱函數(shù)的求導可得

15、. 【詳解】 方程 ln 0y y x y -+=兩邊對x 求導得 ln 10y y y y y y +-+=， A 1/2 1 1 /2 O y x 即(2ln )1y y +=，則1(1)2 y =. 上式兩邊再對x 求導得 ()2 (2ln )0y y y y + = 則1(1)8 y =-，所以曲線()y y x =在點(1,1)附近是凸的. 【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 18.【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于,x y 軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分. 【詳解】因為被積函數(shù)關(guān)于,x y 均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于,x y 軸均對稱，所以 1 D D (,)d (,)d f x

16、y f x y =?，其中1 D 為D 在第一象限內(nèi)的部分. 而 1 22 2 D 1,0,0 12,0,0 1(,)d d d x y x y x y x y f x y x x y += + +? ? ? 112222 22220 011011d d d d d d x x x x x x y x y x y x y x y ? ?=+ ?+? ? ? () 1 2ln 1212 = +. 所以 () D 1 (,)d 42ln 123 f x y =+? . 【評注】被積函數(shù)包含2 2y x +時, 可考慮用極坐標，解答如下： 2 2 12120,0 0,0 1(,)d d x y x

17、y x y x y f x y x y += +? ? 22sin cos 10 sin cos d d r +=? 2ln(12)=+. . 19.【分析】由所證結(jié)論()()f g =可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)()()()F x f x g x =-，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明. 【詳解】令()()()F x f x g x =-，則()F x 在,a b 上連續(xù)，在(,)a b 內(nèi)具有二階導數(shù)且()()0F a F b =. （1）若(),()f x g x 在(,)a b 內(nèi)同一點c 取得最大值，則()()()0f c g c F c =?=， 于是由羅爾定理可得，存在12(,),(,)

18、a c c b ，使得 12()()0F F =. 再利用羅爾定理，可得 存在12(,)，使得()0F =，即()()f g =. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 內(nèi)不同點12,c c 取得最大值，則12()()f c g c M =，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =-=-= -=-=?. (II) 利用卷積公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x + - = -? 20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -?-?-? =-=-? ?其他其他. 【評注】 (II)也可先求出分布函數(shù)，然后求導得概率密度. . （24） (本題滿分11分) 設(shè)總體X 的概率密度為 1 , 021(),12(1)0,x f x x ?=?-? ? 其他 12(,X X ,)n X 為來自總體X 的簡單隨機樣本，X 是樣本均值. （I ）求參數(shù)的矩估計量 ； （II ）判斷2 4X 是否為2 的無偏估計量，并說明理由. 【分析】利用EX X =求（I ）；判斷()? 2 2 4E X =. 【詳解】（I ）() 10 1 ()d d d 22124x x EX xf x x x x + - = =+=+-? ? ?，