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1、學(xué)習(xí)資料圓錐曲線最值問(wèn)題一、構(gòu)造直線的橫、縱截距求最值例1、若實(shí)數(shù) x, y 滿足 x 2y 22x4 y0 ,求 x2 y0 的最大值 .二、構(gòu)造直線的斜率求最值例 2、若實(shí)數(shù)x, y 滿足 (x2) 2y 23 ,求 y 的最大值 .x三、構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離公式求最值例 3、已知圓 (x3)2( y3) 21,求 2xy1 的最值 .各種學(xué)習(xí)資料,僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料四、構(gòu)造平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式求最值例 4、平面內(nèi)有兩點(diǎn)A( 1,0), B(1,0), P 為圓 (x 3) 2( y 4) 2221上一點(diǎn),求 PAPB的最大值、最小值.五、構(gòu)造三點(diǎn)共線的線段求最值例 5、已知橢圓 x 2
2、y 21的右焦點(diǎn)為 F,且有定點(diǎn)A(1,1) ,又 P 為橢圓上任意一點(diǎn),259求 PFPA 的最大值 .六、利用圓錐曲線的第二定義求最值例 6、若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (3,2) , F 為拋物線 y 22x 的焦點(diǎn),點(diǎn)P 在該拋物線上移動(dòng),求PA PF 的最小值 .各種學(xué)習(xí)資料,僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料七、利用圓錐曲線的參數(shù)方程求最值例 7、已知點(diǎn)P 是橢圓 x28 y 28 上到直線 l : xy40 的距離最小的點(diǎn),則點(diǎn)P 的坐標(biāo)是()A. ( 8,1)B.( 1,8) C.(0, 1) D.(22,0)3333八、利用重要不等式求最值例 8、 已知圓 C : ( xa) 2( yb) 28
3、,(ab0) 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則圓心C到直線xyl :1距離的最小值等于()abA.2B. 2C.2 2D.ab各種學(xué)習(xí)資料,僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料解答:例題 1 分析 : x2y 22 x4 y0 ,即 ( x 1)2( y 2) 25y(x, y) 即是此圓上一點(diǎn) ,設(shè) x 2y b, 則 x 2 y 的最值即是直線 x 2yb 0Ox在 x 軸截距的最值 ,故可利用直線截距求解 . 解 : 如圖 1, x, y滿足 x2y 22x 4 y 0 .(x.y)是圓( x1) 2( y2)25上的點(diǎn),x2 y 10 0設(shè) x 2 y b,則 當(dāng) 直 線 x2 y b 0 與 圓 相 切 時(shí)圖 11
4、2( 2)b有:55(5b) 225b0或b102y 的最大值為 10.例題 2分析:yy0 xx,聯(lián)想到動(dòng)點(diǎn) ( x, y) 到原點(diǎn)的連線的斜率,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求斜率0k 的最大值 . 解 : 如圖 2,設(shè) ky ,則ykx. ,yxA當(dāng)直線與圓切于A 點(diǎn) ,圓 ( x 2)2y 23的圓心為 C,則CA OA.OC(2,0)x易知 OC2, AC3,OA1, ktg AOC3.所以 y 的最大值是3圖 2x例題 3 分析:P( x, y) 到直線 2xy 12xy 1y0 的距離為54F2xy 1即是圓 (x3) 2( y3) 21上的動(dòng)點(diǎn)到3C2E1直線 2xy1 0距離的5 倍,所以構(gòu)造
5、點(diǎn)到直線AO 12 3 4x各種學(xué)習(xí)資料,僅供學(xué)習(xí)與交流圖 3學(xué)習(xí)資料的距離公式求解. 解 : 如圖 3,作直線 2xy10 ,過(guò)圓心 C (3,3) 作直線 2xy10 的垂線 AC 交圓 ( x3) 2( y3) 21于兩點(diǎn) E、 F.則 E 到直線 2xy10 的距離最小, F 到直線 2xy10 的距離最大 .圓心 C 到直線 2x y10 的距離為:AC23318552xy1 的最大值為5(81)85 ,最小值為5(81)8555例題 4 分析:設(shè) P( x, y) 為圓 (x 3)2( y4) 21上任意一點(diǎn),22( x 1) 2y 2(x1) 2y22( x2y 2 ) 2PAP
6、B而 x2y 2 可構(gòu)造為圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方,yE從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離問(wèn)題,使原問(wèn)題明朗化.4C3 解 : 設(shè) P(x, y) 為圓 ( x3)2( y4)21上任意一點(diǎn),則D222( x 1)2y2( x1)2y22(x2y2)21BPAPBA如圖 4,過(guò)圓心 C 作直線 OC 交圓 C 于 D、 E 兩點(diǎn),-1O234xyF圓 C 上點(diǎn) D 即是到原點(diǎn)距離的最小點(diǎn),E 即是到原點(diǎn)距離的最大點(diǎn) .圖 4(3 0)2( 40) 254C而: OC3E2OD514, OE51 6,1BAO224 2234 ,最大值為 262274 .-112 3 4x則 PAPB 的最小值為 2
7、圖 4例題 5 分析:設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F ,則由橢圓定義知PFPF10 ,PFPA10 PFPA10PAPF問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PAPF的最大值 .聯(lián)想到構(gòu)造三點(diǎn)共線的線段,連結(jié) AF延長(zhǎng)交橢圓于 P 點(diǎn),由三角形知識(shí)易知PAPF的最大值為AF,問(wèn)題得以解決 . 解 : 如圖 5,設(shè) F 為橢圓的左焦點(diǎn),則由橢圓定義PFPF10 ,各種學(xué)習(xí)資料,僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料則 PFPA10PFPA 10 PA PF連結(jié) AF 延長(zhǎng)交橢圓于 P 點(diǎn),若 P 與 P 點(diǎn)不同 .y則在APF 中APAPFAFP AP FFFP0OxPAPF的最大值為AFPa5, b 3,c4圖 5F (4,0), A(1,1)A
8、F26 ,故 PFPA 得最大值為 1026例題 6 分析: A(3,2) 在拋物線內(nèi),設(shè)P 到準(zhǔn)線的距離為PT ,則由拋物線定義PAPFPAPT ,當(dāng)且僅當(dāng) P、 A、 T 三點(diǎn)共線時(shí), PAPF 的值最小 . 解 : 如圖 6, P 為拋物線上任意一點(diǎn),過(guò) P 作 PT 垂直于準(zhǔn)線 l ,則y由拋物線定義知PFPTP0T0A2則 PFPAPTPATP1過(guò)A 作準(zhǔn)線l 的垂線交拋物線y22x 于 P 點(diǎn),-1OF123yFx交準(zhǔn)線 l 于 T 點(diǎn) .4C3由三角形知識(shí)知E2PTPAP TPA TA圖 6 A11B準(zhǔn)線 l 的方程為 x-1O 12 3 4x,A T3( 1)27圖 422故
9、PAPF 的最小值為 72各種學(xué)習(xí)資料,僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料例題 7分析:先將橢圓方程 x 28y 28 化為標(biāo)準(zhǔn)方程x 2y21,即 a 2 2,b 1 ,8再將標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程的坐標(biāo) ,x2 2 cos ( 為參數(shù)) 就得到動(dòng)點(diǎn) P( 2 2 cos ,sin )ysin利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)的求最值的方法, 問(wèn)題得到解決. 解 : 將 x28 y 28 化成參數(shù)方程x 22 cos ( 為參數(shù)) ,設(shè) P( 2 2 cos, sin ) ,ysin22 cossin43sin()42 2 ,cos1則 d2(其中 sin)233當(dāng) sin()1時(shí), dmin2.2此時(shí)可以取得,從而可得到 P(8,1) .故選 A.233例題 8分析:由圓 C : (x a)2( yb) 28, (ab 0) 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)得 a 2b 28,抓住定值 a2b 28 , 利用重要不等式a2b2ab 求最值,但是不要忽視等號(hào)成
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