物理實驗論文單線圈產(chǎn)生的三維磁場的理論推導與測試

1、單線圈產(chǎn)生的三維磁場的理論推導與測試（東南大學南京210000）摘要：本文旨在將大學物理實驗的利用霍爾效應(yīng)測量單個載流圓線圈軸線上磁感應(yīng)強度一節(jié)從一維拓展到三 維。據(jù)此，本文先在球坐標系下利用磁感應(yīng)強度的計算公式畢奧-薩伐爾定律以及單個載流圓線圈產(chǎn)生磁場的對稱性 推導出了全空間任意一點的磁感應(yīng)強度，然后借助實驗室DH4501N型三維亥姆霍茲線圈磁場實驗儀對其進行了測 試驗證。發(fā)現(xiàn)實驗測定的結(jié)果和理論值二者吻合的相當好，驗證了推導的正確性。關(guān)鍵詞：單個載流圓線圈；磁感應(yīng)強度；三維Theoretical Analysis and Testing of Three -Dimensional Magn

2、etic Field Generated by a SingleCoil(Southeast University Nan Jing 210000)Abstract:This article aimed to extend the college physics experiment which uses Hall effect to measure the magnetic inductionon the axis of a single current-carrying round coil from a one-dimensional to three - dimensional, Ac

3、cordingly , the first is taking advantage of magnetic induction strength formula Biot - Savart law and the symmetry of a magnetic field which is generated by a single current-carrying round coil to deduce the magnetic induction at any point of the whole space in a spherical coordinate system. Then,

4、with the help of the DH4501N three-dimensional Helmholtz coil magnetic field experimental apparatus in the laboratory, the author carried out testing and validation. Finally, the author discoveries that the experimental measurement results and the theoretical value agree with each other quite well,

5、which verifies that the derivation is correct.key words: a single current-carrying round coil; magnetic induction; three - dimensional大學物理實驗在利用霍爾效應(yīng)測量單個載流圓 線圈的磁場時，只要求測量了圓線圈軸線上（即Z大學物理實驗在利用霍爾效應(yīng)測量單個載流圓 線圈的磁場時，只要求測量了圓線圈軸線上（即Z軸） 的磁感應(yīng)強度并進行繪圖，只停留在一維角度。而本文利用畢奧薩伐爾定律推導了全空間任意一 點的磁感應(yīng)強度的理論公式，然后利用實驗室的 DH4501N型三維亥姆

6、霍茲線圈磁場實驗儀進行了相 關(guān)驗證，發(fā)現(xiàn)實驗結(jié)果和理論值符合得很好，驗證了推導的正確性，從而成功地將單個載流圓線圈產(chǎn)生的 磁場驗證從一維擴展到了三維。1推導空間任一點P的矢勢A假設(shè)已知載流圓線圈的圓心為O,半徑為R ,電 流強度為I ,目的是計算該載流圓線圈平面內(nèi)任一點P 的磁感應(yīng)強度B。本文的討論和推導都將基于柱面坐標系而得。單 個載流圓線圈的柱面坐標示意圖如圖1所示。圖1載流圓線圈的柱坐標系4 Rp，Z 2 + ( R +p )2代入（4）式并化簡得:A =相 1 薩甲-1)本文的討論和推導都將基于柱面坐標系而得。單 個載流圓線圈的柱面坐標示意圖如圖1所示。圖1載流圓線圈的柱坐標系4 Rp

7、，Z 2 + ( R +p )2代入（4）式并化簡得:A =相 1 薩甲-1)卯兀：Z2 + (R + p )2 0疽 1 一 k2 sin2 甲又因為:j : (2sin 2 中一 1)d中2 j ：sin 2 中 d中0：1 一 k 2 sin 2 90j：d9;1 一 k2 sin2 90 ：1 一 k2 sin2 9而2ja sin2 9d92 j (1-k0 (1 - k2 sin2 9k2 0、：1 - k2 sin2 92 sin 2 甲一 1)d甲圓心O為坐標原點，Z軸垂直于圓線圈所在平 面.任意電流元I dl在P點的矢勢A僅有。分量，其 大小為A 叩dl cos。4兀r因此進

8、而又可以將上式化為j：d9- j； (1 - k2 sin2 9d9k2 0 1 一 k2 sin2 9 k2 0由于 r =、：Z2 + R2 + p2 - 2Rp cos0，dl = Rd，則（1）式為故jjsin9-2Bn2+肖j；J(6)0 1-k2sin 9k2 0k2 0 i1k2sin 9因 j :，j：q - k2 sin2 9d9 為第一類、第二類橢圓積分，且dA =IRcos 0 d04兀Z2 + R2 + p2 - 2Rp cos0（2）d9K(k) = j： ,01 - k2 sin2 9（7）整個載流圓線圈在點P的矢勢A的大小為A =七IR j 2兀cos 0 d0

9、（ 3）4兀 0 V Z2 + R2 + p 2 - 2Rp cos 0E（k） = j 2 ：1 k 2 sin 2 9 d90將（6）、（7）、（8）代入（5）式并化簡得:令0=兀一 2平，則d0=-2d甲，則A =四02 + (R + p)2 Z2+ R2 + p2 k(k)-E(k) Z 2 + (R + p )2（8）（9）2:p由上式知，當I一定時，矢勢A僅為Z，p的函cos0 = cos2 = 2sin2 中一1，代入（3）式可得:A =孝j伽官甲-1加，從而 2兀-；Z2 + (R + p)2 - 4Rpsin2 平有A =%IR j：(2sin2 甲-1)d甲兀 0 由（12

10、）、（13）式知，k=0 時，K（k） = K（0）=，AE（k） = E（0） = ，代入（10）、（11）得載流圓線圈中心軸線距O為Z的任一點的磁感應(yīng)強度B 為：B = /0IR ，B = 0，B = 0，即2 2(Z 2 + R 2p B = u IR 22 (z 2 + R 2 )2（14）式（18）中七為霍爾電壓Kh為霍爾系數(shù)，3.2載流圓線圈中心O點的磁感應(yīng)強度B.由于p= 0, Z = 0,由（14）式知載流圓線圈中心0ISDH4501N型亥姆霍茲線圈磁場實驗儀中線圈的匝數(shù)N=500匝，半徑a=0.10m，為霍爾傳感器的工作電流。點的磁感應(yīng)強度B點的磁感應(yīng)強度B為：B =U0I，

11、B = 0，B = 0，即Z2Rp（15）* =170mV/mA*T。測試條件：勵磁電流Im =0.5A，工作電流Is=5mA，測量時選用DH4501B型亥姆 霍茲線圈磁場實驗儀的右線圈。軸線上磁感應(yīng)強度的測試將被測線圈與直流電流源連接，調(diào)”電流調(diào)節(jié)旋 鈕”，使測量電流為要求值，然后先斷開直流電源輸 出電路(1=0)，調(diào)節(jié)”調(diào)零旋鈕”使毫伏表為零，以 消除地球磁場對實驗影響，然后將霍爾傳感器放到 被測點上，毫伏表的示值就近似反映該點的磁感應(yīng) 強度的大小?？紤]磁場分布的對成性，測試時只需 從線圈軸線的中心點依次向右選點測量，記錄毫伏 表顯示的霍爾電壓如表1所示。表1圓線圈軸線上的霍爾電壓ZUUU

12、UH1H 2H 3H 4(mV)(mV)(mV)(mV)(cm)-14-0.130.131.431.17-12-0.170.171.471.13-10-0.220.221.521.08-8-0.290.291.591.00-6-0.390.401.700.90-4-0.520.531.830.77-2-0.710.712.020.590-0.930.932.230.372-1.151.152.450.154-1.301.312.610.006-1.321.322.62-0.018-1.181.192.490.1210-0.960.972.270.3412-0.740.752.050.5614-

13、0.550.561.860.75表2Z軸上磁感應(yīng)強度的測量值、理論值及誤差ZUBBbH理測(mV)(mT)(mT)(cm)%-140.7150.3080.2944.65-120.7350.4120.3885.80-100.7600.5550.5294.67-80.7920.7480.7184.04-60.8480.9900.9533.78-40.9121.261.222.68-21.011.481.461.5001.121.571.560.3921.221.481.480.8841.301.261.260.1261.310.9900.9880.2281.240.7480.7530.67101.

14、140.5550.5530.43121.020.4120.4120.08140.930.3080.3060.08根據(jù)霍爾電壓的計算公式可知十 HF H21 + + H J /4 將測量值和已知條件代入式(14)、(18)、(19)可 計算出軸線上磁感應(yīng)強度的測量值和理論值如表2 所示(注：式(14 )的計算值需要乘以線圈的匝數(shù) 500)。表中a為相對誤差。(20)表中數(shù)據(jù)可看出，最大誤差為5.80%，說明測 量值與理論值吻合的還算比較好，最大誤差稍稍有 些大，但其余值仍然可以接受。圖3載流圓線圈軸線上理論值和測試值的比較圖三為載流圓線圈軸線上理論值和測試值的 比較圖。由圖可以看出兩條曲線吻合的

15、也相當好， 反映了測量值與理論值之間的差異較小，同時也驗 證了畢奧薩伐爾定律。，對于載流圓線圈軸線上的 磁場，隨著場點距離線圈中心距離的增大，磁感應(yīng) 強度成平方反比減小。載流線圈所在平面上任意一點磁感應(yīng)強度的 測試式(8)說明線圈平面上任意一點磁感應(yīng)強度的 值僅僅取決于P的大小，故在測量時選取過線圈中 心任意一條直徑上的點為測量對象，并且只需要測 量任意一條半徑上各點的磁感應(yīng)強度就能反映線 圈平面上的磁場分布。測量方法同軸線上磁感應(yīng)強 度的測量方法相同，通過記錄測試儀上毫伏表的霍 爾電壓，利用式(17)、(18)及(19)可得出線圈所在平面上線圈任意一條半徑上各點的磁感應(yīng)強度的 值。如表3,表

16、4所示（注：式（17）的計算值需要 乘以線圈的匝數(shù)500）。表3半徑軸上的霍爾電壓PUUUUH1H 2H 3H 4(mV)(mV)(mV)(mV)(cm)0-0.921.43-1.481.1961-0.931.45-1.521.2142-0.951.50-1.571.2413-0.991.55-1.611.2654-1.031.62-1.631.3215-1.111.72-1.751.4126-1.221.89-1.911.5487-1.432.21-2.331.8038-1.642.49-2.622.056表4半徑軸上磁感應(yīng)強度的測g量值、理論值及誤差PUBBbH理測(mV)(mT)(mT)

17、(cm)%01.201.441.431.111.221.461.442.221.241.501.462.431.261.531.511.141.321.601.590.551.411.701.700.361.551.871.870.471.802.182.122.482.062.492.552.7由表4數(shù)據(jù)可以看出，最大誤差為2.7%，說 明測量值與理論值吻合的比較好，同時如下面圖4 曲線所示也反映了理論值與測量值吻合的非常理 想，驗證了所推導的載流圓線圈軸線上磁場分布表 達式（17）的正確性。其中圖4中的理論曲線是對式（17）利用程序得到的數(shù)值結(jié)果。圖4載流圓線圈所在平米那哈桑任意一點磁感應(yīng)強度 理論值和測試值的比較5結(jié)論本文先推到了載流圓線圈在三維空間內(nèi)任意 一點的理論公式，然后在大學物理實驗測量軸線上 磁感應(yīng)強度的理論基礎(chǔ)上，拓展了實驗內(nèi)容。利用 DH4501N型亥姆霍茲磁場實驗儀，測量了其力所能 及的三維空間內(nèi)的磁場大小。發(fā)現(xiàn)與推導的理論公 式符合得很好。這也證明了理