高三復習數(shù)列知識點和經(jīng)典試題的解題方法歸納

1、數(shù)列學問點和常用的解題方法歸納一、 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1and d為常數(shù),ana 1n1d；n 的常數(shù)項為等差中項：x,A, 成等差數(shù)列2Axy前 項和Sna 1annna1n n1d22性質(zhì)：a n是等差數(shù)列（ ）如mnpq,就ama napa q；（2）數(shù)列a2n1,a 2n,kanb仍為等差數(shù)列；Sn,S2nSn,S3nS2n 仍為等差數(shù)列；（ ）如三個數(shù)成等差數(shù)列,可設為ad, ,ad；（4）如an,bn是等差數(shù)列Sn,T n為前n項和,就amS 2m1bmT2m1（ ）an為等差數(shù)列Snan2bn（ , 為常數(shù),是關于0 的二次函數(shù)）Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的

2、最值；或者求出an中的正、負分界項,即：又當a10,d0,解不等式組an100可得Sn達到最大值時的n值；an當a10,d0,由an100可得Sn達到最小值時的n值；nan如：等差數(shù)列an1an23,S 31,就an,S n18,an（由anan1an233an13,an11S 3a12a333a21,a 213Sna1anna2an1n121n18n27）322二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1q（ 為常數(shù),q0）,ana qn1Gxyan等比中項：x、G、 成等比數(shù)列G2xy,或na 1q1 前 項和：S na 11qnq1 （要留意 ）1q性質(zhì)：a n是等比數(shù)列（ ）如mnpq,就am

3、a napaq（2）Sn,S2nSn,S 3nS 2n 仍為等比數(shù)列三、求數(shù)列通項公式的常用方法1、公式法2、由S 求an； （n1時,a1S 1,n2時,anSnSn1）3、求差（商）法如：an滿意1a 11a2 1an22n511n1 2222n解： n1 時,1a1215,a11n152142 211n2時,1a11a2an1222n142n, a n12得：1an2, a n2n2nn2 練習數(shù)列an滿意S nSn1n5an1,a1n4,求an3（留意到an1S n1S代入得：Sn14S又S 14,Sn是等比數(shù)列,S n4n1nS n1 n2時,anSn34 4 、疊乘法例如：數(shù)列an

4、中,a 13,an1nn1,求ann1an解：a 2a 1a3 an11 a2nn1,aan23an21又a13,an3n 5 、等差型遞推公式由anan1f n ,a1a0,求an,用迭加法n2時,a2a 1f a3a2f 兩邊相加,得：ana anan1f n a1f f f n na0f f f n 練習數(shù)列an,a111,an3n1an1n2,求an（a n13n）26、等比型遞推公式aancan 1d c、 為常數(shù),cd0,c1,d0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設anxc an 1xncan 1c1xc1, 為公比的等比數(shù)列令c1 xd,xcd1ancd1是首項為a1ancd1ca1ccd1d

5、cn1ana1dn1c11練習 7數(shù)列an滿意a 1n19,3 an1an4,求ann211（an84n11）,求an, 由已知得：a11ana3、倒數(shù)法2an例如：a 11,aan2n22ana1111,1為等差數(shù)列,11,公差為1n1an2ana 12111n1, ann21n1an22三、 求數(shù)列前 n 項和的常用方法 1、公式法：等差、等比前 n 項和公式 2、裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和,使之顯現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項；如：n1101a11an是公差為d 的等差數(shù)列,求a ak1k解： 由ak111111dak1aka kdda kakn1n111 a ak1k1dakak1k1

6、11111da 1a 2a 2a3ann111da 1an1練習求和：11113 11231 n212（an ,Sn2n1） 3 、錯位相減法：如an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,求數(shù)列11a bn（差比數(shù)列）前n 項和,可由SnqSn求Sn,其中q為bn的公比；如：Sn12x3 x24x3 nxn1xSnx2x23 x34x4 nxn1nxn212：1x S n1xx2 xn1nxnx1 時,S n1xnnxn1x21xx1 時,Sn123 nn n124、倒序相加法：把數(shù)列的各項次序倒寫,再與原先次序的數(shù)列相加；Snna 1a 1a21 an11an相加a1an Snanan a2a12 S

7、ana2an 練習已知f x 1x22,就f f f1f 2f1ff f1x234（由 f x f11x212x21111x12x21x1xx2xf1 3f1 2原式f f f f411113 1 2）2例 1 設 an 是等差數(shù)列,如 a2=3, a7 =13,就數(shù)列 an 前 8 項的和為（）A 128 B80 C64 D 56 （福建卷第 3 題）略解：a2 +a 7 = a 1 +a8 =16, an 前 8 項的和為 64,故應選 C例 2 已知等比數(shù)列 a n 滿意 a 1 a 2 3,a 2 a 3 6,就 a 7（）A 64 B 81 C128 D243 （全國卷第 7 題）答

8、案： A于（例 3 已知等差數(shù)列a n中,a26,a 515,如b na2n,就數(shù)列b n的前 5 項和等）D186 （北京卷第7 題）A 30 B 45 C90 略解： a 5-a 2 =3d=9, d=3 ,b 1=a26, b 5=a10=30,nb的前 5 項和等于90,故答案是 C例 4 記等差數(shù)列的前n 項和為S ,如S 24,S 420,就該數(shù)列的公差d（）A 2 B3 C6 D7 （廣東卷第4 題）* N , 其中a b 為略解：S 4S 2S 24 d12,d3, 應選 B.an2bn,n例 5 在數(shù)列 an中,an4n5,a 1a 2Lan2常數(shù),就 ab（安徽卷第15 題

9、）答案： 1例 6 在數(shù)列 an中,a 12,a n1a nln11,就an（）nA 2ln n B 2n1lnn5 題）C 2nlnn D1nlnn（江西卷第答案： A例 7 設數(shù)列a n中,a 12,an1ann1,就通項an _ （四川卷第16 題）此題重點考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式,抓住an1a nn1中a n1,a系數(shù)相同是找到方法的突破口a n2略解：a 132,an1a nan1a n,a n1a 1n11,a n1a n2n21,a n32a 1n1,K ,a 21a 21 1,211將以上各式相3加,得a nn1n2n3L2 1n1n1nn1n n11,故22應填n

10、 n1+1n 的綻開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,就綻開式中x 4 項的系數(shù)為2例 8 如 x+1 2x A 6 B 7 C8 D9 重慶卷第 10 題答案： B使用挑選題、 填空題形式考查的文科數(shù)列試題,充分考慮到文、 理科考生在才能上的差異,側(cè)重于基礎學問和基本方法的考查,命題設計時以教材中學習的等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式應用為主, 如,例 4 以前的例題 例 5 考查考生對于等差數(shù)列作為自變量離散變化的一種特殊函數(shù)的懂得；例 6、例 7 考查由給出的一般數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式的能力；例 8 就考查二項綻開式系數(shù)、等差數(shù)列等概念的綜合運用重慶卷第 1 題,浙江卷第 4題,陜西卷第 4

11、 題,天津卷第 4 題,上海卷第 14 題,全國卷第 19 題等,都是關于數(shù)列的客觀題,可供大家作為練習例 9 已知 an是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點（a n , a n 1）（n N*）在函數(shù) y=x 2+1的圖象上 . 求數(shù)列 an的通項公式； 如數(shù)列 bn滿意 b1=1,bn+1=bn+2 a ,求證：2bn bn+2b n+1. （福建卷第 20 題）略解：（）由已知,得 an+1- an=1,又 a1=1, 所以數(shù)列 an是以 1 為首項,公差為 1 的等差數(shù)列故 an=1+ n-1 1=n. 由（）知,an=n,從而 bn+1- bn=2 n,bn= bn- bn-1+ bn-

12、1- bn-2+ +（b2- b1）+b1=2 n-1+2 n-2+2+1=2 n-1 . bn.bn+2-b2 n1=2n-12n+2-1-2n+1-12= -2n0, b nbn+2b2 n1對于第（）小題,我們也可以作如下的證明： b2=1, bn bn+2- b 2n 1 = bn+1-2 n bn +1+2 n+1- b 2n 1 =2 n+1 bn+1-2 n bn+1-2 n2 n+1 2 n（ bn+1-2 n+1）=2（bn+2 -2 n+1）=2（ bn-2）= =2（b1-2 ） =-2 0, b n- bn+20 , anan1=5 n2 當 a1=3 時, a3=13

13、,a15=73 a1, a3,a15不成等比數(shù)列a1 3;當 a1=2 時, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n 3附加題 解: 引入字母 , 轉(zhuǎn)化為遞歸數(shù)列模型 .設第 n 次去健身房的人數(shù)為 an,去消遣室的人數(shù)為 bn,就 a n b n 150 .a n 9 a n 1 2 b n 1 9 a n 1 2 150 a n 1 7 a n 1 30 即 a n 7 a n 1 30 .10 10 10 10 10 10a n 100 7 a n 1 100 ,于是 a n 100 a 1 100 7n 110 10即 a n 100 7n 1 a 1 100 .10lim n a n 100 . 故隨著時間的推移,去健身房的人數(shù)穩(wěn)固在 100 人左右 .4. 解 ：（ ） 由 a n 1 2 S n 1 可 得 a n 2 S n 1 1 n 2, 兩 式 相 減 得a n 1 a n