12因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題分析

1、1.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例12013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DEBC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PDQ901）求ED、EC的長(zhǎng)；2）若BP2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)圖1備用圖思路點(diǎn)撥1第（2）題BP2分兩種狀況2解第（2）題時(shí)，畫正確的表示圖有益于理解題意，察看線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探究等腰三角形PDF時(shí)，依據(jù)相像三角形的傳達(dá)性，轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄康妊切蜟DQ滿分解答（1）在RtABC中，AB6，AC8，所以B

2、C10在RtCDE中，CD5，所以EDCDtanC5315，EC254442）如圖2，過點(diǎn)D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN所以PDMQDN所以PMDM4所以QN3PM，PM4QNQNDN343圖2圖3圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時(shí)，PM1此時(shí)QN3PM3所以CQCNQN43194444如圖4，當(dāng)BP2，P在MB的延伸線上時(shí)，PM5此時(shí)QN3PM15所以CQCNQN415314444（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，tanQPDQDDN3PDDM4在RtABC中，tanCBA3所以QPD

3、CCA4由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ所以PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時(shí)，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD5時(shí)，QNCQCN541（如圖3所示）此時(shí)PM4QN4所以BPBMPM3453333如圖6，當(dāng)QCQD時(shí)，由cosCCH，可得CQ5425CQ258所以QNCNCQ4257（如圖2所示）88此時(shí)PM4QN7所以BPBMPM37253666不存在DPDF的狀況這是由于DFPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5圖6考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時(shí)，依據(jù)等角的余角相等，能夠獲得BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中能夠直接求解BP256例22012年揚(yáng)州市中考第27

4、題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上能否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出全部切合條件的點(diǎn)存在，請(qǐng)說明原因M的坐標(biāo)；若不圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“12揚(yáng)州27”，拖動(dòng)點(diǎn)時(shí)，PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)最小拖動(dòng)點(diǎn)M分線的地點(diǎn)關(guān)系，能夠看到，點(diǎn)M有1次時(shí)機(jī)落在點(diǎn)C有2次時(shí)機(jī)落在MA的垂直均分線上，可是有P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，能夠體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，察看MAC的三個(gè)極

5、點(diǎn)與對(duì)邊的垂直平AC的垂直均分線上；點(diǎn)A有2次時(shí)機(jī)落在MC的垂直均分線上；1次M、A、C三點(diǎn)共線思路點(diǎn)撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)PAC的周長(zhǎng)最小2第（3）題分三種狀況列方程議論等腰三角形的存在性滿分解答1）由于拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點(diǎn)C(0,3)，得3a3解得a12（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)最小設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H由BHPH，BOCO，得PHBH2BOCO所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,6)、(1,6)或

6、(1,0)考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m22222此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)m1如圖4，當(dāng)AMAC時(shí)，AM2AC2解方程4m210，得m6此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6)或(1,6)如圖5，當(dāng)CMCA時(shí)，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1,6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)切合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)圖3圖4圖5例32012年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的地點(diǎn)1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的分析式；（3）在此拋物線的

7、對(duì)稱軸上，能否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明原因圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，能夠體驗(yàn)到，O和B以及OB的垂直均分線與拋物線的對(duì)稱軸有一個(gè)共同的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O與對(duì)稱軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線請(qǐng)翻開超級(jí)畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形思路點(diǎn)撥1用代數(shù)法探究等腰三角形分三步：先分類，按腰相均分三種狀況；再依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；而后解方程并查驗(yàn)2此題中等腰三角形的角度特別，三種狀況的點(diǎn)P重合在一同滿分

8、解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，OC23所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,23)（2）由于拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的分析式為yax(x4)，代入點(diǎn)B(2,23)，232a(6)解得a36所以拋物線的分析式為y3x(x4)3x223x663（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)當(dāng)OPOB4時(shí)，OP216所以4+y216解得y23當(dāng)P在(2,23)時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時(shí)，BP216所以223)2解得y1y2234(y16當(dāng)PBPO時(shí)，PB2PO2所以42(y23)222y2解得y23綜合、，

9、點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,23)，如圖2所示圖2圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在此題中，設(shè)拋物線的極點(diǎn)為D，那么DOA與OAB是兩個(gè)相像的等腰三角形由y3x(x4)3(x2)223，得拋物線的極點(diǎn)為D(2,23)6633所以tanDOA23所以DOA30，ODA1203例42011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比率函數(shù)y4x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；3（2）過點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以同樣速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段A

10、O于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P抵達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為什么值時(shí)，以A、P、R為極點(diǎn)的三角形的面積為8？能否存在以A、P、Q為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明原因圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動(dòng)點(diǎn)R由B向O運(yùn)動(dòng)，從圖象中能夠看到，APR的面積有一個(gè)時(shí)刻等于8察看APQ，能夠體驗(yàn)到，P在OC上時(shí)，只存在APAQ的狀況；P在CA上時(shí)，有三個(gè)時(shí)刻，APQ是等腰三角形思路點(diǎn)撥1把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問題2求APR的面積等于8，依據(jù)點(diǎn)P的地點(diǎn)分兩種狀況議論事實(shí)上，P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高是定值4，最大面積

11、為6，所以不存在面積為8的可能3議論等腰三角形APQ，依據(jù)點(diǎn)P的地點(diǎn)分兩種狀況議論，點(diǎn)P的每一種地點(diǎn)又要議論三種狀況滿分解答（1）解方程組yx7,x3,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)4x,得yy4.3令yx70，得x7所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t4由SSSS8，得APR梯形CORAACPPOR111整理，得2（3+7t)44(t4)tt(7t8t120解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA)8222上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APR的最大面積為6所以，當(dāng)t2時(shí)，以A、P、R為極點(diǎn)的三角形的面積為8圖2圖3圖4我們先議論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況，0t4如圖1，在AOB中，B45，A

12、OB45，OB7，AB42，所以O(shè)BAB所以O(shè)ABAOBB如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸所以AQP45保持不變，PAQ愈來愈大，所以只存在APQAQP的狀況此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直均分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們?cè)賮碜h論P(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況，4t7在APQ中，cosA3為定值，AP7t，AQOAOQOA5OR5t205333如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，解方程7t5t20，得t41338如圖6，當(dāng)QPQA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直均分線上，AP2(OROP)解方程7t2(7t)(t4)，得t51AQA解方程5t203，得t226如7，當(dāng)PAPQ時(shí)，那么cosA2所以A

13、Q2APcos2(7t)AP33543綜上所述，t1或41或5或226時(shí)，APQ是等腰三角形843圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時(shí)，也能夠用AP2AQcosA來求解例52010年南通市中考第27題如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）連接DE，作EFDE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CEx，BFy1）求y對(duì)于x的函數(shù)關(guān)系式；2）若m8，求x為什么值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（3）若y12，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？m圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動(dòng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)，察看的二次函數(shù)，拋

14、物線的張口向下比較圖形和圖象，能夠看到，當(dāng)E是y隨x變化的函數(shù)圖象，能夠體驗(yàn)到，BC的中點(diǎn)時(shí)，y獲得最大值雙擊按鈕“y是xm8”，拖動(dòng)E到BC的中點(diǎn)，能夠體驗(yàn)到，點(diǎn)F是AB的四均分點(diǎn)拖動(dòng)點(diǎn)A能夠改變m的值，再拖動(dòng)圖象中標(biāo)簽為“y隨x”的點(diǎn)到射線EBFyx上，從圖形中能夠看到，此時(shí)DCE思路點(diǎn)撥1證明DCEEBF，依據(jù)相像三角形的對(duì)應(yīng)邊成比率能夠獲得y對(duì)于x的函數(shù)關(guān)系式2第（2）題的實(shí)質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值3第（3）題眉目復(fù)雜，計(jì)算簡(jiǎn)單，分三段表達(dá)一段是說理，假如DEF為等腰三角形，那么獲得是計(jì)算，化簡(jiǎn)消去m，獲得對(duì)于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段聯(lián)合，代入求出對(duì)應(yīng)的xy；一段m的值滿分解答由于EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又由于CB90，所以DCEEBF所以DCEB，即m8x整理，得y對(duì)于x的函數(shù)關(guān)系為y1x28xCEBFxymm(2)如圖2，當(dāng)m8時(shí)，y1x2x1(x4)22所以當(dāng)x4時(shí)，y獲得最大值為288(3)若y12，那么121x28x整理，得x28x120解得x2或x6要使DEF為等腰三角mmmm形，只存在EDEF的狀況由于DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy2代入y12，得m6（如圖m3）；將xy6代入