2022年四川省瀘州市天立國際學校高二數學第二學期期末統考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1在平行四邊形中，點在邊上，將沿直線折起成，為的中點，則下列結論正確的是（ ）A直線與直線共面BC可以是直角三角形D2設，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3用5種不同顏色給圖中的A

2、、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，共有 種不同的涂色方案A420B180C64D254已知13個村莊中，有6個村莊道路在維修，用表示從13個村莊中每次取出9個村莊中道路在維修的村莊數，則下列概率中等于的是（ ）ABCD5若存在，使得不等式成立，則實數的最大值為（ ）ABCD6若隨機變量的分布列如下表：-2-101230.10.20.20.30.10.1則當時，實數的取值范圍是ABCD7已知函數的部分圖象如圖所示，則函數的表達式是（ ）ABCD8已知函數在上可導且滿足，則下列一定成立的為ABCD9若函數在上是增函數，則的取值范圍為（ ）ABCD10平面向量，

3、（），且與的夾角等于與的夾角，則（ ）ABCD11已知集合，則等于( )ABCD12設，則“”是“”的（ ）A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數的定義域是_14位同學在一次聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品。已知位同學之間進行了次交換，且收到份紀念品的同學有人，問收到份紀念品的人數為_15設隨機變量的分布列（其中），則_16若角 滿足，則 _；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）（1）化簡：；（2）我國數學家陳景

4、潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于的偶數可以表示為兩個素數的和”，如，在不超過的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于的概率是多少?18（12分）已知曲線的極坐標方程是,以極點為原點，以極軸為軸的正半軸，取相同的單位長度，建立平面直角坐標系，直線的參數方程為 .（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設曲線經過伸縮變換得到曲線，曲線上任一點為，求的取值范圍19（12分）已知函數f(x)=2ln（1）當a=2時，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數g(x)=f(x)-ax+m在1e,e20（12分）某公司生產一種產品，每年投入固定成本

5、萬元.此外，每生產件這種產品還需要增加投入萬元.經測算，市場對該產品的年需求量為件，且當出售的這種產品的數量為（單位：百件）時，銷售所得的收入約為（萬元）.（1）若該公司這種產品的年產量為（單位：百件），試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量的函數；（2）當該公司的年產量為多少時，當年所得利潤最大？最大為多少？21（12分）極坐標系與直角坐標系xoy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸已知直線的參數方程為（t為參數），曲線C的極坐標方程為 （1）求C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求弦長|AB|22（10分）觀察以下等式：131213+23（

6、1+2）213+23+33（1+2+3）213+23+33+43（1+2+3+4）2（1）請用含n的等式歸納猜想出一般性結論，并用數學歸納法加以證明（2）設數列an的前n項和為Sn，且ann3+n，求S1參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】（1）通過證明是否共面，來判斷直線與直線是否共面；（2）取特殊位置，證明是否成立；（3）尋找可以是直角三角形的條件是否能夠滿足；（4）用反證法思想，說明能否成立【詳解】，如圖，因為四點不共面，所以面，故直線與直線不共面；沿直線折起成，位置不定，當面面 ，此時；取中點，連接

7、，則，若有，則面 即有，在中，明顯不可能，故不符合；在中，,，而，所以當時，可以是直角三角形；【點睛】本題通過平面圖形折疊，考查學生平面幾何知識與立體幾何知識銜接過渡能力，涉及反證法、演繹法思想的應用，意在考查學生的直觀想象和邏輯推理能力2、A【解析】由，可推出，可以判斷出中至少有一個大于1.由可以推出，與1的關系不確定，這樣就可以選出正確答案.【詳解】因為，所以，顯然中至少有一個大于1，如果都小于等于1，根據不等式的性質可知：乘積也小于等于1，與乘積大于1不符.由，可得，與1的關系不確定，顯然由“”可以推出，但是由推不出，當然可以舉特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要條件，

8、故本題選A.【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，由，判斷出中至少有一個大于1，是解題的關鍵.3、B【解析】分析：由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法，根據乘法原理可得結論詳解：由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法共有5433=180種不同的涂色方案故答案為：B.點睛：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就

9、是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決4、D【解析】根據古典概型的概率公式可得解.【詳解】由 可知選D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式，容易誤選B，屬于基礎題.5、A【解析】設，則當時，單調遞減當時，單調遞增存在，成立，故選點睛：本題利用導數求解不等式問題，在解答此類問題時的方法可以分離參量，轉化為最值問題，借助導數，求出新函數的單調性，從而求出函數的最值，解出參量的取值范圍，本題較為基礎6、C【解析】分析：

10、根據概率為0.8，確定實數的取值范圍詳解：因為，所以實數的取值范圍為選C.點睛：本題考查分布列及其概率，考查基本求解能力.7、D【解析】根據函數的最值求得，根據函數的周期求得，根據函數圖像上一點的坐標求得，由此求得函數的解析式.【詳解】由題圖可知，且即，所以，將點的坐標代入函數，得，即，因為，所以，所以函數的表達式為故選D.【點睛】本小題主要考查根據三角函數圖像求三角函數的解析式，屬于基礎題.8、A【解析】易知在上恒成立，在上單調遞減，又.本題選擇C選項.點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘

11、其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.9、D【解析】在上為增函數，可以得到是為增函數，時是增函數，并且時，利用關于的三個不等式求解出的取值范圍.【詳解】由題意，在上為增函數，則，解得，所以的取值范圍為.故選：D【點睛】本題主要考查分段函數的單調性以及指數函數和一次函數的單調性，考查學生的理解分析能力，屬于基礎題.10、D

12、【解析】,與的夾角等于與的夾角 ,解得,故選D.【考點定位】向量的夾角及向量的坐標運算.11、D【解析】分析：求出集合，即可得到.詳解： 故選D.點睛：本題考查兩個集合的交集運算，屬基礎題.12、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、 【解析】分析：根據分母不為零得定義域.詳解：因為，所以,即定義域為.點睛：求具體函數定義域，主要從以下方面列條件：偶次根式下被開方數非負，分母不為零，對數真數大于零，實際意義等.14、【解析】先確定如果都兩兩互相交換紀念品，共有次交換，可知有次交換沒有發(fā)生；再根據收到份紀念品的同學有人，可

13、知甲與乙、甲與丙之間沒有交換，從而計算得到結果.【詳解】名同學兩兩互相交換紀念品，應共有：次交換現共進行了次交換，則有次交換沒有發(fā)生收到份紀念品的同學有人 一人與另外兩人未發(fā)生交換若甲與乙、甲與丙之間沒有交換，則甲、乙、丙未收到份紀念品收到份紀念品的人數為：人本題正確結果： 【點睛】本題考查排列組合應用問題，關鍵是能夠確定未發(fā)生交換的次數，并且能夠根據收到份紀念品的人數確定未發(fā)生交換的情況.15、【解析】根據概率和為列方程，解方程求得的值.【詳解】依題意，解得.故填【點睛】本小題主要考查隨機變量分布列概率和為，考查方程的思想，屬于基礎題.16、【解析】由，得tan-2，由二倍角的正切公式化簡后

14、，把tan的值代入即可【詳解】sina+2cosa=0，得，即tan-2，tan2 故答案為【點睛】本題考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函數間的基本關系，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）根據組合數的運算公式求解；（2）首先列舉所有不超過30的素數，然后按照古典概型寫出概率.【詳解】（1） （2）不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個，任取2個不同的數有種方法，其中和為30的有共三組，則【點睛】本題考查組合數的證明和古典概型的概率公式意在考查推理與證明和計算能力，屬于基礎題

15、型18、（1） 直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為.（2）的取值范圍是.【解析】試題分析：（）利用，將轉化成直角坐標方程，利用消參法法去直線參數方程中的參數，得到直線的普通方程；（）根據伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數方程表示出曲線上任意一點，代入，根據三角函數的輔助角公式求出其范圍即可試題解析：（）直線的普通方程曲線的直角坐標方程為（）曲線經過伸縮變換得到曲線的方程為，即又點在曲線上，則（為參數）代入，得所以的取值范圍是考點：1、參數方程與普能方程的互化；2、圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化；3、伸縮變換19、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）求函數的導數，利用導數

16、的幾何意義即可求的圖象在處的切線方程；（2）利用導數求出函數的在上的極值和最值，即可得到結論試題解析：（1）當時，切點坐標為，切線的斜率，則切線方程為，即.（2），則.，當時，.當時，；當時，.故在處取得極大值.又，則，在上的最小值是在上有兩個零點的條件是，解得，實數的取值范圍是考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值.20、 (1) ;(2) 當年產量為件時，所得利潤最大.【解析】分析：（1）利用銷售額減去成本即可得到年利潤關于年產量的函數解析式；（2）分別利用二次函數的性質以及函數的單調性，求得兩段函數值的取值范圍，從而可得結果.詳解：（1）由題意得：；（2）當時，函數對稱軸為，故當時，；當時，

17、函數單調遞減，故，所以當年產量為件時，所得利潤最大.點睛：本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數的解析式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是構造分段函數，構造分段函數時，做到分段合理、不重不漏，分段函數的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).21、 ()；（）.【解析】試題分析：（）兩邊同時乘以 ，利用公式 ，代入得到曲線的普通方程；（）直線 的參數方程代入曲線的直角坐標方程，轉化為的二次方程，根據公式 計算.試題解析：解：（）由，得，即曲線的直角坐標方程為.（）將直線的方程代入，并整理得，.所以.22、（1）猜想13+23+33+n3（1+2+3+n）2；證明見解析（2）2【解析】（1）根據式子猜想出一般性結論，然后當時，證明成立，假設時，式子也成立，然后對時的式子進行化簡，從而證明結論成立；（2）對進行分組求和，然后根據（1）中所得到的求和公