北京市北京二中教育集團(tuán)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知，若包含于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD2已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1

2、和圖2所示為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( ) A400，40B200，10C400，80D200，203在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD4已知圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（ ）ABCD5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）ABCD6在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，下圖是由這兩個(gè)變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是( )ABCD（）7已知函數(shù)圖象如圖，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）ABCD8已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）ABCD9將

3、函數(shù)y=sin2x+6的圖象向右平移6個(gè)單位長度后,得到函數(shù)f(x)的圖象,Ak-512Ck-310拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）ABCD11若函數(shù)在上可導(dǎo)，則（ ）A2B4C-2D-412已知x，y的取值如下表示：若y與x線性相關(guān)，且，則a=（ ）x0134y2.24.34.86.7A2.2B2.6C2.8D2.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知正三棱錐底面邊長為，側(cè)棱長為，則它的側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為_.14在平面幾何中，以下命題都是真命題：過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行；過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直；平行于同一條直線的兩直線平行；垂直于同一條直線的

4、兩直線平行；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形則在立體幾何中，上述命題仍為真命題的是_（寫出所有符合要求的序號）15在圓中：半徑為的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，最大值為.類比到球中：半徑為的球的內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，最大值為_16期末考試結(jié)束后，某老師隨機(jī)抽取了本班五位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，五位同學(xué)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間（分鐘）與數(shù)學(xué)成績之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間（分鐘）30407090120數(shù)學(xué)成績35488292通過分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為，則表格中的的值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1

5、7（12分）已知命題方程表示雙曲線，命題點(diǎn)在圓的內(nèi)部.若為假命題，也為假命題，求的取值范圍.18（12分）若函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上只有一個(gè)極值，且該極值小于，求的取值范圍.19（12分）已知橢圓，為右焦點(diǎn)，圓，為橢圓上一點(diǎn)，且位于第一象限，過點(diǎn)作與圓相切于點(diǎn)，使得點(diǎn)，在的兩側(cè).（）求橢圓的焦距及離心率；（）求四邊形面積的最大值.20（12分）某學(xué)校高三年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規(guī)定：A，B，C三級為

6、合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)按照，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計(jì)該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率；根據(jù)頻率分布直方圖，求成績的中位數(shù)精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個(gè)等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是A等級的概率21（12分）如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,，是中點(diǎn)。(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求 與平面所成角的大小。22（10分）已知函數(shù)（）若曲線在處切線的斜率等于

7、，求的值；（）若對于任意的，總有，求的取值范圍參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】解一元二次不等式求得集合，根據(jù)是的子集列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【詳解】用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【點(diǎn)睛

8、】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，屬于簡單題目.3、C【解析】分析：首先通過題中的條件，得到棱錐的三組對棱相等，從而利用補(bǔ)體，得到相應(yīng)的長方體，列式求得長方體的對角線長，從而求得外接球的半徑，利用球體的表面積公式求得結(jié)果.詳解：對棱相等的三棱錐可以補(bǔ)為長方體（各個(gè)對面的面對角線），設(shè)長方體的長、寬、高分別是，則有，三個(gè)式子相加整理可得，所以長方體的對角線長為，所以其外接球的半徑，所以其外接球的表面積，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的外接球的體積問題，在解題的過程中，注意根據(jù)題中所給的三棱錐的特征，三組對棱

9、相等，從而將其補(bǔ)體為長方體，利用長方體的外接球的直徑就是該長方體的對角線，利用相應(yīng)的公式求得結(jié)果.4、B【解析】由題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求出 的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的離心率，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)雙曲線的漸近線方程為根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑1，可得，整理得，即，又由，則，可得 即雙曲線的離心率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)5、C【解析】先求得函數(shù)的定義域，然后

10、利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋十?dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢，選定正確的選項(xiàng).【詳解】散點(diǎn)圖呈曲線，排除A選項(xiàng)，且增長速度變慢，排除選項(xiàng)C、D，故選B【點(diǎn)睛】本小題主要考查散點(diǎn)圖，考查回歸直線方程等知識，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過點(diǎn)的切線的傾斜角最大，過點(diǎn)的切線的傾斜角最小，又因?yàn)辄c(diǎn)的切線的斜率，點(diǎn)的切線斜率，直線的斜率，故，應(yīng)選答案C點(diǎn)睛：本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用求解時(shí)充分借助題設(shè)中

11、所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答先將經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個(gè)過程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問題化為直觀圖形的問題來求解8、B【解析】作函數(shù)的圖像，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，從而得到，的范圍，代入化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍?！驹斀狻孔骱瘮?shù)的圖像如下：由圖可知：，故 ；由在單調(diào)遞減，所以的范圍是 ，即的取值范圍是；故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵。9、D【解析】求出圖象變換的函數(shù)解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論【詳解】由題意f

12、(x)=sin2k-k-故選D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移變換，考查三角函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí)可結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間10、A【解析】分析：先把拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再求其焦點(diǎn)坐標(biāo).詳解：由題得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)研究圓錐曲線時(shí)，首先一般把曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程再研究.11、D【解析】由題設(shè)可得，令可得，所以，則，應(yīng)選答案D12、B【解析】求出，代入回歸方程可求得【詳解】由題意，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程，掌握回歸直線方程的性質(zhì)是解題關(guān)鍵回歸直線一定過中心點(diǎn)二、填

13、空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先做出二面角的平面角，再運(yùn)用余弦定理求得二面角的余弦值【詳解】取正三棱錐的底邊的中點(diǎn)，連接和,則在底面正中，且邊長為，所以，在等腰中，邊長為，所以且，所以就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，所以在中，故得解.【點(diǎn)睛】本題考查二面角，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,逐一判斷,即可得到答案.【詳解】對于,根據(jù)平行公理,可知過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行,在立體幾何中也正確,故正確.對于,在平面幾何中,過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直.在立體幾何中,過直線外一點(diǎn)可以做一個(gè)平面和直線垂直,即平面內(nèi)所有直線和其垂

14、直.故錯(cuò)誤.對于,根據(jù)平行的傳遞性,平行于同一條直線的兩直線平行,在立體幾何中也正確,故正確.對于,平面幾何中,垂直于同一條直線的兩直線平行.在立體幾何中,垂直于同一條直線的兩直線可以是異面直線,故錯(cuò)誤.對于,平面幾何中兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.在立體幾何中,兩組對邊分別相等,可構(gòu)成空間四邊形,故錯(cuò)誤.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判定,平面幾何和立體幾何中線與線位置關(guān)系, 掌握點(diǎn)線面關(guān)系的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】分析：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當(dāng)邊長等于時(shí)，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，棱長為詳解：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最

15、大，當(dāng)邊長時(shí)，解得時(shí)，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，當(dāng)棱長, 解得時(shí)，正方體的體積為點(diǎn)睛：類比推理，理會(huì)題意抓住題目內(nèi)在結(jié)構(gòu)相似的推導(dǎo)過程，不要僅模仿形式上的推導(dǎo)過程。16、63【解析】回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則：，即：，解得：.點(diǎn)睛：(1)正確理解計(jì)算的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算是求線性回歸方程的關(guān)鍵(2)回歸直線方程必過樣本點(diǎn)中心三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】【試題分析】先分別確定命題“方程表示雙曲線”中的的取值范圍和“命題點(diǎn)在圓的內(nèi)部”中的取值范圍，再依據(jù)建立不等式組求解：解：因?yàn)榉匠?，表示雙曲線，故，所以或，因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，故，解得：，所

16、以，由為假命題，也為假命題知假、真，所以的取值范圍為：.18、（1）（2）【解析】（1）求導(dǎo)得到，得到切線方程.（2），討論，三種情況，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，判斷是否有極值，計(jì)算極值解不等式得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，則，所以切線方程為.(2) ，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極小值，所以；當(dāng)時(shí)，令或，設(shè)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，設(shè)，從而，所以在上單調(diào)遞減，所以不符合題意.當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上無極值，不合題意.綜上：取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線方程，極值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19

17、、（）,；（）.【解析】分析：（）利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦距及離心率. （）設(shè)（，），先求出四邊形面積的表達(dá)式，再利用基本不等式求它的最大值.（）在橢圓：中，所以，故橢圓的焦距為，離心率（）設(shè)（，），則，故所以，所以，又，故因此由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于求此的表達(dá)式和化簡，由于四邊形是不規(guī)則的圖形，所以用割補(bǔ)法求其面積，其面積求出來之后，又要利用已知條件將其化簡為，再利用基本不等式求其最小值.20、（1），；合格等級的概率為；（2）中位數(shù)為；（3）【解析】由題意求出樣本容量，再計(jì)算x、y的值，用頻率估計(jì)概率值；根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算成績的中位數(shù)即可；

18、由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值【詳解】由題意知，樣本容量，；因?yàn)槌煽兪呛细竦燃壢藬?shù)為：人，抽取的50人中成績是合格等級的概率為，即估計(jì)該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率為；根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算成績的中位數(shù)為；由莖葉圖知，A等級的學(xué)生有3人，D等級的學(xué)生有人，記A等級的學(xué)生為A、B、C，D等級的學(xué)生為d、e、f、g、h，從這8人中隨機(jī)抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28個(gè)；至少有一名是A等級的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18個(gè)；故所求的概率為【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題21、 (1) (2) 【解析】（1）推導(dǎo)出PAAB，PAAD以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出異面直線DP與CQ所成角的余弦值(2) 設(shè)平面法向量，與平面所成角,由得出，代入即可得解.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系