復(fù)變函數(shù)第6講x課件

1、 1、 引言2 柯西-古薩積分定理 復(fù)變函數(shù)的積分的實(shí)際上等同于對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，這就很自然地引出積分與路徑無(wú)關(guān)的問(wèn)題.1 1、 引言2 柯西-古薩積分定理 我們的問(wèn)題是：在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分與積分路徑無(wú)關(guān)？此問(wèn)題等價(jià)于沿任意的閉曲線積分是否等于零的問(wèn)題. 由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉路的積分值0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的連通性有關(guān).2、 柯西積分定理2 我們的問(wèn)題是：在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分 3344推論 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)任意兩點(diǎn)z0, z1B, 積分c f (z) dz不依賴(lài)于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與路徑無(wú)關(guān).3、 原函數(shù)

2、當(dāng)起點(diǎn)固定在z0, 終點(diǎn)z在B內(nèi)變動(dòng),c f (z) dz在B內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作5推論 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)任意3、 定理2 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在B內(nèi)解析，且 定理2的證明與高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)定理的證明類(lèi)似，有興趣的同學(xué)可以見(jiàn)課本第43頁(yè).定義 若函數(shù) (z) 在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f (z) ，即 ,稱(chēng) (z)為f (z)在B內(nèi)的原函數(shù). 定理3 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析， F(z)是f (z)的一個(gè)原函數(shù)，則6定理2 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在例1 計(jì)算下列積分：7例1 計(jì)算下列積分：7定理43 復(fù)合閉路定理下面把定理1推廣多連通域上.8定理43 復(fù)合閉路定理下面把定理1推廣多連通域上.8證明DC1CEFGHMNAB9證明DC1CEFGHMNAB9此式說(shuō)明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)的f(z)的不解析點(diǎn).閉路變形原理.D CC1C1C110此式說(shuō)明一個(gè)解析函D CC1C1C110例解C1C21xyo11例解C1C21xyo11練習(xí)題12練習(xí)題12思考：13思考：13小 結(jié)1、CauchyGoursat基本定理2、與積分路徑