離中趨勢(shì)的度量

1、離中趨勢(shì)的度量第1頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五第一節(jié) 其它差異量數(shù)一、全距全距（range）：一組數(shù)列中最大和最小數(shù)值之間的差。R=XH-XL其中XH為最大數(shù)值， XL為最小數(shù)值。第2頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五二、平均差平均差（mean deviation，MD）:各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)差數(shù)的絕對(duì)值的平均數(shù)，稱為平均差。MD=|X-Xm|/n平均差使用絕對(duì)值，沒有正負(fù)，所以不便于在統(tǒng)計(jì)中運(yùn)用。第3頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五第二節(jié) 方差和標(biāo)準(zhǔn)差一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差1、方差方差（variance, 2, S2 ）:

2、各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差數(shù)的平方和的平均值稱為方差，也稱為變異數(shù)。因此，方差的定義公式為： 2= (X-)2/n S2= (X-Xm)2/n第4頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五2、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方差時(shí)使用了平方，也就是夸大了數(shù)據(jù)和平均數(shù)的距離，因此需要將方差開方以還原其本來的差異，這就是標(biāo)準(zhǔn)差。即：標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation，S）是方差的平方根。標(biāo)準(zhǔn)差的定義公式：= 2=(X)2/nS= S2=(XXm)2/n第5頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五3、方差的估計(jì)值總體的參數(shù)可以用樣本的統(tǒng)計(jì)量來加以估計(jì)，但是用一個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)它所屬總

3、體的參數(shù)，可能容易發(fā)生錯(cuò)誤。但是，如果我們用一個(gè)包含有無限多個(gè)元素的樣本的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體的參數(shù)就不容易造成錯(cuò)誤，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量就被稱為是總體參數(shù)的無偏估計(jì)值（unbiased estimate）。第6頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五如果從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，樣本包含有無限多個(gè)個(gè)體，則計(jì)算樣本平均數(shù)的公式為：Xm= X/n這就是總體平均數(shù)的無偏估計(jì)值。這樣我們就可以將下列公式中的用Xm替代，作為樣本估計(jì)總體方差的無偏估計(jì)值。2= (X-)2/n2=S2= (X-Xm)2/n第7頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五但是，統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)用這樣的公式求出

4、來的方差低估了總體的變異，因此使用(X-Xm)2/n來估計(jì)總體的方差時(shí)，分母的n必須改為(n-1)才不會(huì)低估總體的方差，這里(n-1)就叫做樣本的自由度。第8頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五（1）自由度自由度（degree of freedom, df）是指當(dāng)以樣本的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體的參數(shù)時(shí)，樣本中獨(dú)立或能自由變化的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為該統(tǒng)計(jì)量的自由度。例如，在估計(jì)總體的平均數(shù)時(shí)，樣本中的n個(gè)數(shù)全部加起來，其中任何一個(gè)數(shù)都和其他數(shù)據(jù)相獨(dú)立，從其中抽出任何一個(gè)數(shù)都不影響其他數(shù)據(jù)（這也是隨機(jī)抽樣所要求的）。因此一組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)都是獨(dú)立的，所以自由度就是估計(jì)總體參數(shù)時(shí)獨(dú)立數(shù)據(jù)

5、的數(shù)目，而平均數(shù)是根據(jù)n個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)來估計(jì)的，因此自由度為n。第9頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五但是為什么用樣本估計(jì)總體的方差時(shí)，方差的自由度就是(n-1)?2= (X-)2/n從此公式我們可以看出總體的方差是由各數(shù)據(jù)與總體平均數(shù)的差值求出來的，因此必須將固定后才可以求總體的方差。因此，由于被固定，它就不能獨(dú)立自由變化，也就是方差受到總體平均數(shù)的限制，少了一個(gè)自由變化的機(jī)會(huì)，因此要從n里減掉一個(gè)。第10頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五那為什么平均數(shù)被固定后會(huì)限制數(shù)據(jù)的自由變化？假設(shè)一個(gè)樣本有兩個(gè)數(shù)值，X1=10,X2=20,我們現(xiàn)在要用這個(gè)樣

6、本估計(jì)總體的方差，則樣本的平均數(shù)是：Xm= X/n=(10+20)/2=15現(xiàn)在假設(shè)我們已知Xm=15,X1=10,根據(jù)公式Xm= X/n，則有：X2=2Xm-X1=215-10=20由此我們可以知道在有兩個(gè)數(shù)據(jù)樣本中，當(dāng)平均數(shù)的值和其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值已知時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值就不能自由變化了，因此這個(gè)樣本的自由度就減少一個(gè)，變成了（n-1）。依此類推：在一組數(shù)據(jù)中，當(dāng)其平均數(shù)和前面的數(shù)據(jù)都已知時(shí)，最后一個(gè)數(shù)據(jù)就被固定而不能獨(dú)立變化了，因此這個(gè)樣本能夠獨(dú)立自由變化的數(shù)目就是（n-1）個(gè).第11頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五（2）方差的估計(jì)值根據(jù)以上的討論，總體方差的無偏估

7、計(jì)值為：S2= (X-Xm)2/(n-1)第12頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五（3）標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值由上述公式可以進(jìn)一步推導(dǎo)出以樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：S= (X-Xm)2/(n-1)第13頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式前面提供的方差和標(biāo)準(zhǔn)差公式都是根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)定義列出的，因此稱為定義公式（defining formulas）。這類公式在計(jì)算時(shí)比較繁瑣，為計(jì)算的方便，由定義公式進(jìn)一步推導(dǎo)出總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式：2=(X2-(X)2/n)/n=(X2-(X)2/n)/n以樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體方差

8、和標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：S2=(X2-(X)2/n)/(n-1)S=(X2-(X)2/n)/(n-1)第14頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五表：方差與標(biāo)準(zhǔn)差的公式摘要使用范圍統(tǒng)計(jì)量定義公式計(jì)算公式總體方差(2 )(X-)2/n(X2-(X)2/n)/n標(biāo)準(zhǔn)差()(X-)2/n(X2-(X)2/n)/n樣本方差(S2 )(X-Xm)2/(n-1)(X2-(X)2/n)/(n-1)標(biāo)準(zhǔn)差(S)(X-Xm)2/(n-1)(X2-(X)2/n)/(n-1)第15頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五由表可以看出計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差的兩對(duì)公式所算出來的結(jié)果是不同的，在

9、實(shí)際中應(yīng)如何運(yùn)用要根據(jù)是要計(jì)算總體的參數(shù)還是樣本的統(tǒng)計(jì)量。如果要計(jì)算樣本的統(tǒng)計(jì)量則用S2和S的公式。如果樣本數(shù)據(jù)已經(jīng)涵蓋整個(gè)總體，也就是要計(jì)算總體的參數(shù)時(shí)，則用2和的計(jì)算公式。第16頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算下面的計(jì)算中只討論對(duì)一組數(shù)據(jù)的描述，尚不涉及由樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的情況，因此在這里這一組數(shù)據(jù)就是涵蓋了整個(gè)總體，因此計(jì)算公式要采用總體的計(jì)算公式。在這里我們不討論總體和樣本的關(guān)系問題，因此方差和標(biāo)準(zhǔn)差的符號(hào)用S2和S。第17頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五1、未分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差S2= (X-Xm)2/

10、nS= S2=(XXm)2/n或者S2=(X2-(X)2/n)/nS=(X2-(X)2/n)/n第18頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五例：XiXi-Xm=xX2Xi2600365-1125711494-24166003682464N=6, X=36x=0 x2 =10Xi2 =226第19頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五2、已分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差S2= (fd2/N-(fd/N)2)i2S= (fd2/N-(fd/N)2)i其中：d=(Xc-AM)/i, (Xc-為各分組區(qū)間的組中值，f為各分組區(qū)間的次數(shù)，AM為估計(jì)平均數(shù)，N=f，I為組距

11、。第20頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五表2：50名高中學(xué)生數(shù)學(xué)成績次數(shù)分布表第21頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，是最常用的差異量數(shù)。其特點(diǎn)有：1、反應(yīng)靈敏，每個(gè)數(shù)據(jù)變化都應(yīng)在方差上體現(xiàn)；2、計(jì)算嚴(yán)密；3、容易計(jì)算；4、適合代數(shù)運(yùn)算；5、受抽樣變動(dòng)影響??；6、簡單明了；7、容易受極端數(shù)據(jù)影響。第22頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五四、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用1、差異系數(shù)同一特質(zhì)使用同一種測(cè)量工具得到的不同樣本之間的離散度的比較可以通過直接比較標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)現(xiàn)。不同特

12、質(zhì)樣本之間的離散度比較可以通過比較差異系數(shù)（coefficient of variation, CV）來實(shí)現(xiàn),差異系數(shù)大的則離散程度大。差異系數(shù)的公式為：CV=S/M100%其中： S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，M為樣本平均數(shù)。第23頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五2、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（1）定義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standard score）又稱為Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)數(shù)在團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。計(jì)算公式為：Z=(X-Xm)/S其中： X代表原始數(shù)據(jù)，Xm平均數(shù)，S為標(biāo)準(zhǔn)差。Z分?jǐn)?shù)表示其原分?jǐn)?shù)在該組數(shù)據(jù)分布中，以平均數(shù)為中心時(shí)的相對(duì)位置。第24頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五（2）Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)一組數(shù)據(jù)中所有由原分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得出的Z分?jǐn)?shù)的和為零，平均數(shù)也為零。一組數(shù)據(jù)中各Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1。第25頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)45分，星期五（3）Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用可用于比較分?jǐn)?shù)性質(zhì)不同的觀測(cè)值在各自數(shù)據(jù)分布中的相對(duì)位置高低。例如：一個(gè)20歲的大學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)中作對(duì)了35個(gè)題目，一個(gè)6歲的兒童作對(duì)了9個(gè)題目，誰更聰明？當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測(cè)值的次數(shù)分布為正態(tài)分布時(shí)，可用Z分?jǐn)?shù)求不同觀測(cè)值的總和或均值，以表示在團(tuán)體中的相對(duì)位置。第26頁，共30頁，2022年，5月20日，10點(diǎn)4