221綜合法和分析法（1）學案（人教A版選修1-2）

1、2.2直接證明與間接證明22.1綜合法和分析法第1課時綜合法及其應用課標解讀1.了解直接證明的證明方法綜合法，掌握其證明方法、步驟(重點)2.理解綜合法的思考過程、特點，會用綜合法證明數(shù)學問題(難點)綜合法【問題導思】閱讀下列證明過程，回答問題已知實數(shù)x，y滿足xy1，求證：2x2y2eq r(2).證明：因為xy1，所以2x2y2eq r(2x2y)2eq r(2xy)2eq r(2)，故2x2y2eq r(2)成立1本題的條件和結論是什么？【提示】條件：xy1，結論2x2y2eq r(2).2本題的證明順序是什么？【提示】從已知條件利用基本不等式到待證結論1綜合法的定義利用已知條件和某些數(shù)

2、學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法2綜合法的框圖表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結論)用綜合法證明不等式問題已知a，b是正數(shù)，且ab1，求證：eq f(1,a)eq f(1,b)4.【思路探究】解答本題可由已知條件出發(fā)，結合基本不等式利用綜合法，即可得出結論【自主解答】法一a，b是正數(shù)且ab1，ab2eq r(ab)0(當且僅當ab時，取等號)又0eq r(ab)eq f(1,2)，0abeq f(1,4)，eq f(1,ab)4，eq f(1,a)eq f(1,b)eq

3、f(ab,ab)eq f(1,ab)4.法二a，b是正數(shù)，ab2eq r(ab)0，eq f(1,a)eq f(1,b)2eq r(f(1,ab)0(當且僅當ab時，上兩式取等號)(ab)(eq f(1,a)eq f(1,b)4.又ab1，eq f(1,a)eq f(1,b)4.法三a，b是正數(shù)且ab1，eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,a)eq f(ab,b)1eq f(b,a)eq f(a,b)122eq r(f(b,a)f(a,b)4(當且僅當ab時，取等號)1解答本題時，關鍵是靈活運用條件ab1.2綜合法證題的一般步驟是：(1)分析條件，選擇方向仔細分析題目的已知條件

4、(包括隱含條件)，分析已知與結論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關的公理、定理、公式、結論，確定恰當?shù)慕忸}方法(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程把題目的已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化組織過程時要有嚴密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路(3)適當調(diào)整，回顧反思解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，并對一些語言進行適當?shù)男揎?，反思總結解題方法的選取(2013新鄉(xiāng)高二檢測)已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：eq f(bca,a)eq f(cab,b)eq f(abc,c)3.【證明】左邊(eq f(b,a)eq f(a,b)(eq f(c,b)eq f(b,c)(eq

5、f(a,c)eq f(c,a)3，因為a，b，c為不全相等的正實數(shù)，所以eq f(b,a)eq f(a,b)2，eq f(c,b)eq f(b,c)2，eq f(a,c)eq f(c,a)2，且上述三式的等號不能同時成立，所以(eq f(b,a)eq f(a,b)(eq f(c,b)eq f(b,c)(eq f(a,c)eq f(c,a)3633，即eq f(bca,a)eq f(cab,b)eq f(abc,c)3.用綜合法證明幾何問題如圖221，直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1A1C1，AC1A1B，M，N分別是A1B1，圖221求證：(1)C1M平面AA1B1B(2)A1BAM.(

6、3)平面AC1M平面B1NC【思路探究】(1)由B1C1A1C1，M為A1B1的中點可知C1MA1B1，再根據(jù)C1M(2)要證A1BAM，可轉(zhuǎn)化為證明A1B平面AC1M(3)要證面面平行，應轉(zhuǎn)化證明線面平行【自主解答】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1A1C1，M是A1B1的中點，C1MA又C1MA1A，A1AA1B1A1，A1A，A1B1平面AA1C1M平面AA1B1B(2)A1B平面AA1B1B，由(1)知C1M平面AA1B1BA1BC1M又A1BAC1，AC1，C1M平面AC1M，AC1C1MA1B平面AC1M又AM平面AC1MA1BAM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM

7、B1N，AM平面B1NC，B1N平面B1NC，AM平面B1NC.又C1MCN，CN平面B1NCC1M平面B1NC，C1M平面B1又C1MAMM，C1M，AM平面AC平面AC1M平面B1NC平行與垂直關系的轉(zhuǎn)化：本例重點強調(diào)在證明空間線線垂直、線線平行、線面垂直、線面平行、面面平行或垂直問題時，要特別注意平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，如：eq blc rc(avs4alco1(ab,bc)ac，eq blc rc(avs4alco1(ab,b)a，eq blc rc(avs4alco1(,)等其中線面平行和線面垂直一般起到關鍵作用，如本例(2)中通過證明A1B平面AC1M來證明A1BAM；本例(3)

8、中，通過證明AM平面B1NC，C1M平面B1NC，來證明平面AC1M平面B1NC.將本例條件“B1C1A1C1，AC1A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點”改為“ABBB1，AC1平面A1BD，D為AC的中點”，求證：(1)B1C平面A(2)B1C1平面ABB1A【證明】(1)如圖，連接AB1.令AB1A1BO，則O為AB1的中點連接OD，D為AC的中點，在ACB1中，有ODB1C又OD平面A1BD，B1C平面A1BDB1C平面A1BD(2)ABB1B，三棱柱ABCA1B1C1四邊形ABB1A1A1BAB1，又AC1平面A1BD，A1B平面A1BD，AC1A1B.又AC1平面AB1C1，A

9、B1平面AB1CAC1AB1A，A1B平面AB1C1又B1C1平面AB1CA1BB1C1又A1A平面A1B1C1，B1C1平面A1BA1AB1C又A1A平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1AA1BA1B1C1平面ABB1A用綜合法證明數(shù)學中的其他問題設數(shù)列an的前n項和為Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m為常數(shù)，且m3.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的公比qf(m)，數(shù)列bn滿足b1a1，bneq f(3,2)f(bn1)(nN*，n2)，求證：eq f(1,bn)為等差數(shù)列【思路探究】通過變形利用等差、等比數(shù)列的定義證明即可，在證明過程中，恰當處理遞推關系是

10、本題證明的關鍵【自主解答】(1)由(3m)Sn2manm3得(3m)Sn12man1m3.兩式相減得(3m)an12man(m3)，eq f(an1,an)eq f(2m,m3)，且a11，an是等比數(shù)列(2)b1a11，qf(m)eq f(2m,m3)，n2，nN*時，bneq f(3,2)f(bn1)eq f(3,2)eq f(2bn1,bn13)bnbn13bn3bn1eq f(1,bn)eq f(1,bn1)eq f(1,3).數(shù)列eq f(1,bn)為首項為1，公差為eq f(1,3)的等差數(shù)列1綜合法的特點是從“已知”看“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件2綜合法不但是數(shù)

11、學證明中的重要方法之一，也是其他解答題步驟書寫的重要方法，其特點是“執(zhí)因索果”綜合法在數(shù)學證明中的應用非常廣泛，用它不但可以證明不等式、立體幾何、解析幾何問題，也可以證明三角恒等式、數(shù)列問題、函數(shù)問題等等設數(shù)列an的每一項都不為0，證明：數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*，都有eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(n,a1an1).【證明】必要性：設等差數(shù)列an的公差為d.若d0，則所述等式顯然成立；若d0，則eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(1,d)(eq f(a2a1,a1a2)eq f

12、(a3a2,a2a3)eq f(an1an,anan1)eq f(1,d)(eq f(1,a1)eq f(1,a2)(eq f(1,a2)eq f(1,a3)(eq f(1,an)eq f(1,an1)eq f(1,d)(eq f(1,a1)eq f(1,an1)eq f(1,d)eq f(an1a1,a1an1)eq f(n,a1an1).充分性：依題意有eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(n,a1an1)，eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(1,an1an2)eq f(n1,a1an2).得eq

13、 f(1,an1an2)eq f(n1,a1an2)eq f(n,a1an1)，兩端同乘a1an1an2得a1(n1)an1nan2.同理可得：a1nan(n1)an1.得2nan1n(an2an)，即2an1an2an，所以數(shù)列an為等差數(shù)列命題得證.綜合法的簡單應用(12分)在ABC中，三邊a，b，c成等比數(shù)列求證：acos2eq f(C,2)ccos2eq f(A,2)eq f(3,2)b.【思路點撥】利用二倍角公式及余弦定理，將三角形角的問題轉(zhuǎn)化為邊的問題進行證明【規(guī)范解答】左邊eq f(a1cos C,2)eq f(c1cos A,2)eq f(1,2)(ac)eq f(1,2)(a

14、cos Cccos A)4分eq f(1,2)(ac)eq f(1,2)(aeq f(a2b2c2,2ab)ceq f(b2c2a2,2bc)8分eq f(1,2)(ac)eq f(1,2)beq r(ac)eq f(b,2)beq f(b,2)eq f(3,2)b右邊，acos2eq f(C,2)ccos2eq f(A,2)eq f(3,2)b.12分通過恒等變形、基本不等式等手段，可以從左證到右，也可以從右證到左，也可兩邊同時證到一個中間量，一般遵循“化繁為簡”的原則1綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?，從已知看可知，逐步推出未?綜合法適用的范圍：(1)定義明確的題型，如證明函數(shù)單調(diào)性、奇

15、偶性，求證無條件的等式或不等式問題等(2)已知條件明確，且容易通過找已知條件的必要條件逼近欲得結論的題型1設Peq f(1,log211)eq f(1,log311)eq f(1,log411)eq f(1,log511)，則()A0P1B1P2C2P3 D3P4【解析】Plog112log113log114log115log11120,1log1111log11120log111212，即1PB是sin Asin B的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】若AB，則ab，又eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，sin Asin B，若s

16、in Asin B，則由正弦定理得ab，AB.【答案】C3設aeq r(2)，beq r(7)eq r(3)，ceq r(6)eq r(2)，則a，b，c的大小關系為_【解析】a2c22(84eq r(3)eq r(48)eq r(36)0，ac，又eq f(c,b)eq f(r(6)r(2),r(7)r(3)eq f(r(7)r(3),r(6)r(2)1，cb，acb.【答案】acb4已知函數(shù)f(x)2x1，g(x)x，xR，數(shù)列an，bn滿足條件：a11，anf(bn)g(bn1)，nN*.求證：數(shù)列bn1為等比數(shù)列【證明】由題意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)，eq f(b

17、n11,bn1)2，又a12b111，b10，b1110.故數(shù)列bn1是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.一、選擇題1設a，bR，且ab，ab2，則必有()A1abeq f(a2b2,2)Bab1eq f(a2b2,2)Cabeq f(a2b2,2)1 Deq f(a2b2,2)ab2ab，即eq f(a2b2,2)ab，可排除A、D.又eq f(a2b2,2)eq f(a2b2,4)eq f(a2b2,4)eq f(a2b2,4)eq f(2ab,4)eq f(ab2,4)1.故B正確【答案】B2l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2

18、，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面【解析】在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯【答案】B3已知yx0，且xy1，那么()Axeq f(xy,2)y2xy B2xyxeq f(xy,2)yCxeq f(xy,2)2xyy Dx2xyeq f(xy,2)x0，且xy1，設yeq f(3,4)，xeq f(1,4)，則eq f(xy,2)eq f

19、(1,2)，2xyeq f(3,8)，x2xyeq f(xy,2)0；|5；|2eq r(2)，|2eq r(2).以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，寫出你認為正確的命題是_(用序號及“”表示)【解析】0，|2eq r(2)，|2eq r(2).|222288283225.|5.【答案】三、解答題9在ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：ABC為等邊三角形【證明】由A、B、C成等差數(shù)列，有2BAC.因為A、B、C為ABC的內(nèi)角，所以ABC.由，得Beq f(,3).由a、b、c成等比數(shù)列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得a2c2acac，即(ac)