三次函數(shù)的所有題型

1、【變式】【變式】：設(shè)函數(shù)f(x)=3x3-x2-3x+1,f(x)在0,4啲滿足f(x)c恒成立，求c的取值范圍?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)f(x)=3x3+mx2+x+1在x已(-8,+oo)為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍。三次函數(shù)的基本題型由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a豐0)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):f/(x)二3ax2+2bx+c(a豐),判別式為：=4b2-12ac二4(b2-3ac),設(shè)f/(x)二0的兩根為xx2，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若b2-3ac0，且f(xi)-

2、f(x2)0，則f(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；若b2-3ac0，且f(xi)-f(x2)=0，則f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4)若b2-3ac0，且f(xi)-f(x2)0，則f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.說明：(1)(2)f(x)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y=f(x)與x軸只相交一次，即f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)(或兩極值同號(hào))，所以b2-3ac0,且f(x)-f(x)0);f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線y=f(x)與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以b2-3ac0，且f(xi)-f(x2)=0;f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線y=f(x)與x軸有三個(gè)公

3、共點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以b2-3ac0且f(x)-f(x)0),g(x)=x3+bx。當(dāng)a二3,b=-9時(shí)，若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍?！纠}4】：設(shè)函數(shù)f(x)=3x3-x2-3x+1,f(x)在0,4啲滿足f(x)0.求f(x)在區(qū)間2,3上的最小值.【例題5】：【2014高考北京文第20題改編】已知函數(shù)f(x)二2x3-3x.若過點(diǎn)P(l,t)存在3條直線與曲線y-f(x)相切，求t的取值范圍；【變式】已知函數(shù)f(x)二2x3-3x.若過點(diǎn)P(1,t)存在2條直線與y二f(x)相切，求t的取值范圍；已知函數(shù)f(

4、x)二2x3-3x.若過點(diǎn)P(1,t)存在1條直線與y二f(x)相切，求t的取值范圍(3)問過點(diǎn)A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y二f(x)相切？【變式】：已知函數(shù)f(x)=3x3-ax2+b在x=-2處有極值.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(口)若函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍。【例題6】：設(shè)f(x)=x3-3(a+1)x2+3ax+1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；2【變式】已知函數(shù)f(x)=3x3+mx2一3m2x+1(m0).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2m一1,m+1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范

5、圍.【例題7】已知函數(shù)f(x)二3x3一ax2+(a2一1)x+b(a,beR)當(dāng)a豐0時(shí)，若f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.112【例題8】f(x)=-x3+-x2+2ax若f(x)在(亍+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；32，32答案：1【例題】：設(shè)函數(shù)f(x)=3x3+x2-3x+1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。解析：f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)=x2+2x-3f(x)=x2+2x-30dxW(-W-3)或(1,+8)，此時(shí)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；f(x)=x2+2x-30dxw(-8-3)或(1,+8)，此時(shí)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；f(x)=x2+2x-

6、30dxe(-3,1)，此時(shí)為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間?！纠蠀菐湍憬夂蠓此肌浚鹤兪?與例題的區(qū)別在于把三次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)換成參數(shù)m,但是不影響函數(shù)的單調(diào)性。1【變式2】：設(shè)函數(shù)f(x)=3x3+x2+mx+1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。解析：依題意可得f(x)=x2+2x+m當(dāng)A=4-4m1時(shí),x2+2x+m0恒成立，故f(x)0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)A二44m0即m1時(shí),2、；44mx1yj1m11f(x)x2+2x+m0有兩個(gè)相異實(shí)根12x2_一+xm，且x0dxG(1畀一m)或丘(1+dm,+Q，此時(shí)為f(x)的12單調(diào)遞增區(qū)間；f(x)二x2+2x+m1時(shí)，函數(shù)f(x)在R上

7、單調(diào)遞增；當(dāng)m0，所以要、W0【變式4】：設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+(m+1)x2+mx+1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。32解析：依題意可得f(x)=x2+(m+1)x+m=(x+m)(x+1)，令f(x)=0，-二m，&=T，(1)m1,xx，即(_8,_m)或(_1，8)為單調(diào)遞增，(-m，-1)為單調(diào)遞減；21m=1,x=x,即f(x)三0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；21m1,x1,m,1)或(-,+x)(1,)mx,m單調(diào)遞減，m單調(diào)遞增;21(8,)或(-1,+s)(,1)0m1，x,1)或(-,+x)(1,)m1,xx,m單調(diào)遞增，m單調(diào)遞減;21綜上可知，m綜上可知，m0ZT

8、)或訃切單調(diào)遞減，+)單調(diào)遞增;m=0,(，T)單調(diào)遞減，在(-1，+Q單調(diào)遞增;0m0m1尸1)或m+8)單調(diào)遞增，(1,m)單調(diào)遞減;老吳幫你解后反思】：這道題目與【變式4】區(qū)別在于，最高次前邊的系數(shù)不能確定，所以討論的第一個(gè)分界點(diǎn)為m=0,然后在討論兩個(gè)根的大小，但是一定注意導(dǎo)函數(shù)圖像的開口方向，這是易錯(cuò)點(diǎn)?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)f(x)=1mx3+丄x2+x+c，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。32提示：求導(dǎo)后，分析二次函數(shù)的最高幕系數(shù)不確定，所以要討論m與0的關(guān)系，在m右)的情況下，討論A的正負(fù)。例題2】：設(shè)函數(shù)f例題2】：設(shè)函數(shù)f(x)=X3一X2-3x+13，求f（x）的極值。解析：定義域

9、為xeR，依據(jù)題意可知廣（x）=x2-2x一3，令廣（x）=x2-2x一3=0,一1，叮二3X-1X-1(-1,3)3(3,+Qf(x)f(x)00f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增f(-1)=8f=-8f（X）=-X3-X2-3X+1、【例題3】：設(shè)函數(shù)3，求f（x）在0,4啲最值。解析：定義域?yàn)閤eR，依據(jù)題意可知=x2-2x-3，令廣（x）=x2-2x-3=0Xi=一1(舍)3=3x0(,3)3(3,4)4八x)f(x)0f(x)f()=1單調(diào)遞減極小值f=-8單調(diào)遞增7f=-3通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為f（）=1，最小值f（3）=一8【變式1】：【2005高考北京文

10、第19題改編】已知函數(shù)f(x)=-X3+3x2+9x+a,若f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解析：依據(jù)題意，f，(x解析：依據(jù)題意，f，(x)=_3x2+6x+90 x=1,x=312舍)x-2(2,1)-1(-1,2)2f(x)f(x)0f(x)/(-2)=2+a單調(diào)遞減f(1)=5+a單調(diào)遞增f(2)=22+a由表可知f(x)的最大值為f=22+a=20,所以a=-2.f(x)的最小值為f(1)一5+a=-7.【變式2】:【2012高考北京文第19題改編】已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx。當(dāng)當(dāng)a二3,b=-9時(shí)，若函數(shù)f(x)+g(x

11、)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍。解析：依據(jù)題意,h(x)二f(x)+g(x)二x3+3x2一9x+1h(x)二3x2+6x一9,h(x)二0,珥二1,=一3x(-卩-3)-3(-3,1)-1(-1,2)2八x)f(x)00f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增f=3f(-3)=28f(-1)=12結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知，要使h(x)最大值為28，必須使k-3?！纠蠀菐湍憬夂蠓此肌浚涸诮鉀Q函數(shù)問題時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值大致繪出函數(shù)圖像(如下圖)，通過圖像一目了然就可以觀察出k一32X【例題4】：設(shè)函數(shù)fW2X【例題4】：設(shè)函數(shù)fWX3一X2-3x+13f(

12、x)在0,4啲滿足/(x)c恒成立，求c的取值范圍。解析：定義域?yàn)榻馕觯憾x域?yàn)閤eR，依據(jù)題意可知f3=x2-2x-3，令廣（x）=x2-2x-3=0曽T（舍）3=3X0(,3)3(3,4)4f(x)f(x)0f(x)f()=1單調(diào)遞減極小值f=-8單調(diào)遞增7f一3通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為f（）=1，最小值f（3）=-8在0,4啲滿足f（x）1.變式】：設(shè)函數(shù)fx1變式】：設(shè)函數(shù)fx1X3一X2一3X+1f（x）在0,4的滿足f（x）c恒成立，求c的取值范圍。解析：定義域?yàn)閤eR，依據(jù)題意可知f，（x）=x2-2x一3，令f，（x）=x2-2x一3=Xi=-1(舍)X2=3x0(,3)3(

13、3,4)4f(x)f(x)0f(x)f()=1單調(diào)遞減極小值f=-8單調(diào)遞增7f一3通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為f（）=1，最小值f（3）=-8在0,4的滿足f（x）c恒成立，必須使cC恒成立，滿足fmin（X）C；f（X）C恒成立，滿足fmax（x）c?！纠}5】：【2014高考北京文第20題改編】已知函數(shù)f(x)二2x3-3x.若過點(diǎn)P(l,t)存在3條直線與曲線y-f(x)相切，求t的取值范圍；方法一：(2)設(shè)過點(diǎn).p(1,t)的直線與曲線p=相切于點(diǎn)區(qū)則J-.=2xJ-3x,且切線斜率杯二喝-3,所限切線右程為丁一出=3云-3(工-花)，因此-此,=(百云-3)1-兀)，整理得、4-6;

14、.-?-3:.小設(shè)=2E-齊則過點(diǎn)皿“存在條直箜打曲線y=/(x)相切等價(jià)于“菖有3牛不同零點(diǎn).3g(x)=12*-12a-=12X-1)，(X)與g(x)的情況如下：X(兀X(兀0)0.-菖+0苕/t+3(空)1a+.Q.+、t+1/所以g(0)=-3是e(x)冊(cè)極九值，=fT杲目()冊(cè)極小值，當(dāng)(0)=+30且莒(I”：0,即一3“：一1時(shí),因兩*TO莒=110,所以宮分別為區(qū)間T：0):0:1)和l:2j上恰有1牛零點(diǎn).，由干e(x)在因間(-x:0)和(l:4-x)上單調(diào)，所以(乂)分別在區(qū)間i；-x:0)和l:-oc)上旨有1個(gè)索綜上可知，當(dāng)過點(diǎn)尸1衛(wèi)存在3條直線與曲結(jié)-=f(x)相

15、切時(shí)，t的取值范圍是-玄-1).方法二：C2)謾過點(diǎn)F厲“的直續(xù)與曲純y丁(刈豐昌切于點(diǎn).gH),則兀=2嘟-軌、且切翳率為k=6-3r馳切妹方程溝y旳=佃帚-3)仗-時(shí)Slb：.r-.v=i/.y:-3j11整理得乜-；_占少4x34x3-6x2+3=t00設(shè)g(x)=4x3-6x2+3h(x)=t，則“過點(diǎn)P(l,t)存在3條直線與曲線yy二f(x)相切等價(jià)于y二g(x)與歹二h(x)圖像有三個(gè)交點(diǎn)。g(x)二12x2-12x二12x(x-1).當(dāng)x變化時(shí)，g(變化時(shí)，g(x)與g(x)的變化情況如下:x(-8,0)0g(x)+0g(x)單調(diào)遞增3(0,1)1(1,+8)-0+單調(diào)遞減1單

16、調(diào)遞增所以，g(0)二3是g(x)的極大值，g二1是g(x)的極小值.結(jié)合圖像知，當(dāng)y=g(x)與y=h(x)有3個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，有1t3,即-3t-1或t0，得x0,令ff(x)0，得-2x0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(心，-2)和(0,+),單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,0)。(解法一：由知，f(x)=1x3+x2+b，4f(-2)=3+b為函數(shù)f(x)極大值，f(0)=b為極小值。函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，.If(-3)0或If(-3)0或f(-2)=0或f(-3)01f(0)0f(-2)0f0f044即47c，-18b，即b的取值范圍是-18,)。-+b0)若函數(shù)f(x)在區(qū)

17、間(2m-1,m+1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析由于m0,f(x),f(x)的變化情況如下表：x(-8,-3m)-3m(-3m,m)m(m,+8)f(x)+00+f(x)單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-0-3m)和(m,+Q.要使孑(忙)在區(qū)間(2m-1,陀+1)上單調(diào)爲(wèi)增，應(yīng)有喘+1E-H觀或2喘一1王牌，解得用W扌或喘土1.又30且+12m-所LM2.目卩實(shí)數(shù)啲的取值范H制|2j.1【例題7】已知函數(shù)f(x)二3X3一ax2+(a2一1)x+b(a,beR)當(dāng)a豐0時(shí)，若f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào)，所以函數(shù)f(x)在(-1,1)上存在零點(diǎn).而f(x)=0的兩根為a-1,a+1,區(qū)間長(zhǎng)為2，二在區(qū)間(-1,1)上不可能有2個(gè)零點(diǎn)所以f(-1)f(1)0，即a2(a+2)(a-2)0,va20,，(a+2)(a-2)0,-2a0打在(芻呦上單調(diào)謹(jǐn)減2【例題9】已知函數(shù)f(x)=-x3-2x2+(2-a)x+1，其中a0.求f(x)在區(qū)間2,3上的最小值.解：方程f(x)=0的判別式人=8a