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1、【山東省濟寧市2020屆高三上學期期末考試21題】已知橢圓的一個焦點為，長軸與短軸長為2：1，直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓E的方程；（2）若以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O，問：是否存在一個以坐標原點O為圓心的定圓O，不論直線的斜率取何值，定圓O恒與直線相切？如果存在，求出圓O的方程及實數(shù)的取值范圍；如果不存在，請說明理由.解：（1）；問題背景揭秘：在平面直角坐標系中，直線與橢圓交于P、Q兩點，且OPOQ，那么圓心O到直線的距離為定值，且滿足，稱為直角斜高定；證明：設直線OP：，與橢圓聯(lián)立方程，得；而直線OQ：，用代換，得則，由等面積，可是，；當橢圓確定，即定，該直角三角形的斜高定，而斜高

2、可作為動直線的內(nèi)切圓半徑，也就產(chǎn)生了本題尋找內(nèi)切圓的問題。數(shù)學考察基本公式、性質(zhì)，是數(shù)學的一貫特點，數(shù)學總喜歡從具體的方法，特定的性質(zhì)模型著手命題；對數(shù)學基礎性質(zhì)的推理證明，是數(shù)學學習的基本功。因此，基本模型的解法，就是本題的解法：解法一：證明：設直線OP：，與橢圓聯(lián)立方程，得；而直線OQ：，用代換，得則，由等面積，可是，；即.因此，內(nèi)切圓半徑為，圓方程為：.解法二：證明：設直線的方程：，直線與橢圓的交點直線與橢圓聯(lián)立方程組，可得：，其中因為線段PQ為直徑的圓過坐標原點O，OPOQ,即可得，故原點O到直線PQ的距離.因此，內(nèi)切圓半徑為，圓方程為：.解法三：證明:設其中，即（四元三個方程，以下用來可消元成為一元確定

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