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1、【山東省濟寧市2020屆高三上學期期末考試21題】已知橢圓的一個焦點為,長軸與短軸長為2:1,直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓E的方程;(2)若以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,問:是否存在一個以坐標原點O為圓心的定圓O,不論直線的斜率取何值,定圓O恒與直線相切?如果存在,求出圓O的方程及實數(shù)的取值范圍;如果不存在,請說明理由.解:(1);問題背景揭秘:在平面直角坐標系中,直線與橢圓交于P、Q兩點,且OPOQ,那么圓心O到直線的距離為定值,且滿足,稱為直角斜高定;證明:設直線OP:,與橢圓聯(lián)立方程,得;而直線OQ:,用代換,得則,由等面積,可是,;當橢圓確定,即定,該直角三角形的斜高定,而斜高
2、可作為動直線的內(nèi)切圓半徑,也就產(chǎn)生了本題尋找內(nèi)切圓的問題。數(shù)學考察基本公式、性質(zhì),是數(shù)學的一貫特點,數(shù)學總喜歡從具體的方法,特定的性質(zhì)模型著手命題;對數(shù)學基礎性質(zhì)的推理證明,是數(shù)學學習的基本功。因此,基本模型的解法,就是本題的解法:解法一:證明:設直線OP:,與橢圓聯(lián)立方程,得;而直線OQ:,用代換,得則,由等面積,可是,;即.因此,內(nèi)切圓半徑為,圓方程為:.解法二:證明:設直線的方程:,直線與橢圓的交點直線與橢圓聯(lián)立方程組,可得:,其中因為線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,OPOQ,即可得,故原點O到直線PQ的距離.因此,內(nèi)切圓半徑為,圓方程為:.解法三:證明:設其中,即(四元三個方程,以下用來可消元成為一元確定
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