題型六第20題幾何測(cè)量問(wèn)題

1、題型六 第20題幾何測(cè)量問(wèn)題專題一銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題（2012、2010年 20題）典例精講例1 （2012陜西20題8分）如圖，小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與湖岸上涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐 C處位于北偏東65方向，然后，他從涼亭 A處沿湖岸向正東方向走了 100米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐 C處位于北偏東45方向（點(diǎn)A、B C在同一水平面上），請(qǐng)你利用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)sin 25 0.4226,cs25 0.9063,tan25 0,4663,sin 65 0

2、,9063,cs65 0.4226,tan652.1445)例I距圖【思維教練】解決銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題，首先想到構(gòu)造直角三角形，將 已知條件和要求量聯(lián)系起來(lái)，已知方向角和AB的長(zhǎng)度，則只需過(guò)點(diǎn)B作AC上的 高BD或過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高BD BD即為所構(gòu)造直角三角形的公共邊，設(shè)出未 知數(shù)，列方程求解即可.有關(guān)銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的解題步驟：（1）審題：通讀題干，結(jié)合圖形，在圖中找出與題干相吻合的已知條件，弄明 白哪些是已知量，哪些是未知量；（2）構(gòu)造直角三角形：將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊角關(guān)系，再結(jié)合問(wèn)題， 把所求的量轉(zhuǎn)化到與已知條件相關(guān)的直角三角形中，若不能在圖中體現(xiàn)，則需作 適當(dāng)?shù)妮o

3、助線將其結(jié)合；（3）列關(guān)系式：在直角三角形中選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)列關(guān)系式進(jìn)行求解;（4）檢驗(yàn)：解題完畢后，可能會(huì)存在一些較為特殊的數(shù)據(jù)，例如含有復(fù)雜的小數(shù)等.因此，要特別注意所求數(shù)據(jù)是否符合實(shí)際意義，同時(shí)還要注意題目中對(duì)結(jié)果的精確度有無(wú)要求.針對(duì)演練（2015 昆明 6 分）如圖，兩幢建筑物 AB 和 CD,AB BD,CD BD ,AB=15 m,CD=20m,AB和CD之間有一景觀池，小南在A點(diǎn)測(cè)得池中噴泉處E點(diǎn)的俯角為42 ,在C 點(diǎn)測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45 （點(diǎn)B E、D在同一直線上），求兩幢建筑物之間的距離 BD.（結(jié)果精確到 0.1 m,參考數(shù)據(jù)：sin 42 0.67,cos42

4、0.74,tan42 0,90）某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量河流的寬度 AB,河流兩岸AC BD互相平行，河流對(duì) 岸有兩棵樹(shù)A和C,且A、C之間的距離是60米，他們?cè)贒處測(cè)得 BDC=36, 前行140米后測(cè)得 BPA 45請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出河流的寬度.（結(jié)果精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)：tan36 0.73,sin36 0.59,cs36 0,81）（2016陜西副題20題7分）某市為了創(chuàng)建綠色生態(tài)城市，在城東建了 “東州湖”景區(qū).小明和小亮想測(cè)量“東州湖”東西兩端A、B間的距離，于是，他們?nèi)チ撕?，如圖，在湖的南岸的水平地面上，選取了可直接到達(dá)點(diǎn)B的一點(diǎn)C,并測(cè)得BC=35邱，點(diǎn)A位于點(diǎn)C的北偏西

5、73方向，點(diǎn)B位于點(diǎn)C的北偏東45 方向，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息，計(jì)算“東州湖”東西兩端之間AB的長(zhǎng).（結(jié)果精確到1米）(參考數(shù)據(jù)：sin 73o 0.9563,cos73o 0.2924, tan 73o 3.2709, 2 1,414)Jt+第3題圖（2017原創(chuàng)）某居民樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地，如圖所示， BC/ AD, BE AD ,斜坡AB長(zhǎng)為30米，坡角 BAD 75.為了減緩坡面防止山體滑坡，居委會(huì)決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)50時(shí)，可確保山體不滑坡.如果改造時(shí)保持坡腳 A不動(dòng)，坡頂B沿BC向左移15米到F 點(diǎn)處，問(wèn)這樣改造能確保安全嗎？（參考

6、數(shù)據(jù)：sin 75o 0.97, cos 75o 0.26,tan75o 3.73,sin50o 0.77,cos50o 0.64,tan50o 1.19)口口 口口 n 口（2017原創(chuàng)）如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的 A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西62。方向前進(jìn)實(shí)施攔截.紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45方 向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié) 果精確到1m.（參考數(shù)據(jù)：sin 28o 0.4695,cos28o 0.8829,tan 28o 0.5317, 2 1,414

7、2, 3 1.7321）0第5題圖（2017原創(chuàng)）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量二七紀(jì)念塔的高度，他們?cè)谝蛔?5.8米高的大樓CD的底部D處測(cè)得塔頂A的仰角恰好為45 ,在樓頂C處測(cè)得塔頂A的仰角為3652 ,已知大樓的底部D與塔底B在同一水平線上，求二七 紀(jì)念塔的高度 AB.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin36520.60,cs36520.80, tan36520.75）Ji EJi E晶 6 Win口口口口口（2016泰州10分）如圖，地面上兩個(gè)村莊 C、D處于同一水平線上，一飛行 器在空中以6千米/小時(shí)的速度沿 MNJ向水平飛行，航線 MNf C、D在同一鉛 直平面內(nèi)，當(dāng)該飛行器飛行至村莊

8、 C的正上方A處時(shí)，測(cè)得 NAD 60,該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時(shí)，測(cè)得 ABD 75.求村莊C、D間的距離.（J3取 1.73,結(jié)果精確到0.1千米）第7蹈圖（2017原創(chuàng)）小宏想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量郊區(qū)某圓柱體水塔上部蓄水池的外徑 （水塔的厚度忽略不計(jì)）.如圖，水塔上部為圓柱體蓄水池，下部為圓柱體支撐柱，兩圓柱體的底面圓心在同一條豎直直線上，已知CD是上部圓柱體的外徑，點(diǎn)G是CD上一點(diǎn)，EF EA,GA EA,EF為小宏的身高，點(diǎn) E距離點(diǎn)A為5m小宏在點(diǎn)F處測(cè)得水塔上點(diǎn)G的仰角為60，點(diǎn)C的仰角為75 .圓柱體支撐柱的 直徑AB為2m且圖中的所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，求水塔上部蓄水池外徑

9、CD的長(zhǎng).（結(jié)果精確到 0.1 m , 參考數(shù)據(jù)： sin75o 0.97,cos75o 0.26, tan75o 3.73, . 2 1.41, . 3 1.73）力 /7 廠*第8燃圖（2016樂(lè)山10分）如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海城巡邏，上午 某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75方向以每小時(shí)l0海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐 巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船， 求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間.第9題圖（2016呼和浩特改編）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明要測(cè)某地一座古塔AE的

10、高度.如圖，已知塔基頂端 B（和A、E共線）與地面C處固定的繩索的長(zhǎng)BC為50 m,她先測(cè)得 BCA 30o.然后從C點(diǎn)沿AC方向走20 m到達(dá)D點(diǎn)，又測(cè)得塔 頂E的仰角為50o .求塔高AE.（結(jié)果精確到0.1m,人的高度忽略不計(jì)，參考數(shù) 據(jù)：sin50o 0.77, cos50o 0.64, tan50o 1.19, .3 1.73）tic 4 扉10嬤圉（2015河南9分）如圖所示，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù)BC的高度，他們?cè)谛逼律螪處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角是30,朝大樹(shù)方向下坡走6米 到達(dá)坡底A處，在A處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角是48.若坡角 FAE 30,求大樹(shù)的高度.（結(jié)果保留整

11、數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48 0.74, cs8 0.67,tan48 1.11, .3 1.73)第11題圖（2016西工大附中模擬）如圖，“和諧號(hào)”高鐵列車的小桌板收起時(shí)近似看作與地面垂直，小桌板的支架底端與桌面頂端的距離 OA=751米，展開(kāi)小桌板使桌面保持水平，此時(shí)CB AO, AOB ACB 37,且支架長(zhǎng)OB與桌面寬BC的長(zhǎng)度之和等于OA的長(zhǎng)度.求小桌板桌面的寬度 BC.（結(jié)果精確到0.1厘米，參考數(shù)據(jù)：sin37 0.60,cs37 0.80,tan37 0.75,計(jì)算過(guò)程中三角函數(shù)取值精確至IJ 0.01 )第12題國(guó)專題二相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題（20132016、2011、200

12、8 2009 年 20 題）典例精講例2 （2016陜西20題7分）某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠 色、共享發(fā)展理念，在城南建起了 “望月閣”及環(huán)閣公園，小亮、小芳等同學(xué)想 用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量 “望月閣”的高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí) 和運(yùn)用知識(shí)的能力.他們經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易 測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研究需要兩次測(cè)量.于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量，方法如下： 如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線 BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C.鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面 上的標(biāo)記，他來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”

13、頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與 鏡面上的標(biāo)記重合.這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度 ED=1.5米，CD=2h然 后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮 從D點(diǎn)沿DM方向走了 16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端 F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小 亮身高 FC 的影長(zhǎng) FH=2.5 米,FG=1.65 米.如圖，已知： AB BM,ED BM ,GF BM ,其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì).請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高 AB的長(zhǎng)度.【思維教練】解決此類問(wèn)題，首先在題圖上標(biāo)出已知條件和未知條件，然后通過(guò)相似三角形列出比例關(guān)系.運(yùn)用三角形相似的判定和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)

14、題的方法步驟：（1）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似三角形問(wèn)題；（2）找出相似三角形；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，表示出相應(yīng)的量，并求解.常見(jiàn)的運(yùn)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，如利用光的反射定律求物體的高度，利用影子的長(zhǎng)度計(jì)算建筑物的高度：同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比例，有 身高建筑物的高度 外建筑物的影長(zhǎng)針對(duì)演練（2017原創(chuàng)）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高 AR課外活動(dòng)時(shí)他們 在陽(yáng)光下測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的yT竿EF的影子FG是0.9米，但當(dāng)他們馬上測(cè)量樹(shù) 高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的臺(tái)階上， 且影子 的末端剛好落在最后一級(jí)臺(tái)階的上端 C處，同學(xué)們認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以

15、求出樹(shù) 高，他們測(cè)得落在地面的影子長(zhǎng)為1.1米，臺(tái)階總的高度為1.O米，臺(tái)階水平總 寬度為1.6米（每級(jí)臺(tái)階的寬度相同），請(qǐng)你和他們一起算一下，樹(shù)高為多少？ （假設(shè)兩次測(cè)量時(shí)太陽(yáng)光線是平行的）第1題圖（2017原創(chuàng)）如圖，小燕同學(xué)用自制的直角三角形紙版DEF測(cè)量塔白高度AB,她調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知 紙板的兩條直角邊DE=40cm EF=20cm測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5 m CD=60 m,求塔高AB.ti第1幽困（2017原刨）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與座板CD都平行于地面，靠背DWf支架OE平行，前支架OE后支架OF分

16、別交座板CDT點(diǎn)G和 點(diǎn)D.扶手AB與靠背DM痰于點(diǎn)N,量得 EOF 90o, ODC 30o.ON =40 cm, EG =30 cm.求兩支架落地點(diǎn)E、F之間的距離.第3題國(guó)（2017原創(chuàng)）在學(xué)習(xí)完利用相似三角形進(jìn)行測(cè)量這節(jié)內(nèi)容后，小波與小軍想 利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上的旗桿高度.于是，小波想出了一個(gè)方法并進(jìn)行如下操作：小波在距離旗桿（EF）41.6米的點(diǎn)D處舉起一面小圓鏡C（可近似看做一個(gè) 點(diǎn)）讓小軍面對(duì)小波從鏡面中觀察旗桿頂端 E;利用皮尺測(cè)量出小波與小軍之間的距離 BD=1.5米，小波舉起的小圓鏡到 地面的距離CD=2.1米時(shí)，小軍正好能從鏡面中觀察到旗桿頂端 E,此時(shí)小軍的 目光

17、出發(fā)點(diǎn)到地面的距離 AB=1.7米.已知小波、小軍、旗桿三者均在同一平面內(nèi)，且均與地面垂直.請(qǐng)你根據(jù)以 上數(shù)據(jù)計(jì)算出旗桿EF的高度.（結(jié)果精確到0.1米）第4題留（2015陜西20題7分）晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場(chǎng)散步.小聰問(wèn)小軍:“你有多高？”小軍一時(shí)語(yǔ)塞，小聰思考片刻，提議用廣場(chǎng)照明燈下的影長(zhǎng)及地磚長(zhǎng)來(lái)測(cè)量小軍的身高.于是，兩人在燈下沿直線NC動(dòng)，如圖，當(dāng)小聰正好站在廣場(chǎng)的A點(diǎn)（距N點(diǎn)5塊地磚長(zhǎng)）時(shí)，其影長(zhǎng) AD恰好為1塊地磚長(zhǎng)；當(dāng)小 軍正好站在廣場(chǎng)的口點(diǎn)（距N點(diǎn)9塊地磚長(zhǎng)）時(shí)，其影長(zhǎng)BF恰好為2塊地磚長(zhǎng).已 知廣場(chǎng)地面由邊長(zhǎng)為 0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀?AC為1.6米，MN

18、 NQ, AC NQ,BE NQ .請(qǐng)你根據(jù)以上信息，求出小軍身高 BE的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.01米）第5題圖（2017原創(chuàng)）小明和小楠想測(cè)量學(xué)校旁邊停車場(chǎng)一輛機(jī)動(dòng)車車位所占的寬度， 如圖，矩形ABC此供一輛機(jī)動(dòng)車停放的車位示意圖，已知車位的長(zhǎng)AB =5.4 m,寬BC=2m又測(cè)得車位上D點(diǎn)到警戒線的距離DF=2.6 m請(qǐng)你計(jì)算車位所占的寬 度EF約為多少米？（結(jié)果精確到0.01米）第6題圉（2015陜西副題20題7分）周末，小凱和同學(xué)帶著皮尺，去測(cè)量楊大爺家露 臺(tái)遮陽(yáng)篷的寬度，如圖，由于無(wú)法直接測(cè)量，小凱便在樓前地面上選擇了一條直 線EF,通過(guò)在直線EF上選點(diǎn)觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)他位于 N點(diǎn)時(shí)，他的

19、視線從M點(diǎn)通過(guò) 露臺(tái)D點(diǎn)正好落在遮陽(yáng)篷A點(diǎn)處；當(dāng)他位于N點(diǎn)時(shí)，視線從M點(diǎn)通過(guò)D點(diǎn)正好 落在遮陽(yáng)篷B點(diǎn)處，這樣觀測(cè)到的兩個(gè)點(diǎn) A、B間的距離即為遮陽(yáng)篷的寬.已知ABCDEF ,點(diǎn) C在 AG 上，AG,DE ,MN ,M N 均垂直于 EF, MN MN,露臺(tái)的寬CD=GEU得GE =5米，EN =12.3米，NN 6.2米.請(qǐng)你根據(jù)以上信息求出遮陽(yáng)篷的寬AB是多少米？（結(jié)果精確到0.01米）1 H1I_ G E V 第7勉圉（2017原創(chuàng)）物理實(shí)驗(yàn)課上，西西正在做小孔成像實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)原理如圖所示， 在實(shí)驗(yàn)中，西西發(fā)現(xiàn)，當(dāng)固定光屏和蠟燭，移動(dòng)小孔 O的位置，燭焰在光屏上所成像的大小也會(huì)發(fā)生變化，于

20、是她做了如下實(shí)驗(yàn)：首先將蠟燭和光屏固定，其中 蠟燭與光屏的距離為1 m,將小孔0置于距離光屏0.3 m的位置時(shí)，測(cè)得此時(shí)燭 焰AB的像高CD為6 cm,然后將小孔O向蠟燭的方向移動(dòng)0.3 m計(jì)算此時(shí)像高CD的大小.（小孔大小和厚度不計(jì)，結(jié)果精確到 0.1 cm）光哥小孔端蛭弟8 圖（2017原創(chuàng)）如圖所示，某工程隊(duì)小組為測(cè)量一個(gè)山體高度，分成甲、乙兩個(gè) 小組進(jìn)行配合測(cè)量，首先甲小組的成員在點(diǎn)C處由一定視角觀察乙小組在山頂?shù)?觀測(cè)點(diǎn)A,與此同時(shí)，乙小組成員在點(diǎn) A處確定山體垂直于地面的觀測(cè)點(diǎn) B,并 在觀測(cè)點(diǎn)A與甲小組視角互余的角度俯視觀察，并在地確定觀測(cè)點(diǎn)D,最后甲小組測(cè)出觀測(cè)點(diǎn)C與觀測(cè)點(diǎn)D的距離為625米，